Calculadora de parábola

Navegando por Internet, Eva ha encontrado un dato interesante sobre la gráfica de una función $f:y=x^2$ y es que la gráfica se puede utilizar como calculadora para multiplicar dos números $a$ y $b$.¹ El procedimiento es el siguiente:

1. En el eje $x$ marca los puntos correspondientes a los números $-a$ y $b$.
2. En estos puntos, traza rectas perpendiculares al eje $x$ y construye sus intersecciones con la gráfica de la función $f$.
3. La recta que pasa por las intersecciones recién construidas interseca al eje $y$ en un punto cuya distancia al origen es $ab$.

Puedes probar el procedimiento en la hoja de trabajo adjunta, sus ilustraciones también están disponibles en GeoGebra. El applet interactivo se encuentra en el sitio web: https://www.geogebra.org/m/sj5cjbaf.

Solución. Del procedimiento se deduce que si las imágenes de los números $-a$ y $b se fusionan, la recta descrita en el tercer paso no se puede construir de forma única. Por lo tanto, el procedimiento dado no funcionará si $-a=b$ se cumple. Demostraremos que, además de este caso, el procedimiento es válido para todos los demás pares de números $a$ y $b$.

Construyamos, según el procedimiento dado, en el eje $x$ los puntos correspondientes a los números $-a$ y $-b$, y luego construyamos perpendiculares en estos puntos al eje $x$. Denotamos las intersecciones de estas perpendiculares con la parábola por $A$ y $B$, y la recta $AB$ por $p$. La recta $p$ corta al eje $y$ en el punto $C$, que determina la incógnita $m$.

La recta $p$ está definida por los puntos $A(-a;a^2)$ y $B(b;b^2)$, por lo que el vector de dirección es $$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=[b+a;b^2-a^2].$$ Multiplicando el vector $\overrightarrow{u}$ por el número $\frac{1}{a+b}$ obtenemos $$\overrightarrow{u}=[1;b-a].$$ Este ajuste se puede hacer ya que en nuestro caso es $b\ne a$, y por tanto $b+a\ne 0$. Así, obtenemos las ecuaciones paramétricas $$\begin{array}{rl}p:X& =B+t\cdot \overrightarrow{u},t\in \mathbb{R}\\ p:x& =b+t\\ y& =b^2+t\cdot (b-a),t\in \mathbb{R}\end{array}$$

Sustituyendo las coordenadas del punto $C$ en los lados izquierdos de las ecuaciones (es decir, $x=0$, $y=m$) obtenemos el sistema $$\begin{array}{rl}0& =b+t\\ m& =b^2+t(b-a)\end{array}$$ A partir de la primera ecuación, expresamos $t=-b$ y la sustituimos en la segunda ecuación. A partir de aquí $$\begin{array}{rl}m& =b^2+(-b)\cdot (b-a)\\ m& =ab.\end{array}$$ Este es el resultado que necesitábamos demostrar.