Zvuk je mechanické vlnění, které vnímáme sluchem. Výšku a délku tónu vnímají všichni lidé přibližně stejně, vjem hlasitosti je ale velice subjektivní. Hlasitost je dána amplitudou kmitání prostředí, v
kterém se šíří zvuková vlna. Vzhledem k tomu, že se amplituda zvukového vlnění neměří snadno, používají se k objektivnímu porovnávání hlasitosti veličiny intenzita zvuku \(I\) a hladina intenzity zvuku \(L\).
Intenzita zvuku vyjadřuje, kolik energie přenesou zvukové vlny za sekundu na plochu \(1\,\text{m}^2\) kolmou na směr šíření za jednotku času. Zdravý sluch dokáže při frekvenci \(1000\,\text{Hz}\) zaregistrovat nejmenší intenzitu zvuku \(I_0=10^{-12}\,\text{W}/\text{m}^2\), což odpovídá prahu slyšení. Naopak intenzita zvuku \(10\,\text{W}/\text{m}^2\) je natolik hlasitá, že odpovídá prahu bolesti. Zvýšení intenzity zvuku \(I\) na desetinásobek ale neodpovídá tomu, že bychom vnímali zvuk desetkrát hlasitěji. Proto se k vyjadřování hlasitosti zvuku spíše používá hladina intenzity zvuku \(L\), která využívá logaritmické škály v decibelech (dB).
Hladina intenzity zvuku \(L\) v decibelech je definována vztahem \[L=10\log{\frac{I}{I_0}},\] kde \(I\) je intenzita zvuku v daném místě a \(I_0=10^{-12}\,\text{W}/\text{m}^2\), což odpovídá prahu slyšení. Hladině intenzity zvuku \(60\,\text{dB}\) odpovídá hlasitost běžného rozhovoru, \(90\,\text{dB}\) naměříme u motorové sekačky na trávu a \(110\,\text{dB}\) na diskotéce. Při dlouhodobém poslechu (přestože nás nic nebolí) hrozí nebezpečí poškození sluchu pro hlasitosti vyšší jak \(85\,\text{dB}\). Od hlasitosti vyšší jak \(100\,\text{dB}\) hrozí nebezpečí poškození sluchu v řádu minut.
Prozkoumejme souvislost mezi intenzitou zvuku a hladinou intenzity zvuku, tj. hlasitostí vnímanou sluchem.
Úloha 1. Při poslechu reproduktoru o zvukovém výkonu \(20\,\text{W}\) je ve vzdálenosti \(50\,\text{m}\) od něj intenzita zvuku \(1{,}27\cdot10^{-3}\, \text{W}/\text{m}^2\) (při rovnoměrném vysílání zvukové vlny do volného poloprostoru). Kolik decibelů naměříme v tomto místě?
Řešení. Pro výpočet využijeme definičního vztahu \(L=10\log{\frac{I}{I_0}},\) kde \(I=1{,}27\cdot10^{-3}\,\text{W}/\text{m}^2\) je intenzita zvuku v daném místě a \(I_0=10^{-12}\,\text{W}/\text{m}^2\). \[L=10\log{\frac{I}{I_0}}=10\log{\left(\frac{1{,}27\cdot10^{-3}}{10^{-12}}\right)}=10\log{\left(1{,}27\cdot10^{9}\right)}=91\;\text{dB}\,.\]
Hladina intenzity zvuku \(50\) m od reproduktoru je \(91\) dB, což odpovídá hluku motocyklu nebo sekačce na trávu.
Úloha 2. Jak se změní hladina intenzity zvuku, jestliže v místě z předchozího příkladu bude dvojnásobná intenzita zvuku, tj. \(2\cdot1{,}27\cdot10^{-3}\,\text{W}/\text{m}^2\) ?
Řešení. Použijeme stejný vztah jako v minulé úloze: \[L=10\log{\frac{I}{I_0}}=10\log{\left(\frac{2\cdot1{,}27\cdot10^{-3}}{10^{-12}}\right)}=10\log{\left(2{,}54\cdot10^{9}\right)}=94\;\text{dB}\,.\] Z výpočtu je patrné, že dvojnásobné intenzitě zvuku neodpovídá dvojnásobný počet decibelů. Hladina intenzity zvuku se zvedne z \(91\,\text{dB}\) na \(94\,\text{dB}\,\).
Úloha 3. Ze vztahu pro hladinu intenzity zvuku najděte hodnotu \(\Delta L\), o kterou se změní hladina intenzity zvuku \(L\), jestliže se intenzita zvuku zdvojnásobí z hodnoty \(I\) na \(2I\).
Řešení. Jedná se o zobecnění předchozí úlohy.\[\Delta L=10\log{\frac{2I}{I_0}}-10\log{\frac{I}{I_0}}=10\cdot\left(\log{\frac{2I}{I_0}}-\log{\frac{I}{I_0}}\right)=10\log\left(\frac{\frac{2I}{I_0}}{\frac{I}{I_0}}\right)=10\log2=3\;\text{dB}\] Při zdvojnásobení intenzity zvuku se hladina intenzity zvuku zvětší o \(3\,\text{dB}\,\).
Úloha 4. Intenzita zvuku je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti od zdroje zvuku. O jakou hodnotu se změní hladina intenzity zvuku, jestliže se vzdálenost od zdroje zvuku zdvojnásobí?
Řešení. Jelikož intenzita zvuku \(I\) je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti, dostáváme \[I=\frac{k}{l^2},\] kde \(l\) je vzdálenost od zdroje zvuku. Při zdvojnásobení vzdálenosti bude intenzita zvuku \[I=\frac{k}{(2l)^2}=\frac{1}{4}\cdot\frac{k}{l^2}\,.\] Intenzita zvuku se zmenší na \(\frac{1}{4}\) původní hodnoty.
\[\Delta L=10\log{\frac{\frac{1}{4}I}{I_0}}-10\log{\frac{I}{I_0}}=10\cdot\left(\log{\frac{\frac{1}{4}I}{I_0}}-\log{\frac{I}{I_0}}\right)=10\log\left(\frac{\frac{\frac{1}{4}I}{I_0}}{\frac{I}{I_0}}\right)=10\log\frac{1}{4}=-6\;\text{dB}\,.\] Hladina intenzity zvuku se zmenší o \(6\,\text{dB}\), jestliže zdvojnásobíme svou vzdálenost od zdroje zvuku.
Úloha 5. Ze vztahu pro hladinu intenzity zvuku \(L=10\log{\frac{I}{I_0}}\) vyjádřete intenzitu zvuku \(I\).
Řešení. Nejprve musíme osamostatnit logaritmickou funkci \(\frac{L}{10}=\log{\frac{I}{I_0}}\) a následně využijeme inverzní funkci k logaritmické, tj. exponenciální funkci: \[10^{\frac{L}{10}}=\frac{I}{I_0}.\] Odtud vyjádříme intenzitu zvuku \[I=I_0 \cdot 10^{\frac{L}{10}}.\]
Úloha 6. Kolikrát se zvětší intenzita zvuku, jestliže se hladina intenzity zvuku zvýší o \(20\,\text{dB}\)?
Řešení. Hodnota hladiny intenzity zvuku se změní z hodnoty \(L_1=L\) na \(L_2=L+20\,\text{dB}\). Využijeme vztahu \(I=I_0 \cdot 10^{\frac{L}{10}}\) a vyjádříme podíl \(\frac{I_2}{I_1}\): \[\frac{I_2}{I_1}=\frac{I_0 \cdot 10^{\frac{L_2}{10}}}{I_0 \cdot 10^{\frac{L_1}{10}}}=\frac{10^{\frac{L+20}{10}}}{10^{\frac{L}{10}}}=10^{\frac{L+20}{10}-\frac{L}{10}}=10^2=100.\]
Při vzrůstu hladiny intenzity zvuku o \(20\,\text{dB}\) se intenzita zvuku zvětší stokrát.