https://um.mendelu.cz/... in URL, click View on GitHub to open this file on github.com.e on GitHub). However, an advanced VS Code editor (press . on GitHub) is better, since it provides preview how the Markdown code renders. Alternatively press pencil for simple editor or press triangle next to the pencil to get access to VS Code described as github.dev.Ctrl+V and K. Keep the preview open as you work, or close using a mouse.Source control (describe your changes, such as “Polish translation started”) and then press Commit&Push.is_finished: False in header to is_finished: True.https://um.mendelu.cz/..., otevřete jej na serveru github.com.e na GitHubu). Lepší je však pokročilý editor VS Code (stikněte . na GitHubu), protože poskytuje náhled, jak se kód Markdown interpretuje. Případně stiskněte tužku pro jednoduchý editor nebo stiskněte trojúhelníček vedle tužky, abyste získali přístup k editoru VS Code popsaný jako github.dev.Ctrl+V. a K. Během práce nechte náhled otevřený nebo jej zavřete pomocí myši.Zpráva (popište své změny, např. “Zahájen překlad do polštiny”) a poté stiskněte tlačítko Commit&Push.is_finished: False v záhlaví na is_finished: True.Která z cest mezi Lisabonem a Washingtonem znázorněných na mapě je kratší?
Zdánlivě jednoduchý dotaz má, jak si ověříte v této úloze, překvapivou odpověď. Kratší trasa je oblouk, delší je úsečka. Důvodem je zkreslení vzdáleností ve zvoleném zobrazení zemského povrchu. Vidíme, že úsečka \(LW\) na mapě je přibližně rovnoběžná s geografickými rovnoběžkami na Zemi, tedy ve skutečnosti odpovídá oblouku na kružnici, která se velmi podobá rovnoběžce (viz kružnice \(k\) se středem \(O\) na obrázku).
Na kulovém povrchu (který budeme v této úloze považovat za povrch Země) je však nejkratší vzdálenost jiný oblouk. Tento oblouk leží na kružnici \(h\), jejíž střed \(C\) je středem Země. Takové spojnice označujeme jako ortodromy a všechny kružnice s uvedenou vlastností nazýváme hlavními kružnicemi. O kolik kilometrů si však cestou po ortodromě polepšíme? Odpověď na tuto otázku je již potřeba spočítat.
Úloha. Lisabon i Washington se nachází přibližně na stejné rovnoběžce (asi \(39^{\circ}\) severní šířky). O kolik kilometrů méně uletí letadlo pohybující se po ortodromě oproti cestě po rovnoběžce? Lisabon se nachází na přibližně \(9^{\circ}\) západní délky, Washington na \(77^{\circ}\) západní délky. Předpokládejme, že je Země koulí se středem \(C\) a poloměrem \(6\ 371\,\text{km}\) a že letadlo letí v průměrné výšce \(10\,\text{km}\) (vzlet a přistání brát do úvahy nebudeme). Proto budeme ve všech úvahách pracovat s koulí o poloměru \(\varrho=6\ 381\,\text{km}\).
Řešení. Určeme nejdříve, kolik kilometrů urazí letadlo při cestě po rovnoběžce. Označme rovnoběžku na \(39^{\circ}\) severní šířky jako kružnici \(k\) se středem \(O\) a poloměrem \(r\). Ve vhodném pravoúhlém průmětu zeměkoule (viz obrázek, kde \(S\) a \(J\) jsou póly) se řečená kružnice zobrazí jako úsečka \(AB\) se středem \(O\).
Z obrázku je zřejmá rovnost \(\lvert\sphericalangle CBO\rvert = \lvert\sphericalangle BCD\rvert\) (úhly jsou střídavé) a užitím funkce kosinus v pravoúhlém trojúhelníku \(BSO\) dostáváme \(r=\varrho\cdot \cos 39^{\circ}\).
Dráhu letadla pohybujícího se po rovnoběžce (v obrázku níže je trajektorie letadla znázorněná kratším obloukem \(LW\)) určíme přímou úměrou. Celá kružnice \(k\) má délku \(2\pi r =2\pi\varrho\cdot\cos 39^{\circ} \,\text{km}\), tedy délka kratšího oblouku \(LW\) je rovna \[ \frac{(77-9)}{360}\cdot 2\pi\varrho\cdot \cos 39^{\circ} \doteq 5\ 885{,}4\,\text{km}. \]
Nyní zjistíme, kolik kilometrů uletí letadlo pohybující se po ortodromě. Jedná se vlastně o vzdálenost dvou bodů na pomyslné sféře o poloměru \(\varrho=6\ 381\,\text{km}\). Na obrázku lze vidět, že ortodroma mezi body \(L\) a \(W\) je obloukem jisté hlavní kružnice \(h\) s neznámým středovým úhlem \(\varphi\). Tento úhel musíme určit.
Uvažme rovnoramenný trojúhelník \(OWL\), který rozpůlíme výškou na základnu \(LW\) na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. V libovolném z těchto dvou trojúhelníků pak platí \(\frac{|LW|}{2}=r\cdot \sin 34^{\circ}\), a tedy \(|LW|=2r\cdot\sin 34^{\circ}\). Pokud provedeme podobnou úvahu pro rovnoramenný trojúhelník \(CWL\), dostáváme rovnost \(|LW|=2\varrho \cdot \sin\frac{\varphi}{2}\). Porovnáním pravých stran obou odvozených rovností vypočítáme hledaný úhel \(\varphi\):
\[ 2r\sin34^{\circ} = 2\varrho \sin\frac{\varphi}{2} \]
\[ \sin\frac{\varphi}{2} = \frac{r\sin34^{\circ}}{\varrho} = \frac{\varrho \cos39^{\circ}\sin 34^{\circ}}{\varrho} = \cos 39^{\circ}\sin 34^{\circ} \]
\[ \frac{\varphi}{2}= \arcsin \left( \cos 39^{\circ}\sin 34^{\circ} \right) \doteq 25^{\circ}45' \quad \Rightarrow \quad \varphi \doteq 51^{\circ}30'. \]
Dráhu letadla pohybujícího se po ortodromě určíme podobně jako v případě rovnoběžky přímou úměrou. Délka celé kružnice \(h\) je rovna \(2\pi\varrho\), pro délku kratšího oblouku \(LW\) pak platí
\[ \frac{51{,}5}{360}\cdot 2\pi\varrho \doteq 5\ 735{,}5 \,\text{km}. \]
Vidíme, že se obě dráhy liší přibližně o \(150 \,\text{km}\).
Which of the routes between Lisbon and Washington shown on the map is shorter?
This seemingly simple question has a surprising answer, as you will see in this exercise. The shorter route is the arc, the longer one is the line segment. The reason is the distortion of the distances in the selected representation of the Earth’s surface. We see that the line segment \(LW\) on the map is approximately parallel to the geographic parallels on the Earth, so it actually corresponds to an arc on a circle that closely resembles a parallel (see the circle \(k\) with the center \(O\) in the figure).
However, on the spherical surface (which we will consider to be the Earth’s surface in this task), the shortest distance is another arc. This arc is a part of a circle \(h\) whose center \(C\) is the center of the Earth. We refer to such paths as orthodromes and call all circles with this property great circles. How many kilometers do we save by traveling along an orthodrome? The answer to this question has to be calculated.
Exercise. Lisbon and Washington are located at approximately the same parallel (about \(39^{\circ}\) north latitude). How many kilometers does an airplane save by traveling on an orthodromic path compared to traveling on a parallel path? Lisbon is located at approximately \(9^{\circ}\) west longitude. Washington is located at \(77^{\circ}\) west longitude. Let us assume that the Earth is a sphere with center \(C\) and radius \(6,371\,\text{km}\) and that the plane flies at an average altitude of \(10\,\text{km}\) (take-off and landing are not taken into account). Therefore, in all considerations, we will work with a sphere of radius \(\varrho=6,381\,\text{km}\).
Solution. First, let’s determine how many kilometers the plane will cover while traveling along the parallel. Let us denote the parallel at \(39^{\circ}\) north latitude as a circle \(k\) with center \(O\) and radius \(r\). In an appropriate orthogonal projection of the globe (see the figure, where \(S\) and \(J\) are the poles), this circle appears as a chord \(AB\) with center \(O\).
The figure shows the equality \(\lvert\sphericalangle CBO\rvert = \lvert\sphericalangle BCD\rvert\) (the angles are alternating) and by using the cosine function in the right-angled triangle \(BSO\) we get \(r=\varrho\cdot \cos 39^{\circ}\).
The trajectory of the plane moving along the parallel (in the figure below, the plane’s trajectory is represented by the shorter arc \(LW\)) is determined using direct proportion: the whole circle \(k\) has a length of \(2\pi r =2\pi\varrho\cdot\cos 39^{\circ} \,\text{km}\), i.e. the length of the shorter arc \(LW\) is equal to \[ \frac{(77-9)}{360}\cdot 2\pi\varrho\cdot \cos 39^{\circ} \doteq 5,885{.}4\,\text{km}. \]
Now, we determine how many kilometers the airplane covers while moving along the orthodrome. This is essentially the distance between two points on an imaginary sphere with the radius of \(\varrho=6,381\,\text{km}\). The figure shows that the orthodrome between points \(L\) and \(W\) is an arc of a certain great circle \(h\) with an unknown central angle \(\varphi\). We need to determine the measure of this angle.
Let us consider an isosceles triangle \(OWL\), which we bisect with the height to the base \(LW\) into two congruent right triangles. In either of these two triangles, then the equation \(\frac{|LW|}{2}=r\cdot \sin 34^{\circ}\) holds, and thus \(|LW|=2r\cdot\sin 34^{\circ}\). If we follow similar reasoning for the isosceles triangle \(CWL\), we get the equality \(|LW|=2\varrho \cdot \sin\frac{\varphi}{2}\). By comparing the right sides of both derived equalities, we calculate the required angle \(\varphi\):
\[ 2r\sin34^{\circ} = 2\varrho \sin\frac{\varphi}{2} \]
\[ \sin\frac{\varphi}{2} = \frac{r\sin34^{\circ}}{\varrho} = \frac{\varrho \cos39^{\circ}\sin 34^{\circ}}{\varrho} = \cos 39^{\circ}\sin 34^{\circ} \]
\[ \frac{\varphi}{2}= \arcsin \left( \cos 39^{\circ}\sin 34^{\circ} \right) \doteq 25^{\circ}45' \quad \Rightarrow \quad \varphi \doteq 51^{\circ}30'. \]
We determine the trajectory of the airplane traveling along the orthodrome similarly as in the case of a parallel line using direct proportion. The length of the whole circle \(h\) is equal to \(2\pi\varrho\). Then, for the length of the shorter arc \(LW\), the following calculation applies
\[ \frac{51{,}5}{360}\cdot 2\pi\varrho \doteq 5,735{.}5 \,\text{km}. \]
We see that the two trajectories differ by approximately \(150 \,\text{km}\).
