00016_Logarithm_Sound/sk

Keywords: logaritmus, logaritmická rovnica, exponenciálna rovnica

Zvuk je mechanické vlnenie, ktoré vnímame sluchom. Výšku a dĺžku tónu vnímajú všetci ľudia približne rovnako, ale vnímanie hlasitosti je veľmi subjektívne. Hlasitosť je daná amplitúdou kmitania prostredia, v ktorom sa šíri zvuková vlna. Vzhľadom na to, že amplitúda zvukového vlnenia sa nemeria jednoducho, používajú sa na objektívne porovnanie hlasitosti veličiny intenzita zvuku

I

a hladina intenzity zvuku

L

Intenzita zvuku vyjadruje, koľko energie prenesú zvukové vlny za sekundu na plochu

1 m^{2}

kolmú na smer šírenia za jednotku času. Zdravý sluch dokáže pri frekvencii

1000 Hz

zaregistrovať najmenšiu intenzitu zvuku

I_{0} = 10^{- 12} W / m^{2}

, čo zodpovedá prahu počutia. Naopak, intenzita zvuku

10 W / m^{2}

je natoľko hlasitá, že zodpovedá prahu bolesti. Zvýšenie intenzity zvuku

I

na desaťnásobok však neznamená, že by sme vnímali zvuk desaťkrát hlasnejšie. Preto sa na vyjadrovanie hlasitosti zvuku používa skôr hladina intenzity zvuku

L

, ktorá využíva logaritmickú škálu v decibeloch (dB).

Hladina intenzity zvuku

L

v decibeloch je definovaná vzťahom

L = 10 \log \frac{I}{I_{0}},

kde

I

je intenzita zvuku v danom mieste a

I_{0} = 10^{- 12} W / m^{2}

, čo zodpovedá prahu počutia. Hladine intenzity zvuku

60 dB

zodpovedá hlasitosť bežného rozhovoru,

90 dB

nameriame pri motorovej kosačke na trávu a

110 dB

na diskotéke. Pri dlhodobom počúvaní (hoci nás nič nebolí) hrozí nebezpečenstvo poškodenia sluchu pre hlasitosti vyššie ako

85 dB

. Pri hlasitosti vyššej ako

100 dB

hrozí nebezpečenstvo poškodenia sluchu v priebehu niekoľkých minút.

Preskúmajme súvislosť medzi intenzitou zvuku a hladinou intenzity zvuku, teda hlasitosťou vnímanou sluchom.

Úloha 1. Pri počúvaní reproduktora so zvukovým výkonom $20 W$ je vo vzdialenosti $50 m$ od neho intenzita zvuku $1, 27 \cdot 10^{- 3} W / m^{2}$ (pri rovnomernom vysielaní zvukovej vlny do voľného polopriestoru). Koľko decibelov nameriame na tomto mieste?

Riešenie. Na výpočet využijeme definičný vzťah

L = 10 \log \frac{I}{I_{0}},

kde

I = 1, 27 \cdot 10^{- 3} W / m^{2}

je intenzita zvuku v danom mieste a

I_{0} = 10^{- 12} W / m^{2}

L = 10 \log \frac{I}{I_{0}} = 10 \log (\frac{1, 27 \cdot 10^{- 3}}{10^{- 12}}) = 10 \log (1, 27 \cdot 10^{9}) = 91 dB .

Hladina intenzity zvuku vo vzdialenosti

50

m od reproduktora je

91

dB, čo zodpovedá hluku motocykla alebo kosačky na trávu.

Úloha 2. Ako sa zmení hladina intenzity zvuku, ak bude v mieste z predchádzajúceho príkladu dvojnásobná intenzita zvuku, t.j. $2 \cdot 1, 27 \cdot 10^{- 3} W / m^{2}$ ?

Riešenie. Použijeme rovnaký vzťah ako v predchádzajúcej úlohe:

L = 10 \log \frac{I}{I_{0}} = 10 \log (\frac{2 \cdot 1, 27 \cdot 10^{- 3}}{10^{- 12}}) = 10 \log (2, 54 \cdot 10^{9}) = 94 dB .

Z výpočtu je zrejmé, že dvojnásobnej intenzite zvuku nezodpovedá dvojnásobný počet decibelov. Hladina intenzity zvuku sa zvýši z

91 dB

94 dB

Úloha 3. Zo vzťahu pre hladinu intenzity zvuku nájdite hodnotu $Δ L$ , o ktorú sa zmení hladina intenzity zvuku $L$ , ak sa intenzita zvuku zdvojnásobí z hodnoty $I$ na $2 I$ .

Riešenie. Jedná sa o zovšeobecnenie predchádzajúcej úlohy.

Δ L = 10 \log \frac{2 I}{I_{0}} - 10 \log \frac{I}{I_{0}} = 10 \cdot (\log \frac{2 I}{I_{0}} - \log \frac{I}{I_{0}}) = 10 \log (\frac{\frac{2 I}{I_{0}}}{\frac{I}{I_{0}}}) = 10 \log 2 = 3 dB

Pri zdvojnásobení intenzity zvuku sa hladina intenzity zvuku zväčší o

3 dB

Úloha 4. Intenzita zvuku je nepriamo úmerná druhej mocnine vzdialenosti od zdroja zvuku. O akú hodnotu sa zmení hladina intenzity zvuku, ak sa vzdialenosť od zdroja zvuku zdvojnásobí?

Riešenie. Keďže intenzita zvuku

I

je nepriamo úmerná druhej mocnine vzdialenosti, dostávame

I = \frac{k}{l^{2}},

kde

l

je vzdialenosť od zdroja zvuku. Pri zdvojnásobení vzdialenosti bude intenzita zvuku

I = \frac{k}{(2 l)^{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{k}{l^{2}} .

Intenzita zvuku sa zmenší na

\frac{1}{4}

pôvodnej hodnoty.

Δ L = 10 \log \frac{\frac{1}{4} I}{I_{0}} - 10 \log \frac{I}{I_{0}} = 10 \cdot (\log \frac{\frac{1}{4} I}{I_{0}} - \log \frac{I}{I_{0}}) = 10 \log (\frac{\frac{\frac{1}{4} I}{I_{0}}}{\frac{I}{I_{0}}}) = 10 \log \frac{1}{4} = - 6 dB .

Hladina intenzity zvuku sa zmenší o

6 dB

, ak zdvojnásobíme svoju vzdialenosť od zdroja zvuku.

Úloha 5. Zo vzťahu pre hladinu intenzity zvuku $L = 10 \log \frac{I}{I_{0}}$ vyjadrite intenzitu zvuku $I$ .

Riešenie. Najprv musíme osamostatniť logaritmickú funkciu

\frac{L}{10} = \log \frac{I}{I_{0}}

a následne použijeme inverznú funkciu k logaritmickej, teda exponenciálnu funkciu:

10^{\frac{L}{10}} = \frac{I}{I_{0}} .

Odtiaľ vyjadríme intenzitu zvuku:

I = I_{0} \cdot 10^{\frac{L}{10}} .

Úloha 6. Koľkokrát sa zväčší intenzita zvuku, ak sa hladina intenzity zvuku zvýši o $20 dB$ ?

Riešenie. Hodnota hladiny intenzity zvuku sa zmení z hodnoty

L_{1} = L

L_{2} = L + 20 dB

. Využijeme vzťah

I = I_{0} \cdot 10^{\frac{L}{10}}

a vyjadríme podiel

\frac{I_{2}}{I_{1}}

\frac{I_{2}}{I_{1}} = \frac{I_{0} \cdot 10^{\frac{L_{2}}{10}}}{I_{0} \cdot 10^{\frac{L_{1}}{10}}} = \frac{10^{\frac{L + 20}{10}}}{10^{\frac{L}{10}}} = 10^{\frac{L + 20}{10} - \frac{L}{10}} = 10^{2} = 100.

Pri vzraste hladiny intenzity zvuku o

20 dB

sa intenzita zvuku zväčší stokrát.

Zvuk

Literatúra