Zvuk je mechanické vlnenie, ktoré vnímame sluchom. Výšku a dĺžku tónu vnímajú všetci ľudia približne rovnako, ale vnímanie hlasitosti je veľmi subjektívne. Hlasitosť je daná amplitúdou kmitania prostredia, v ktorom sa šíri zvuková vlna. Vzhľadom na to, že amplitúda zvukového vlnenia sa nemeria jednoducho, používajú sa na objektívne porovnanie hlasitosti veličiny intenzita zvuku \(I\) a hladina intenzity zvuku \(L\).
Intenzita zvuku vyjadruje, koľko energie prenesú zvukové vlny za sekundu na plochu \(1\,\text{m}^2\) kolmú na smer šírenia za jednotku času. Zdravý sluch dokáže pri frekvencii \(1000\,\text{Hz}\) zaregistrovať najmenšiu intenzitu zvuku \(I_0=10^{-12}\,\text{W}/\text{m}^2\), čo zodpovedá prahu počutia. Naopak, intenzita zvuku \(10\,\text{W}/\text{m}^2\) je natoľko hlasitá, že zodpovedá prahu bolesti. Zvýšenie intenzity zvuku \(I\) na desaťnásobok však neznamená, že by sme vnímali zvuk desaťkrát hlasnejšie. Preto sa na vyjadrovanie hlasitosti zvuku používa skôr hladina intenzity zvuku \(L\), ktorá využíva logaritmickú škálu v decibeloch (dB).
Hladina intenzity zvuku \(L\) v decibeloch je definovaná vzťahom \[L=10\log{\frac{I}{I_0}},\] kde \(I\) je intenzita zvuku v danom mieste a \(I_0=10^{-12}\,\text{W}/\text{m}^2\), čo zodpovedá prahu počutia. Hladine intenzity zvuku \(60\,\text{dB}\) zodpovedá hlasitosť bežného rozhovoru, \(90\,\text{dB}\) nameriame pri motorovej kosačke na trávu a \(110\,\text{dB}\) na diskotéke. Pri dlhodobom počúvaní (hoci nás nič nebolí) hrozí nebezpečenstvo poškodenia sluchu pre hlasitosti vyššie ako \(85\,\text{dB}\). Pri hlasitosti vyššej ako \(100\,\text{dB}\) hrozí nebezpečenstvo poškodenia sluchu v priebehu niekoľkých minút.
Preskúmajme súvislosť medzi intenzitou zvuku a hladinou intenzity zvuku, teda hlasitosťou vnímanou sluchom.
Úloha 1. Pri počúvaní reproduktora so zvukovým výkonom \(20\,\text{W}\) je vo vzdialenosti \(50\,\text{m}\) od neho intenzita zvuku \(1{,}27\cdot10^{-3}\,\text{W}/\text{m}^2\) (pri rovnomernom vysielaní zvukovej vlny do voľného polopriestoru). Koľko decibelov nameriame na tomto mieste?
Riešenie. Na výpočet využijeme definičný vzťah \(L=10\log{\frac{I}{I_0}},\) kde \(I=1{,}27\cdot10^{-3}\,\text{W}/\text{m}^2\) je intenzita zvuku v danom mieste a \(I_0=10^{-12}\,\text{W}/\text{m}^2\). \[L=10\log{\frac{I}{I_0}}=10\log{\left(\frac{1{,}27\cdot10^{-3}}{10^{-12}}\right)}=10\log{\left(1{,}27\cdot10^{9}\right)}=91\;\text{dB}\,.\]
Hladina intenzity zvuku vo vzdialenosti \(50\) m od reproduktora je \(91\) dB, čo zodpovedá hluku motocykla alebo kosačky na trávu.
Úloha 2. Ako sa zmení hladina intenzity zvuku, ak bude v mieste z predchádzajúceho príkladu dvojnásobná intenzita zvuku, t.j. \(2\cdot1{,}27\cdot10^{-3}\,\text{W}/\text{m}^2\) ?
Riešenie. Použijeme rovnaký vzťah ako v predchádzajúcej úlohe: \[L=10\log{\frac{I}{I_0}}=10\log{\left(\frac{2\cdot1{,}27\cdot10^{-3}}{10^{-12}}\right)}=10\log{\left(2{,}54\cdot10^{9}\right)}=94\;\text{dB}\,.\] Z výpočtu je zrejmé, že dvojnásobnej intenzite zvuku nezodpovedá dvojnásobný počet decibelov. Hladina intenzity zvuku sa zvýši z \(91\,\text{dB}\) na \(94\,\text{dB}\,\).
Úloha 3. Zo vzťahu pre hladinu intenzity zvuku nájdite hodnotu \(\Delta L\), o ktorú sa zmení hladina intenzity zvuku \(L\), ak sa intenzita zvuku zdvojnásobí z hodnoty \(I\) na \(2I\).
Riešenie. Jedná sa o zovšeobecnenie predchádzajúcej úlohy. \[\Delta L=10\log{\frac{2I}{I_0}}-10\log{\frac{I}{I_0}}=10\cdot\left(\log{\frac{2I}{I_0}}-\log{\frac{I}{I_0}}\right)=10\log\left(\frac{\frac{2I}{I_0}}{\frac{I}{I_0}}\right)=10\log2=3\;\text{dB}\] Pri zdvojnásobení intenzity zvuku sa hladina intenzity zvuku zväčší o \(3\,\text{dB}\,\).
Úloha 4. Intenzita zvuku je nepriamo úmerná druhej mocnine vzdialenosti od zdroja zvuku. O akú hodnotu sa zmení hladina intenzity zvuku, ak sa vzdialenosť od zdroja zvuku zdvojnásobí?
Riešenie. Keďže intenzita zvuku \(I\) je nepriamo úmerná druhej mocnine vzdialenosti, dostávame \[I=\frac{k}{l^2},\] kde \(l\) je vzdialenosť od zdroja zvuku. Pri zdvojnásobení vzdialenosti bude intenzita zvuku \[I=\frac{k}{(2l)^2}=\frac{1}{4}\cdot\frac{k}{l^2}\,.\] Intenzita zvuku sa zmenší na \(\frac{1}{4}\) pôvodnej hodnoty.
\[\Delta L=10\log{\frac{\frac{1}{4}I}{I_0}}-10\log{\frac{I}{I_0}}=10\cdot\left(\log{\frac{\frac{1}{4}I}{I_0}}-\log{\frac{I}{I_0}}\right)=10\log\left(\frac{\frac{\frac{1}{4}I}{I_0}}{\frac{I}{I_0}}\right)=10\log\frac{1}{4}=-6\;\text{dB}\,.\] Hladina intenzity zvuku sa zmenší o \(6\,\text{dB}\), ak zdvojnásobíme svoju vzdialenosť od zdroja zvuku.
Úloha 5. Zo vzťahu pre hladinu intenzity zvuku \(L=10\log{\frac{I}{I_0}}\) vyjadrite intenzitu zvuku \(I\).
Riešenie. Najprv musíme osamostatniť logaritmickú funkciu \(\frac{L}{10}=\log{\frac{I}{I_0}}\) a následne použijeme inverznú funkciu k logaritmickej, teda exponenciálnu funkciu: \[10^{\frac{L}{10}}=\frac{I}{I_0}.\] Odtiaľ vyjadríme intenzitu zvuku: \[I=I_0 \cdot 10^{\frac{L}{10}}.\]
Úloha 6. Koľkokrát sa zväčší intenzita zvuku, ak sa hladina intenzity zvuku zvýši o \(20\,\text{dB}\)?
Riešenie. Hodnota hladiny intenzity zvuku sa zmení z hodnoty \(L_1=L\) na \(L_2=L+20\,\text{dB}\). Využijeme vzťah \(I=I_0 \cdot 10^{\frac{L}{10}}\) a vyjadríme podiel \(\frac{I_2}{I_1}\): \[\frac{I_2}{I_1}=\frac{I_0 \cdot 10^{\frac{L_2}{10}}}{I_0 \cdot 10^{\frac{L_1}{10}}}=\frac{10^{\frac{L+20}{10}}}{10^{\frac{L}{10}}}=10^{\frac{L+20}{10}-\frac{L}{10}}=10^2=100.\]
Pri vzraste hladiny intenzity zvuku o \(20\,\text{dB}\) sa intenzita zvuku zväčší stokrát.