https://um.mendelu.cz/...
in URL, click View on GitHub
to open this file on github.com.e
on GitHub). However, an advanced VS Code editor (press .
on GitHub) is better, since it provides preview how the Markdown code renders. Alternatively press pencil for simple editor or press triangle next to the pencil to get access to VS Code described as github.dev
.Ctrl+V
and K
. Keep the preview open as you work, or close using a mouse.Source control
(describe your changes, such as “Polish translation started”) and then press Commit&Push.is_finished: False
in header to is_finished: True
.https://um.mendelu.cz/...
, otevřete jej na serveru github.com.e
na GitHubu). Lepší je však pokročilý editor VS Code (stikněte .
na GitHubu), protože poskytuje náhled, jak se kód Markdown interpretuje. Případně stiskněte tužku pro jednoduchý editor nebo stiskněte trojúhelníček vedle tužky, abyste získali přístup k editoru VS Code popsaný jako github.dev
.Ctrl+V
. a K
. Během práce nechte náhled otevřený nebo jej zavřete pomocí myši.Zpráva
(popište své změny, např. “Zahájen překlad do polštiny”) a poté stiskněte tlačítko Commit&Push.is_finished: False
v záhlaví na is_finished: True
.Které kouzlo dokáže v přetíženém výtahu rozsvítit správnou kontrolku, stiskem tlačítka automatu připravit pomerančovou sodovku, po pár minutách zhasnout rozsvícená světla v chodbě domu nebo pohybovat s postavou na obrazovce počítače? O tyto a celou řadu dalších činností v reálném životě se starají logické obvody, které podrobněji prozkoumáme v následující sérii úloh.
Logické obvody se skládají z tzv. logických členů, které realizují logické operace. V úlohách budeme pracovat pouze se třemi základními logickými členy NOT (negace), AND (konjunkce) a OR (disjunkce). Na obrázku jsou vidět jejich příslušné symboly (dle americké normy ANSI/MIL) v logických obvodech. Jsou orientovány tak, aby směr vstupu byl zleva. Vstupy chápeme jako výroky, výstupy jsou pak výroky složené.
Pravdivostní hodnoty jsou v logických obvodech realizovány napětím, nízké napětí značí pravdivostní hondotu 0, vysoká úroveň napětí značí hodnotu 1. Pokud je např. u členu AND na vstupu A nízká úroveň napětí a na vstupu B vysoká úroveň, je na výstupu nízká úroveň napětí. Konkrétní hodnoty úrovní se liší dle konkrétního využití obvodu. Běžná je třeba nízká úroveň přibližně 0V, vysoká přibližně 5V.
Na dalším obrázku vidíme znázornění jednoho složitějšího logického obvodu. Pro názornost je v obrázku také vyznačeno postupné skládání výroků, což odpovídá vstupům nebo výstupům jednotlivých členů. Černý puntík označuje uzel, ve kterém se logický obvod větví. Výstup jednoho členu tak může být přiveden na více vstupů zároveň.
V následujících úlohách mohou být před vstupy zařazeny spínače nebo tlačítka, za výstupy logického obvodu pak mohou být zařazeny žárovky. Dohodněme se, že na vstupu je logická hodnota rovna 1 právě tehdy, když je spínač sepnut nebo tlačítko stisknuto. Podobně žárovka svítí právě tehdy, když je na příslušném výstupu logická hodnota 1.
Úloha 1. V obvodu na předchozím obrázku jsou před vstupy A, B a C spínače a na výstupu je zapojena žárovka. Jestliže spínač C není sepnut, v jaké poloze musí být spínače A a B, aby žárovka svítila?
Řešení. Označme
Jestliže platí
Úloha 2. Je dán logický obvod na obrázku níže, na jehož vstupech A, B a C jsou spínače a na jehož výstupu Z je zapojena žárovka. Které spínače musíme sepnout, aby se žárovka rozsvítila? Nalezněte všechna řešení úlohy. Kříží-li se v diagramu vodiče bez znázorněného uzlu, předpokládá se, že ve skutečnosti ke styku vodičů nedochází.
Řešení. Úlohu budeme řešit užitím tabulky pravdivostních hodnot. Z diagramu v zadání nejprve odvodíme výrok složený z výroků
Pro složený výrok
Z tabulky vyplývá, že žárovka bude svítit, jestliže bude sepnutý spínač A a zároveň nebude sepnutý spínač B. Na sepnutí spínače C přitom nezáleží.
Úlohu lze řešit také ekvivalentními úpravami výroku
Složený výrok
Úloha 3. Navrhněte logický obvod, který v případě poruchy některého ze dvou vodních čerpadel (příp. obou) rozsvítí výstražnou žárovku na výstupu obvodu. Dokud přitom čerpadlo funguje, vysílá signál odpovídající logické jedničce na jeden ze dvou vstupů obvodu.
Řešení. Označme
Z tabulky jde poznat, že ekvivalentním výrokem je např.
Úloha má více řešení. Například užitím de Morganova zákona dostáváme z předchozího výsledku ekvivalentní výrok
Úloha 4. Modifikujte výstražné zařízení z předchozí úlohy. Na dvou výstupech nyní bude zapojeno červené a zelené světlo. Fungují-li obě čerpadla, svítí zelené světlo a červené je zhasnuté. Při poruše jednoho z čerpadel se navíc rozsvítí i červené světlo a při poruše obou čerpadel bude svítit pouze červené světlo. Navrhněte odpovídající logický obvod.
Řešení. Podobně jako v předchozí úloze označme
Je vidět, že sloupec pro výrok
Podobně jako předchozí úloha má i tato více řešení, jejichž správnost je možné ověřit vždy pomocí tabulky pravdivostních hodnot. Blíže se však vyjádříme ještě k jednomu řešení.
Žáky může napadnout, že místo členu OR je možné vodiče spojit prostým uzlem, jak je znázorněno na obrázku:
Jestliže bude na
Úloha 5. Navrhněte logický obvod se dvěma vstupy a jedním výstupem, který simuluje operaci logické ekvivalence.
Řešení. Abychom mohli obvod sestrojit, potřebujeme nalézt k ekvivalenci
Jedno z dalších možných řešení můžeme dostat využitím de Morganových zákonů a ekvivalentní úpravou předchozího výsledku na výrok
Úloha 6. Kávový automat po stisku příslušného tlačítka umí připravit tři typy nápojů: lungo, macchiato a kakao. Nápoje se připravují mícháním čtyř ingrediencí (horké vody, mléka, kávového a kakaového koncentrátu), kde každá ingredience má svoji trysku. Navrhněte logický obvod se třemi vstupy (pro každý nápoj jeden) a čtyřmi výstupy (pro ventil každé trysky jeden), jestliže se lungo připravuje z vody a kávového koncentrátu, macchiato z vody, mléka a kávového koncentrátu a kakao z vody a kakaového koncentrátu.
Pro jednoduchost předpokládejme, že nikoho nenapadne zmáčknout více tlačítek najednou, tedy se těmito případy nemusíte zabývat. Ingredience je do kelímku uvolněna právě tehdy, když je na příslušném výstupu logická jednička.
Řešení. Označme
Řádky, pro něž je v prvních třech sloupcích více než jedna jednička, nebereme v potaz, protože je možné zmáčknout vždy jen jedno tlačítko.
Z tabulky plyne, že ekvivalentní dvojicí výroků je
Na následujícím obrázku je znázorněn diagram příslušného obvodu - disjunkce
Všechny uvedené úlohy je možné názorně ilustrovat na různých simulátorech logických obvodů, např. online simulátoru CircuitVerse. Na posledním obrázku je v tomto simulátoru modelován obvod z Úlohy 2. K ilustraci je také možné využít specializovaných elektronických stavebnic.
Which spell can turn on the correct indicator light in an overloaded elevator, prepare an orange soda by pressing the button on a vending machine, turn off the lights in the hallway of a house after a few minutes, or move a character on a computer screen? These and many other real-life activities are handled by logic circuits, which we will explore in more detail in the following series of problems.
Logic circuits consist of so-called logic gates that implement logic operations. We will work only with three basic logic gates, namely NOT (negation), AND (conjunction) and OR (disjunction), in the exercises. The figure shows their respective symbols (according to the American ANSI/MIL standard) in logic circuits. They are oriented so that the input direction is from the left. Inputs are understood as statements, while outputs are compound statements.
The truth values are implemented in logic circuits by voltage. Low voltage indicates a truth value of 0, while a high voltage level indicates a value of 1. For example, if the AND gate has a low voltage level at input A and a high voltage level at input B, the output is a low voltage level. The specific values of the levels vary according to the specific use of the circuit. A low level of approximately 0 V and a high level of approximately 5 V are common.
In the next figure we see a representation of a more complex logic circuit. For clarity, the figure also shows the sequential compounding of statements, which correspond to the inputs or outputs of the individual gates. The black dot indicates the node at which the logic circuit branches. Thus, the output of one gate can be fed to multiple inputs at the same time.
In the following exercises, switches or buttons can be placed in front of the inputs, and light bulbs can be placed behind the outputs of the logic circuit. Let’s agree that the logic value at the input is equal to 1 if and only if the switch is on or the button is pressed. Similarly, a light bulb lights if and only if there is a logic value of 1 at the corresponding output.
Exercise 1. In the circuit in the previous figure, there are switches in front of inputs A, B and C, and a light bulb is connected to the output. If switch C is not on, in what position must switches A and B be in order for the bulb to light?
Solution. Let
If
Exercise 2. The logic circuit shown in the figure below is given with switches at inputs A, B and C and a light bulb at output Z. Which switches must be turned on for the bulb to light? Find all solutions to the problem. If the wires cross in the diagram without a node shown, it is assumed that there is no actual contact between the wires.
Solution. We will solve the problem by using the truth table. From the diagram in the assignment, we first derive a statement consisting of the statements
For the compound statement
The table shows that the bulb lights if switch A is closed and switch B is not closed at the same time. The position of switch C does not matter.
The problem can also be solved by equivalent modifications of the statement
However, the compound statement
Exercise 3. Design a logic circuit that, in the event of a failure of one of the two water pumps (or both), lights up a warning lamp at the output of the circuit. As long as the pump is working, it sends a signal corresponding to a logic one to one of the two inputs of the circuit.
Solution. Let us denote
The table shows that the equivalent statement is
The problem has more solutions. For example, using de Morgan’s laws, we get from the previous result the equivalent statement
Exercise 4. Modify the warning device from the previous exercise. Red and green lights will now be connected to the two outputs. If both pumps work, the green light is on and the red light is off. If one of the pumps fails, the red light also lights up, and if both pumps fail, only the red light lights up. Design the corresponding logic circuit.
Solution. Similar to the previous problem, let us denote by
We can see that the column for the statement
Similar to the previous problem, this one also has multiple solutions, the correctness of which can always be verified using the truth table. However, we will discuss one of the solutions in more detail.
Students may think that instead of an OR gate, the wires can be connected with a simple node as shown in the figure:
If there is a value of
Exercise 5. Design a two-input, one-output logic circuit that performs logical equivalence.
Solution. In order to construct the circuit, we need to find a compound statement equivalent to
with the same truth table that contains only conjunctions, disjunctions, or negations. The definition for equivalence implies that it is true if and only if statements
One of the other possible solutions can be obtained by using de Morgan’s laws and by equivalent modifications of the previous result to statement
Exercise 6. After pressing the appropriate button, the coffee machine can prepare three types of drinks: lungo, macchiato and cocoa. Drinks are prepared by mixing four ingredients (hot water, milk, coffee and cocoa concentrate). Each ingredient has its own nozzle. Design a logic circuit with three inputs (one for each drink) and four outputs (one for each nozzle valve) given that lungo is prepared from water and coffee concentrate, macchiato from water, milk and coffee concentrate, and cocoa from water and cocoa concentrate.
For the sake of simplicity, let’s assume that no one thinks of pressing multiple buttons at the same time, so you don’t need to deal with these cases. The ingredient is released into the cup exactly when there is a logic one at the corresponding output.
Solution. Let us denote by
Rows with more than one 1 in the first three columns are not taken into account, since only one button can be pressed at a time.
The table shows that the equivalent pair of statements is
The following figure shows a diagram of the corresponding circuit - the disjunction
All the mentioned exercises can be illustrated on various logic circuit simulators, e.g. CircuitVerse online simulator. In the last figure, the circuit from Exercise 2 is modeled using this simulator. It is also possible to use specialized electronic kits for illustration.