Dźwięk jest falą mechaniczną, którą odbieramy za pomocą słuchu. Wszyscy ludzie postrzegają wysokość i czas trwania tonu w przybliżeniu w ten sam sposób, ale percepcja głośności jest bardzo subiektywna. Głośność jest określana przez amplitudę oscylacji w medium, przez które rozchodzi się fala dźwiękowa. Ponieważ amplituda fal dźwiękowych nie jest łatwa do zmierzenia, wielkości natężenia dźwięku \(I\) i poziomu natężenia dźwięku \(L\) są używane do obiektywnego porównywania głośności.
Natężenie dźwięku wyraża ilość energii przenoszonej przez fale dźwiękowe na jednostkę powierzchni prostopadłą do kierunku propagacji dźwięku w jednostce czasu. Zdrowe ucho może wykryć najmniejsze natężenie dźwięku \(I_0=10^{-12}\,\text{W}/\text{m}^2\) przy częstotliwości \(1000\,\text{Hz}\), co odpowiada progowi słyszenia. Z drugiej strony, natężenie dźwięku \(10\,\text{W}/\text{m}^2\) jest wystarczająco głośne, aby odpowiadać progowi bólu. Jednak dziesięciokrotne zwiększenie natężenia dźwięku \(I\) nie odpowiada postrzeganiu dźwięku dziesięć razy głośniej. Dlatego poziom natężenia dźwięku \(L\) jest raczej używany do wyrażania głośności dźwięku, który wykorzystuje skalę logarytmiczną w decybelach (dB).
Poziom natężenia dźwięku \(L\) w decybelach jest zdefiniowany przez równanie \[L=10\log{\frac{I}{I_0}},\] gdzie \(I\) to natężenie dźwięku w danej lokalizacji a \(I_0=10^{-12}\,\text{W}/\text{m}^2\), co odpowiada progowi słyszenia. Poziom natężenia dźwięku \(60\,\text{dB}\) odpowiada głośności normalnej rozmowy, \(90\,\text{dB}\) to głośność kosiarki do trawy, a \(110\,\text{dB}\) to głośność dyskoteki.
Istnieje ryzyko uszkodzenia słuchu w przypadku długotrwałego słuchania (nawet jeśli nie odczuwamy bólu) przy głośności wyższej niż \(85\,\text{dB}\). Od poziomu głośności wyższego niż \(100\,\text{dB}\) istnieje ryzyko uszkodzenia słuchu w ciągu kilku minut. Zbadajmy związek między natężeniem dźwięku a poziomem natężenia dźwięku, tj. głośnością odbieraną przez słuch.
Zadanie 1. Natężenie dźwięku wynosi \(1{,}27\cdot10^{-3}\,\text{W}/\text{m}^2\) podczas słuchania głośnika o mocy akustycznej \(20\,\text{W}\) w odległości \(50\,\text{m}\) od niego (zakładają równomierną transmisję fali dźwiękowej do wolnej półprzestrzeni). Ile decybeli zmierzymy w tym miejscu?
Rozwiązanie Do obliczeń używamy definicji poziomu natężenia dźwięku \(L=10\log{\frac{I}{I_0}},\) gdzie \(I=1{,}27\cdot10^{-3}\,\text{W}/\text{m}^2\) to natężenie dźwięku w danej lokalizacji i \(I_0=10^{-12}\,\text{W}/\text{m}^2\). \[L=10\log{\frac{I}{I_0}}=10\log{\left(\frac{1{,}27\cdot10^{-3}}{10^{-12}}\right)}=10\log{\left(1{,}27\cdot10^{9}\right)}=91\;\text{dB}\,.\]
Poziom natężenia dźwięku wynosi 91 dB w odległości 50 m od głośnika, co odpowiada poziomowi hałasu motocykla lub kosiarki.
Zadanie 2. Jak zmieni się poziom natężenia dźwięku, jeśli w lokalizacji z poprzedniego przykładu natężenie dźwięku będzie dwukrotnie większe, tj, ,\(2\cdot1{,}27\cdot10^{-3}\,\text{W}/\text{m}^2\) ?
Rozwiązanie. Używamy tego samego wzoru, co w poprzednim ćwiczeniu: \[L=10\log{\frac{I}{I_0}}=10\log{\left(\frac{2\cdot1{,}27\cdot10^{-3}}{10^{-12}}\right)}=10\log{\left(2{,}54\cdot10^{9}\right)}=94\;\text{dB}\,.\] Obliczenia pokazują, że dwukrotność natężenia dźwięku nie odpowiada dwukrotności liczby decybeli. Poziom natężenia dźwięku wzrośnie z \(91\,\text{dB}\) do \(94\,\text{dB}\,\).
Zadanie 3. Ze wzoru na poziom natężenia dźwięku, znajdź wartość \(\Delta L\), przez którą poziom natężenia dźwięku \(L\), zmienia się, jeśli natężenie dźwięku zostanie podwojone z \(I\) do \(2I\). Rozwiązanie. Jest to uogólnienie poprzedniego zadania.\[\Delta L=10\log{\frac{2I}{I_0}}-10\log{\frac{I}{I_0}}=10\cdot\left(\log{\frac{2I}{I_0}}-\log{\frac{I}{I_0}}\right)=10\log\left(\frac{\frac{2I}{I_0}}{\frac{I}{I_0}}\right)=10\log2=3\;\text{dB}\] Przy podwojeniu natężenia dźwięku, poziom natężenia dźwięku wzrasta o \(3\,\text{dB}\,\).
Jest to uogólnienie poprzedniego zadania.\[\Delta L=10\log{\frac{2I}{I_0}}-10\log{\frac{I}{I_0}}=10\cdot\left(\log{ \frac{2I}{I_0}}-\log{\frac{I}{I_0}}\right)=10\log\left(\frac{\frac{2I}{I_0}}{\frac{I} {I_0}}\right)=10\log2=3\;\text{dB}\] Poziom natężenia dźwięku wzrasta o \(3\,\text{dB}\,\), gdy natężenie dźwięku podwaja się.
Zadanie 4. Natężenie dźwięku jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od źródła dźwięku. O ile zmieni się poziom natężenia dźwięku, jeśli odległość od źródła dźwięku zostanie podwojona?
Rozwiązanie. Ponieważ natężenie dźwięku \(I\) jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości, otrzymujemy \[I=\frac{k}{l^2},\] gdzie \(l\) to odległość od źródła dźwięku. Gdy odległość zostanie podwojona, natężenie dźwięku wyniesie \[I=\frac{k}{(2l)^ 2}=\frac{1}{4}\cdot\frac{k}{l^2}\,.\]. Natężenie dźwięku zostanie zredukowane do \(\frac{1}{4}\) jego pierwotnej wartości.
\[\Delta L=10\log{\frac{\frac{1}{4}I}{I_0}}-10\log{\frac{I}{I_0}}=10\cdot\left(\log{\frac{\frac{1}{4}I}{I_0}}-\log{\frac{I}{I_0}}\right)=10\log\left(\frac{\frac{\frac{1}{4}I}{I_0}}{\frac{I}{I_0}}\right)=10\log\frac{1}{4}=-6\;\text{dB}\,.\] Poziom natężenia dźwięku zmniejsza się o \(6\,\text{dB}\), jeśli podwoimy odległość od źródła dźwięku.
Zadanie 5. Ze wzoru na poziom natężenia dźwięku \(L=10\log{\frac{I}{I_0}}\), wyraź natężenie dźwięku \(I\). Rozwiązanie. Najpierw wyodrębniamy funkcję logarytmiczną \(\frac{L}{10}=\log{\frac{I}{I_0}}\)a następnie używamy odwrotność funkcji logarytmicznej, tj. funkcja wykładnicza: \[10^{\frac{L}{10}}=\frac{I}{I_0}.\] Stąd wyrażamy natężenie dźwięku \[I=I_0 \cdot 10^{\frac{L}{10}}.\]
Zadanie 6. O ile razy wzrośnie natężenie dźwięku jeśli poziom natężenia dźwięku wzrośnie o \(20\,\text{dB}\)?
Rozwiązanie. Wartość poziomu natężenia dźwięku zmienia się z \(L_1=L\) do \(L_2=L+20\,\text{dB}\). Używamy wzoru \(I=I_0 \cdot 10^{\frac{L}{10}}\) i wyrażamy iloraz \(\frac{I_2}{I_1}\): \[\frac{I_2}{I_1}=\frac{I_0 \cdot 10^{\frac{L_2}{10}}}{I_0 \cdot 10^{\frac{L_1}{10}}}=\frac{10^{\frac{L+20}{10}}}{10^{\frac{L}{10}}}=10^{\frac{L+20}{10}-\frac{L}{10}}=10^2=100.\]
Gdy poziom natężenia dźwięku wzrasta o \(20\,\text{dB}\), natężenie dźwięku wzrasta stukrotnie.