Logické obvody

35 min., 2/3

Ktoré kúzlo dokáže v preťaženom výťahu rozsvietiť správnu kontrolku, stlačením tlačidla automatu pripraviť pomarančovú šťavu, po pár minútach zhasnúť rozsvietené svetlá v chodbe domu alebo pohybovať s postavou na obrazovke počítača? O tieto a celú radu ďalších činností sa v reálnom živote starajú logické obvody, ktoré podrobnejšie preskúmame v nasledujúcej sérii úloh. Logické obvody sa skladajú z tzv. logických členov, ktoré realizujú logické operácie. V úlohách budeme pracovať iba s tromi základnými logickými členmi NOT (negácia), AND (konjunkcia) a OR (disjunkcia). Na obrázku sú vidieť ich príslušné symboly (podľa americkej normy ANSI/MIL) v logických obvodoch. Sú orientované tak, aby smer vstupu bol zľava. Vstupy chápeme ako výroky a výstupy sú potom zložené výroky.

Pravdivostné hodnoty sú v logických obvodoch realizované napätím. Nízke napätie označuje pravdivostnú hodnotu 0 a vysoká úroveň napätia označuje hodnotu 1. Pokiaľ je napr. u člena AND na vstupe A nízka úroveň napätia a na vstupe B vysoká úroveň, je na výstupe nízka úroveň napätia. Konkrétne hodnoty úrovní sa líšia podľa konkrétneho využitia obvodu. Bežná je napríklad nízka úroveň približne 0V a vysoká približne 5V. Na ďalšom obrázku vidíme znázornenie jedného zložitejšieho logického obvodu. Pre názornosť je v obrázku tiež vyznačené postupné skladanie výrokov, čo zodpovedá vstupom alebo výstupom jednotlivých členov. Čierna bodka označuje uzol, v ktorom sa logický obvod vetví. Výstup jedného člena tak môže byť privedený na viac vstupov zároveň.

V nasledujúcich úlohách môžu byť pred vstupmi zaradené spínače alebo tlačidlá a za výstupmi logického obvodu potom môžu byť zaradené žiarovky. Dohodnime sa, že na vstupe je logická hodnota rovná 1 práve vtedy, keď je spínač zopnutý alebo tlačidlo stlačené. Podobne žiarovka svieti práve vtedy, keď je na príslušnom výstupe logická hodnota 1.

Riešenie. Označme \(p(\mathrm{X})\) pravdivostnú hodnotu výroku \(\mathrm{X}\). Zo zadania vieme, že \(p(\mathrm{C})=0\), a pýtame sa na hodnoty \(p(\mathrm{A})\) a \(p(\mathrm{B})\) také, že \(p\left[ \left(\mathrm{C}\wedge \left(\mathrm{A}\vee\mathrm{B}\right)\right)\vee \left( \neg\left(\mathrm{A}\vee\mathrm{B}\right)\right) \right]=1\). Úlohu vyriešíme úvahou.

Ak platí, že \(p(\mathrm{C})=0\), potom nutne aj \(p(\mathrm{C}\wedge \left(\mathrm{A}\vee\mathrm{B}\right))=0\). Preto musí byť pravdivý výrok \(\neg ( \mathrm{A}\vee \mathrm{B})\), a teda \(p(\mathrm{A}\vee \mathrm{B})=0\). To je však možné vtedy a len vtedy, ak sú výroky \(\mathrm{A}\) aj \(\mathrm{B}\) nepravdivé. Ani jeden spínač teda nesmie byť zopnutý.

Riešenie. Úlohu budeme riešiť použitím tabuľky pravdivostných hodnôt. Na základe diagramu zo zadania najskôr odvodíme výrok zložený z výrokov \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{B}\) a \(\mathrm{C}\), ktorý bude ekvivalentný výroku \(\mathrm{Z}\), pozri obrázok.

Pre zložený výrok \(\left( \star \right)\) teraz vytvoríme tabuľku pravdivostných hodnôt.

Z tabuľky vyplýva, že žiarovka bude svietiť práve vtedy, keď bude zopnutý spínač A a zároveň nebude zopnutý spínač B. Na zopnutí spínača C pritom nezáleží. Úlohu možno riešiť aj ekvivalentnými úpravami výroku \(\left(\star \right)\). Najprv použijeme distributívny zákon, následne tzv. zákon idempotencie \(\mathrm{A}\wedge \mathrm{A}\Leftrightarrow \mathrm{A}\):

\[ \begin{alignat*}{3} &&&\left( \mathrm{A}\wedge\neg\mathrm{B}\right) \wedge \left( \mathrm{A}\vee\mathrm{C} \right) &&\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad &&\left( \mathrm{A}\wedge\neg\mathrm{B}\wedge\mathrm{A}\right) \vee \left( \mathrm{A}\wedge\neg\mathrm{B}\wedge\mathrm{C}\right) &&\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad &&\left( \mathrm{A}\wedge\neg\mathrm{B}\right) \vee \left( \mathrm{A}\wedge\neg\mathrm{B}\wedge\mathrm{C}\right). && \tag{$\star\star$} \end{alignat*} \]

Zložený výrok \(\left( \star\star \right)\) je však pravdivý práve vtedy, keď je pravdivá konjunkcia \(\mathrm{A}\wedge\neg\mathrm{B}\), teda keď je \(\mathrm{A}\) pravdivý výrok a \(\mathrm{B}\) nepravdivý výrok. Z toho vyplýva o polohe spínačov rovnaký záver, ktorý sme učinili pomocou tabuľky.

Riešenie. Označme \(\mathrm{A}\) a \(\mathrm{B}\) výroky predstavujúce stav prvého a druhého čerpadla. Hľadáme výrok \(\mathrm{Z}\) zložený z \(\mathrm{A}\) a \(\mathrm{B}\), ktorého tabuľku pravdivostných hodnôt poznáme:

Z tabuľky vidíme, že ekvivalentným výrokom je napr. \(\neg\left( \mathrm{A} \wedge \mathrm{B}\right)\), ktorému zodpovedá diagram výsledného obvodu na obrázku:

Úloha má viac riešení. Napríklad použitím de Morganovho pravidla dostávame z predchádzajúceho výsledku ekvivalentný výrok \(\neg\mathrm{A}\vee\neg\mathrm{B}\). Tomuto výroku by zodpovedal iný, ale tiež správny obvod (diagram).

Riešenie. Podobne ako v predchádzajúcej úlohe označme \(\mathrm{A}\) a \(\mathrm{B}\) výroky vyjadrujúce stav prvého a druhého čerpadla. Takto dostaneme tabuľku pravdivostných hodnôt neznámych zložených výrokov \(\mathrm{Č}\) (červené svetlo) a \(\mathrm{Z}\) (zelené svetlo):

Je vidieť, že stĺpec pre výrok \(\mathrm{Č}\) je totožný s výrokom \(\mathrm{Z}\) v predchádzajúcej úlohe (a teda môžeme prevziať jej riešenie), a stĺpec pre výrok \(\mathrm{Z}\) zodpovedá disjunkcii \(\mathrm{A}\vee \mathrm{B}\). Využitím uzlov a rozvetvením obvodu tak môžeme zakresliť diagram zodpovedajúceho logického obvodu:

Podobne ako predchádzajúca úloha má aj táto viac riešení, ktorých správnosť je možné overiť vždy pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt. Bližšie sa však vyjadríme ešte k jednému riešeniu. Žiakov môže napadnúť, že namiesto člena OR je možné vodiče spojiť jednoduchým uzlom, ako je znázornené na obrázku:

Ak platí, že na vstupe \(\mathrm{A}\) alebo \(\mathrm{B}\) (prípadne na oboch) je hodnota \(1\), nemusí táto hodnota automaticky prechádzať aj na výstup \(\mathrm{Z}\). V skutočnosti to tak vôbec neplatí. V úvode sme si stanovili, že logická hodnota \(1\) sa reprezentuje vysokou úrovňou napätia a hodnota \(0\) sa reprezentuje nízkou úrovňou napätia. Ak je teda na vstupe \(\mathrm{A}\) vysoké napätie a na vstupe \(\mathrm{B}\) nízke napätie, v obvode dôjde ku skratu, pretože vodič spája uzly s rôznymi úrovňami napätia. Preto vo všeobecnosti v logických obvodoch nemôžeme spájať výstupy rôznych členov priamo do jedného uzla.

Riešenie. Aby sme mohli obvod zostrojiť, potrebujeme nájsť ku ekvivalencii \(\mathrm{A}\Leftrightarrow\mathrm{B}\) zložený výrok s rovnakou pravdivostnou tabuľkou, ktorý obsahuje iba konjunkcie, disjunkcie alebo negácie. Z definície pre ekvivalenciu vyplýva, že je pravdivá práve vtedy, keď sú výroky \(\mathrm{A}\) a \(\mathrm{B}\) oba pravdivé alebo oba nepravdivé. To znamená, že je pravdivá práve vtedy, keď je pravdivá konjunkcia \(\mathrm{A}\wedge\mathrm{B}\) alebo je pravdivá konjunkcia \(\neg\mathrm{A}\wedge\neg\mathrm{B}\). Tak dostávame ekvivalenciu \[ \left( \mathrm{A}\Leftrightarrow\mathrm{B} \right) \quad \Leftrightarrow \quad \left( \mathrm{A}\wedge\mathrm{B} \right) \vee \left( \neg\mathrm{A}\wedge\neg\mathrm{B} \right), \] ktorej pravá strana je výrok obsahujúci iba konjunkcie, disjunkcie a negácie. Môžeme preto zostaviť zodpovedajúci diagram:

Jedno z ďalších možných riešení môžeme dostať využitím de Morganovych pravidiel a ekvivalentnou úpravou predchádzajúceho výsledku na výrok \(\left( \mathrm{A}\wedge\mathrm{B} \right) \vee \neg \left( \mathrm{A}\vee\mathrm{B} \right)\). Technickou výhodou tohto tvaru je menší počet potrebných logických členov pri realizácii obvodu.

Riešenie. Označme \(\mathrm{C}\) (kakao, angl. cocoa), \(\mathrm{L}\) (lungo) a \(\mathrm{M}\) (macchiato) výroky predstavujúce stav stlačenia príslušného tlačidla a ďalej označme \(\mathrm{COC}\) (kakaový koncentrát, angl. cocoa concentrate), \(\mathrm{WA}\) (voda, angl. water), \(\mathrm{COF}\) (kávový koncentrát, angl. coffee concentrate) a \(\mathrm{ML}\) (mlieko, angl. milk) výroky predstavujúce stav otvorenia príslušnej trysky. Z informácií v zadaní potom zostavme tabuľku pravdivostných hodnôt:

Riadky, pre ktoré je v prvých troch stĺpcoch viac ako jedna jednotka, neberieme do úvahy, pretože je možné stlačiť vždy len jedno tlačidlo.

Z tabuľky plynie, že ekvivalentnou dvojicou výrokov je \(\mathrm{COC}\) a \(\mathrm{C}\) a ďalšou ekvivalentnou dvojicou sú výroky \(\mathrm{ML}\) a \(\mathrm{M}\). Výrok \(\mathrm{COF}\) je pravdivý práve vtedy, keď je pravdivý niektorý z výrokov \(\mathrm{L}\) alebo \(\mathrm{M}\), teda je ekvivalentný s disjunkciou \(\mathrm{L}\vee\mathrm{M}\). A nakoniec výrok \(\mathrm{WA}\) je pravdivý práve vtedy, keď je niektorý z trojice výrokov \(\mathrm{C}\), \(\mathrm{L}\), \(\mathrm{M}\) pravdivý, teda je \(\mathrm{WA}\) ekvivalentný s disjunkciou \(\mathrm{C}\vee\mathrm{L}\vee\mathrm{M}\).

Na nasledujúcom obrázku je znázornený diagram príslušného obvodu - disjunkcia \(\mathrm{C}\vee\mathrm{L}\vee\mathrm{M}\) je v ňom pritom realizovaná vnorením dvoch členov OR, t. j. ako \(\mathrm{C}\vee\left( \mathrm{L}\vee\mathrm{M}\right)\).

Všetky uvedené úlohy je možné názorne ilustrovať na rôznych simulátoroch logických obvodov, napr. online simulátore CircuitVerse. Na poslednom obrázku je v tomto simulátore modelovaný obvod z Úlohy 2. K ilustrácii je tiež možné využiť špecializované elektronické stavebnice.

Literatúra

• Perrin J. P., Denouette M., Daclin E. Logické systémy, díl I. Kombinační logické obvody. Úvod do sekvenčních obvodů. Praha: SNTL. 1972
• Online simulátor CircuitVerse, https://circuitverse.org/simulator