Odległości na powierzchni Ziemi

Która z tras między Lizboną a Waszyngtonem pokazanych na mapie jest krótsza?

To pozornie proste pytanie ma zaskakującą odpowiedź, o czym przekonasz się w tym ćwiczeniu. Krótsza trasa to łuk, a dłuższa to odcinek linii. Powodem jest zniekształcenie odległości w wybranej reprezentacji powierzchni Ziemi. Widzimy, że odcinek linii $LW$ na mapie jest w przybliżeniu równoległy do równoleżników geograficznych na Ziemi, więc w rzeczywistości odpowiada łukowi na okręgu, który bardzo przypomina równoleżnik. (patrz okrąg $k$ ze środkiem $O$ na rysunku).

Jednak na powierzchni kulistej (którą w tym zadaniu uznamy za powierzchnię Ziemi), najkrótszą odległością jest inny łuk. Łuk ten jest częścią okręgu $h$, którego środkiem $C$ jest środek Ziemi. Odnosimy się do takich ścieżek jako ortodromy i nazywamy wszystkie okręgi z tą właściwością wielkimi okręgami. Ile kilometrów zaoszczędzimy podróżując wzdłuż ortodromy? Odpowiedź na to pytanie należy obliczyć.

Słownik

Szerokość geograficzna punktu na powierzchni Ziemi (wyrażona w stopniach i orientacji północ/południe) to kąt pomiędzy linią prostą przechodzącą przez dany punkt a środkiem Ziemi i płaszczyzną równika. Długość geograficzna punktu na powierzchni Ziemi (wyrażona w stopniach i orientacji wschód / zachód) to kąt między płaszczyzną południka przechodzącego przez dany punkt a płaszczyzną południka zerowego.

Rozwiązanie: Najpierw określmy, ile kilometrów pokona samolot, podróżując wzdłuż równoleżnika. Oznaczmy równoleżnik jako ${39}^{\circ }$ szerokość geograficzna północna jako okrąg $k$ ze środkiem $O$ i promień $r$. W odpowiednim rzucie ortogonalnym kuli ziemskiej (patrz rysunek, gdzie $S$ i $J$ są biegunami), okrąg ten jest cięciwą $AB$ o środku $O$.

Rysunek przedstawia równość $|\sphericalangle CBO|=|\sphericalangle BCD|$ (kąty są naprzemienne) i używając funkcji cosinus w trójkącie prostokątnym $BSO$ otrzymujemy $r=\varrho \cdot \cos {39}^{\circ }$.

Trajektoria samolotu poruszającego się wzdłuż równoleżnika (na poniższym rysunku, trajektoria samolotu jest reprezentowana przez krótszy łuk $LW$) jest określana przy użyciu bezpośredniej proporcji: cały okrąg $k$ ma długość $2\pi r=2\pi \varrho \cdot \cos {39}^{\circ }\text{km}$, tzn. długość krótszego łuku $LW$ jest równa $$\frac{(77-9)}{360}\cdot 2\pi \varrho \cdot \cos {39}^{\circ }\doteq 5,885.4\text{km}.$$

Teraz określamy, ile kilometrów pokonuje samolot, poruszając się wzdłuż ortodromy. Jest to zasadniczo odległość między dwoma punktami na wyimaginowanej kuli o promieniu $\varrho =6,381\text{km}$. Rysunek pokazuje, że ortodroma między punktami $L$ i $W$ jest łukiem pewnego koła wielkiego $h$ o nieznanym kącie środkowym $\phi$. Musimy określić miarę tego kąta.

Rozważmy trójkąt równoramienny $OWL$, który podzielimy wysokością na podstawę $LW$ na dwa przystające trójkąty prostokątne. W każdym z tych dwóch trójkątów zachodzi równanie $\frac{|LW|}{2}=r\cdot \sin {34}^{\circ }$ utrzymuje, a zatem $|LW|=2r\cdot \sin {34}^{\circ }$. Jeśli zastosujemy podobne rozumowanie dla trójkąta równoramiennego $CWL$, otrzymujemy równość $|LW|=2\varrho \cdot \sin \frac{\phi }{2}$. Porównując prawe strony obu wyprowadzonych równości, obliczamy wymagany kąt $\phi$:

$$2r\sin {34}^{\circ }=2\varrho \sin \frac{\phi }{2}$$

$$\sin \frac{\phi }{2}=\frac{r\sin {34}^{\circ }}{\varrho }=\frac{\varrho \cos {39}^{\circ }\sin {34}^{\circ }}{\varrho }=\cos {39}^{\circ }\sin {34}^{\circ }$$

$$\frac{\phi }{2}=\arcsin (\cos {39}^{\circ }\sin {34}^{\circ })\doteq {25}^{\circ }{45}^{\prime }\Rightarrow \phi \doteq {51}^{\circ }{30}^{\prime }.$$

Wyznaczamy trajektorię samolotu poruszającego się wzdłuż ortodromy w podobny sposób jak w przypadku linii równoległej, korzystając z proporcji bezpośredniej. Długość całego okręgu $h$ jest równa $2\pi \varrho$. Następnie, dla długości krótszego łuku $LW$, stosuje się następujące obliczenia

$$\frac{51,5}{360}\cdot 2\pi \varrho \doteq 5,735.5\text{km}.$$

Widzimy, że obie trajektorie różnią się o ok. $150\text{km}$.

Literatura

• Novák V., Murdych Z. Kartografia i topografia. Praga.
• Hradecký F., Koman M., Vyšín J.*Kilka problemów z geometrii prostych brył.

Źródła danych

• Projekcja Mercatora. Strebe - Praca własna, CC BY-SA 4.0, dostępny na https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mercator_projection_Square.JPG [cytowany 14 sierpnia 2023] .