Przekraczanie rzeki

25 min., 1/3

Prom musi dostać się ze swojej przystani na jednym brzegu rzeki do drugiej, która znajduje się na przeciwległym brzegu, \(500\,\text{m}\) w dół rzeki. Rzeka między dokami jest prosta i \(100\,\text{m}\) szeroka. Prędkość prądu wynosi \(2\,\text{m}/\text{s}\). Wiemy również, że łódź przewoźnika porusza się z prędkością \(12\ \text{km}/\text{h}\) względem wody.

Rozwiązanie. Oznaczmy przez \(A\) i \(B\) punkt początkowy i docelowy. Oznaczmy również przez \(P\) podnóże linii prostopadłej z punktu \(B\) do przeciwległego brzegu rzeki. Następnie zaznaczamy wektory prędkości prądu, prędkości łodzi względem wody, oraz wynikową prędkość łodzi (prędkość łodzi względem dna rzeki), wszystkie z ich punktami początkowymi w punkcie A i punktami końcowymi w następujący sposób (patrz rysunek):

• \(\overrightarrow{AM}\) to wektor prędkości prądu.
• \(\overrightarrow{AL}\) to wektor prędkości łodzi względem wody (bez uwzględnienia prądu).
• \(\overrightarrow{AK}\) to wektor wynikowej prędkości łodzi względem dna rzeki (prąd + prędkość łodzi).

Ponieważ \(K\in AB\), naszym zadaniem jest określenie kąta \(KAL\), który oznaczymy przez \(alfa\). Zgodnie z regułą dodawania wektorów czworokąt \(MALK\) jest równoległobokiem.

Dalej, oznaczmy \(\lvert \sphericalangle MAK \rvert = \beta\). Następnie \(\lvert \sphericalangle MAL \rvert = \alpha + \beta\). Z tego wynika, że \(|BP|=100\ \text{m}\) i \(|AP|=500\ \text{m}\). Korzystając z funkcji stycznej w trójkącie prostokątnym \(PAB\) otrzymujemy \(\beta = \arctan\frac{1}{5} \doteq 11^{\circ}19'\).

Ponieważ równoległobok jest dzielony przez swoją przekątną na dwa przystające trójkąty, to \(\lvert \sphericalangle AKM \rvert= \lvert \sphericalangle KAL \rvert = \alpha\). Aby obliczyć \(\alpha\), wykorzystujemy prawo sinusów dla trójkąta \(AKM\). Po przekonwertowaniu długości boków na wspólną jednostkę (km/h w naszym rozwiązaniu), otrzymujemy konkretnie \(|KM|=12\,\text{km/h}\) i \(|AM|=2\cdot 3{,}6=7{,}2\,\text{km/h}\). Teraz wyrażamy \(\alpha\) z prawa sinusów:

\[ \frac{|KM|}{\sin \beta} = \frac{|AM|}{\sin \alpha} \] \[ \sin \alpha = \frac{|AM|}{|KM|}\cdot \sin\beta \qquad \Rightarrow \qquad \alpha = \arcsin \left( \frac{|AM|}{|KM|}\cdot \sin\beta \right) \] Po podstawieniu wartości otrzymujemy \(\alpha \doteq 6^{\circ}45'\). W związku z tym przewoźnik musi obrócić swoją łódź o około \(7^{\circ}\). w prawo od bezpośredniego kursu do miejsca docelowego.

Rozwiązanie. Najpierw określmy odległość między dwoma dokami, korzystając z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym \(ABP\):

\[ \begin{aligned} |AB| &= \sqrt{|AP|^2 + |BP|^2}\\ |AB| &= \sqrt{0{,}5^2 + 0{,}1^2}\,\text{km}\\ |AB| &\doteq 0{,}51\,\text{km}. \end{aligned} \]

Teraz określamy wielkość wypadkowej prędkości łodzi względem dna rzeki, która jest równa długości odcinka linii \(AK\). Można to wyznaczyć na przykład korzystając z prawa cosinusów w trójkącie \(AKM\). Oznaczamy kąt wewnętrzny \(\lvert \sphericalangle AMK \rvert =\gamma\), który mierzy \(180^{\circ}-\alpha - \beta \doteq 161^{\circ}56'\). Następnie dla \(|AK|\) możemy napisać:

\[ \begin{aligned} |AK| &= \sqrt{|KM|^2 + |AM|^2 - 2\cdot |KM| \cdot |AM| \cdot \cos \gamma}\\ |AK| &= \sqrt{12^2 + 2^2 - 2\cdot 12 \cdot 2 \cdot \cos(161^{\circ}56')}\,\text{km/h}\\ |AK| &\doteq 19{,}0\,\text{km/h} \end{aligned} \] Łódź pokonuje bezpośrednią trasę o długości \(0{,}51\ \text{km}\) ze średnią prędkością \(19\ \text{km}/\text{h}\), co zajmuje: \[ \begin{aligned} t &= \frac{\text{pokonany dystans}}{\text{średnia prędkość}}\\ t &= \frac{0{,}51}{19}\ \text{h}\\ \end{aligned} \]

czyli około 97 sekund. Dlatego zegar pokaże 11:01 lub 11:02 po przybyciu do doku docelowego.