Previous SK TOC View on GitHub PDF EN CS ES PL SK Next SK

Odpal golfovej loptičky

Keywords: optimalizácia, kvadratická rovnica, derivácia

Šikmý vrh

Šikmý vrh je najvšeobecnejší spôsob uvedenia telesa do pohybu v homogénnom gravitačnom poli. Predpokladajme, že teleso (hmotný bod) je vrhnuté šikmo do priestoru bez odporu. Počiatočná rýchlosť je v0 a zviera s vodorovnou rovinou uhol α. Zavedieme karteziánsky súradnicový systém s vodorovnou osou x a zvislou osou y, ako je znázornené na obrázku. Súradnice vektora počiatočnej rýchlosti sú

v0=(v0cosα,v0sinα).

Pohyb telesa je ovlyvnený ťiažovým zrýchlením g smerujúcim zvislo nadol. Horizontálna zložka tiažového zrýchlenia je nulová, preto pohyb vo vodorovnom smere nie je ovplyvnený ťiažovým poľom. Zvislá zložka pohybu je ovplyvnená záporným zrýchlením g. Je to teda pohyb s konštantným (rovnomerným) spomalením a počiatočnou rýchlosťou v0sinα.

Pre súradnice polohy hmotného bodu bude platiť

(1)x(t)=v0tcosα,y(t)=v0tsinα12gt2.

Obrázok 1. Šikmý vrh

Odpal golfovej loptičky

Hráč golfu odpáli loptičku s počiatočnou rýchlosťou v0, ktorá zviera s vodorovnou rovninou uhol α. Predpokladajme, že odporová sila je zanedbateľná. Pohyb loptičky preto spĺňa podmienky pre pohyb šikmo vrhnutého telesa v prostredí bez odporu vzduchu.

Úloha 1. Dokážte, že trajektória golfovej loptičky je parabola.

Riešenie. Na nájdenie rovnice trajektórie, teda funkcie y=f(x) je potrebné odstrániť parameter t zo sústavy rovníc (1). Z Prvej rovnice vyjadríme čas t=xv0cosα a dosadíme ho do druhej rovnice: y(x)=v0sinαxv0cosα12gx2v02cos2α=g2v02cos2αx2+sinαcosαx . Odtiaľto vidíme, že y-súradnica trajektórie je kvadratická funkcia x-súradnice a trajektória golfovej loptičky je preto parabola.

Úloha 2. Vypočítajte výšku vrhu, t. j. maximálnu výšku ymax, ktorú dosiahne vystrelená loptička .

Riešenie. Pre výpočet výšky vrhu potrebujeme vypočítať maximum funkcie z predchádzajúcej úlohy:

f:y=g2v02cos2αx2+sinαcosαx .

Vypočítame deriváciu funkcie f

y=g2v02cos2α2x+sinαcosα . Na nájdenie stacionárneho bodu položíme deriváciu rovnú nule a dostaneme rovnicu

gv02cos2αx=sinαcosα . Riešením tejto rovnice je xmax=v02sinαcosαg . Keďže trajektória pohybu je konkávna kvadratická funkcia, nájdený stacionárny bod je maximum a zvislá súradnica tohto bodu je výška vrhu.

Výšku vrhu vypočítame dosadením súradnice xmax funkcie f:

ymax=v02sin2α2g .

Úloha 3. Vypočítajte pre aký uhol α doletí golfová loptička pri konštantnej počiatočnej rýchlosti do maximálnej vzdialenosti

Riešenie. Pre výpočet uhla maximálneho dostrelu potrebujeme získať súradnice xd miesta dopadu ako funkciu uhla α a nájsť maximum funkcie xd(α). Keďže y=0, keď loptička dopadne na zem tak dosadíme do funkcie y(x)=g2v02cos2αx2+sinαcosαx. za y nulovú výšku a vyriešime získanú rovnicu 0=g2v02cos2αx2+sinαcosαx , 0=x(g2v02cos2αx+sinαcosα) . Táto rovnica v súčinovom tvare má dve riešenia. Prvé riešenie x=0 zodpovedá miestu odpalu loptičky a druhé riešenie xd miestu dopadu xd(α)=2v02sinαcosαg=v02gsin2α . Teraz potrebujeme nájsť maximum funkcie xd(α). Stačí nájsť stacionárny bod vzhľadom na trajektóriu. Vypočítame deriváciu funkcie xd(α) podľa α

xd(α)=v02gcos2α2 .

Ak položíme deriváciu rovnú nule, tak dostaneme pre stacionárny bod cos2α=0, čo je splnené pre 2α=90 (pre odpal loptičky platí α0,90, takže riešenie je jednoznačné). Stacionárny bod je teda α=45.

Maximálny dostrel v golfe dosiahneme pri odpálení loptičky pod uhlom α=45 a loptička dopadne do vzdialenosti xd(45)=v02gsin(245)=v02g.

Pripomeňme, že je možné získať funkciu xd(α)=v02gsin2α bez diferenciálneho počtu len využitím symetrie paraboly. Vrchol paraboly sa nachádza v strede medzi nulovými bodmi. Preto možno x-súradnicu bodu dopadu zapísať ako xd(α)=2xmax. To nám umožňuje vyhnúť sa riešeniu kvadratickej rovnice v súčinovom tvare získanej dosadením y=0 do funkcie y(x).

Literatúra

  1. Kubera, Miroslav; Nečas, Tomáš; Beneš, Vojtěch. Online učebnice fyziky pro gymnázia - Vrhy [online]. Available from https://e-manuel.cz/kapitoly/pouziti-pohybovych-zakonu/vyklad/vrhy/ [cit. 27.9.2023].
  2. Moc, Ondřej; Eisenmann, Petr. Šikmý vrh z rozhledny [online]. Available from https://mfi.upol.cz/files/26/2602/mfi_2602_129_137.pdf [cit. 27.9.2023]