Šikmý vrh je najvšeobecnejší spôsob uvedenia telesa do pohybu v homogénnom gravitačnom poli. Predpokladajme, že teleso (hmotný bod) je vrhnuté šikmo do priestoru bez odporu. Počiatočná rýchlosť je a zviera s vodorovnou rovinou uhol . Zavedieme karteziánsky súradnicový systém s vodorovnou osou a zvislou osou , ako je znázornené na obrázku. Súradnice vektora počiatočnej rýchlosti sú
Pohyb telesa je ovlyvnený ťiažovým zrýchlením smerujúcim zvislo nadol. Horizontálna zložka tiažového zrýchlenia je nulová, preto pohyb vo vodorovnom smere nie je ovplyvnený ťiažovým poľom. Zvislá zložka pohybu je ovplyvnená záporným zrýchlením . Je to teda pohyb s konštantným (rovnomerným) spomalením a počiatočnou rýchlosťou .
Pre súradnice polohy hmotného bodu bude platiť
Obrázok 1. Šikmý vrh
Odpal golfovej loptičky
Hráč golfu odpáli loptičku s počiatočnou rýchlosťou , ktorá zviera s vodorovnou rovninou uhol . Predpokladajme, že odporová sila je zanedbateľná. Pohyb loptičky preto spĺňa podmienky pre pohyb šikmo vrhnutého telesa v prostredí bez odporu vzduchu.
Úloha 1. Dokážte, že trajektória golfovej loptičky je parabola.
Riešenie. Na nájdenie rovnice trajektórie, teda funkcie je potrebné odstrániť parameter zo sústavy rovníc (1). Z Prvej rovnice vyjadríme čas a dosadíme ho do druhej rovnice: Odtiaľto vidíme, že -súradnica trajektórie je kvadratická funkcia -súradnice a trajektória golfovej loptičky je preto parabola.
Úloha 2. Vypočítajte výšku vrhu, t. j. maximálnu výšku , ktorú dosiahne vystrelená loptička .
Riešenie. Pre výpočet výšky vrhu potrebujeme vypočítať maximum funkcie z predchádzajúcej úlohy:
Vypočítame deriváciu funkcie
Na nájdenie stacionárneho bodu položíme deriváciu rovnú nule a dostaneme rovnicu
Riešením tejto rovnice je Keďže trajektória pohybu je konkávna kvadratická funkcia, nájdený stacionárny bod je maximum a zvislá súradnica tohto bodu je výška vrhu.
Výšku vrhu vypočítame dosadením súradnice funkcie :
Úloha 3. Vypočítajte pre aký uhol doletí golfová loptička pri konštantnej počiatočnej rýchlosti do maximálnej vzdialenosti
Riešenie. Pre výpočet uhla maximálneho dostrelu potrebujeme získať súradnice miesta dopadu ako funkciu uhla a nájsť maximum funkcie Keďže , keď loptička dopadne na zem tak dosadíme do funkcie za nulovú výšku a vyriešime získanú rovnicu Táto rovnica v súčinovom tvare má dve riešenia. Prvé riešenie zodpovedá miestu odpalu loptičky a druhé riešenie miestu dopadu Teraz potrebujeme nájsť maximum funkcie . Stačí nájsť stacionárny bod vzhľadom na trajektóriu. Vypočítame deriváciu funkcie podľa
Ak položíme deriváciu rovnú nule, tak dostaneme pre stacionárny bod , čo je splnené pre (pre odpal loptičky platí , takže riešenie je jednoznačné). Stacionárny bod je teda .
Maximálny dostrel v golfe dosiahneme pri odpálení loptičky pod uhlom a loptička dopadne do vzdialenosti
Pripomeňme, že je možné získať funkciu bez diferenciálneho počtu len využitím symetrie paraboly. Vrchol paraboly sa nachádza v strede medzi nulovými bodmi. Preto možno -súradnicu bodu dopadu zapísať ako . To nám umožňuje vyhnúť sa riešeniu kvadratickej rovnice v súčinovom tvare získanej dosadením do funkcie .