Nákup vozidiel pre taxislužbu

Majiteľ pražskej taxislužby v Českej republike zvažuje, či má kúpiť ďalšie vozidlá a koľko ich kúpiť, aby maximalizoval svoj zisk. V súčasnosti má 3 autá, z ktorých každé mu prináša priemerný mesačný príjem 60 000 Kč. Na základe dlhoročných skúseností v tomto odvetví však očakáva, že s každým ďalším kúpeným autom sa priemerný príjem na jedno auto zníži o 5 000 Kč v dôsledku čiastočného presunu zákazníkov na nové auto. Musí tiež vziať do úvahy, že náklady na vodiča a auto predstavujú 40 000 Kč mesačne.

Riešenie. Každé z troch áut prináša majiteľovi taxislužby čistý zisk (po odpočítaní nákladov) 20 000 Kč. Celkový súčasný čistý zisk z troch áut je teda 60 000 Kč.

Riešenie. Označme $x$ počet nových vozidiel a $y$ zisk majiteľa za jeden mesiac. Vieme, že čistý zisk jedného z troch existujúcich áut je 20 000 Kč. Od tejto sumy musíme odpočítať čiastku, ktorá predstavuje zníženie tržieb z jedného auta pri nákupe $x$ áut. Celkovo teda jedno auto prinesie majiteľovi zisk vo výške $20000-5000x$ Kč. Celkový zisk pri nákupe $x$ áut získame vynásobením tohto výrazu novým počtom áut:

$$y=(20000-5000x)(x+3)$$

Po vynásobení a úprave pravej strany vidíme, že funkcia $$f:y=-5000x^2+5000x+60000,$$ je kvadratická. Jej graf je konkávna parabola, pretože koeficient kvadratického člena je záporný.

Riešenie. Našou úlohou je teraz určiť maximum funkcie $f$. To sa nachádza v bode, ktorý je aritmetickým priemerom reálnych koreňov kvadratického polynómu (za predpokladu, že existujú). Tieto korene teraz určíme:

$$\begin{array}{rl}-5000x^2+5000x+60000& =0\\ x^2-x-12& =0\\ (x-4)(x+3)& =0\end{array}$$

Korene kvadratickej rovnice sú $x_1=4$ a $x_2=-3$, teda maximum funkcie $f$ je v bode $$x_{max}=\frac{-3+4}{2}=\frac{1}{2}.$$

Toto maximum je však nedosiahnuteľné (nie je možné kúpiť polovicu auta). Najvyššia funkčná hodnota, ktorú má zmysel v tomto prípade uvažovať, sa nachádza v najbližších celočíselných bodoch, t. j. $x=0$ alebo $x=1$ (oba body dávajú rovnakú hodnotu vzhľadom na symetriu paraboly). To však znamená, že pre majiteľa nie je výhodné kupovať ďalšie autá, pretože jeho súčasný zisk je zároveň maximálnym možným ziskom.