https://um.mendelu.cz/... in URL, click View on GitHub to open this file on github.com.e on GitHub). However, an advanced VS Code editor (press . on GitHub) is better, since it provides preview how the Markdown code renders. Alternatively press pencil for simple editor or press triangle next to the pencil to get access to VS Code described as github.dev.Ctrl+V and K. Keep the preview open as you work, or close using a mouse.Source control (describe your changes, such as “Polish translation started”) and then press Commit&Push.is_finished: False in header to is_finished: True.https://um.mendelu.cz/..., otevřete jej na serveru github.com.e na GitHubu). Lepší je však pokročilý editor VS Code (stikněte . na GitHubu), protože poskytuje náhled, jak se kód Markdown interpretuje. Případně stiskněte tužku pro jednoduchý editor nebo stiskněte trojúhelníček vedle tužky, abyste získali přístup k editoru VS Code popsaný jako github.dev.Ctrl+V. a K. Během práce nechte náhled otevřený nebo jej zavřete pomocí myši.Zpráva (popište své změny, např. “Zahájen překlad do polštiny”) a poté stiskněte tlačítko Commit&Push.is_finished: False v záhlaví na is_finished: True.Chladicí věže elektrárny jsou monumentální stavby z betonu, tyčící se k nebi a vypouštějící bílá oblaka vodní páry. Tyto železobetonové skořápky postavené na tenkých desetimetrových nožičkách jsou nedílnou součástí technologie elektrárny. Každá chladicí věž má tepelný výkon přes \(1\,000\, \text{MW,}\) což znamená, že každou hodinu se do ovzduší uvolní tolik tepla, kolik by stačilo k vytápění zhruba osmdesáti domácností po dobu 1 roku.
Chladicí věž jaderné elektrárny Temelín je tvaru jednodílného rotačního hyperboloidu. Od výšky dvaceti metrů až po vrchol ve výšce \(155\,\text{m}\) je uvnitř věže jen prázdný prostor. Tloušťka této železobetonovité skořepiny je v dolní části věže \(90\,\text{cm}\), což je jen dvojnásobek tloušťky obvodové nosné zdi v cihlovém rodinném domě. Směrem nahoru se postupně zmenšuje a u koruny je plášť široký jako kolo osobního auta (asi \(18\,\text{cm}\)). Celý plášť je postaven na asi stovce betonových noh, tvořících vstupní otvory pro nasávání vzduchu. Kruhový bazén pod věží má (stejně jako věž ve spodní části) průměr přibližně \(130\,\text{m}\).
Naším úkolem bude určit objem chladící věže jaderné elektrárny Temelín. Na tento úkol půjdeme postupně. V první řadě najdeme funkci pomocí které budeme věž modelovat a následně určíme pomocí určitého integrálu její objem.
Pro zjednodušení výpočtů si skutečnou chladící věž mírně zidealizujeme (zaokrouhlíme některé rozměry). Budeme
o ní předpokládat, že má tvar části hyperboloidu s výškou \(155\,\text{m}\), poloměrem základny \(65\,\text{m}\) a poloměrem koruny \(41\,\text{m}\) . Jeho nejužší místo je \(35\,\text{m}\) pod korunou chladicí věže.
Abychom mohli pracovat v souřadnicích, jak jsme zvyklí, umístíme osu rotačního hyperboloidu tak, aby splývala se souřadnou osou \(x\). Navíc si jej umístíme tak, že řezem chladící věže vedeným jeho osou je část hyperboly, na které leží pata věže se souřadnicemi \([155, 65]\) a vrchol koruny \([0, 41]\). Jelikož nejužší místo věže je \(35\,\text{m}\) pod korunou chladicí věže, má střed hyperboly souřadnice \([35, 0]\). Chladící věž vznikne rotací části této hyperboly kolem osy \(x\).
Úloha 1. Napište obecnou rovnici hyperboly se středem \([35, 0]\) a s ohnisky ležícími na ose rovnoběžné s osou \(x\).
Řešení. Obecná rovnice hyperboly má tvar \[\frac{y^2}{a^2} - \frac{(x - 35)^2}{b^2} = 1.\]
Úloha 2. Určete obecnou rovnici hyperboly, jejíž částí je řez chladící věže, jestliže na ní leží body \([155, 65]\) a \([0, 41]\). Do vztahu dosaďte za \(a^2\), \(b^2\) hodnoty zaokrouhlené na jednotky.
Řešení. Po dosazení bodů \([155, 65]\), \([0, 41]\) ležících na hyperbole dostáváme soustavu rovnic \[ \begin{align*} \frac{65^2}{a^2} - \frac{(155-35)^2}{b^2} &= 1 \\ \frac{41^2}{a^2} - \frac{35^2}{b^2} &= 1 \\ \end{align*} \] Vyjádřením \(\frac{1}{a^2}\) z první rovnice \[\frac{1}{a^2}=\frac{1}{65^2}\left(1+\frac{120^2}{b^2}\right)\] a dosazením do druhé rovnice získáme \[\frac{41^2}{65^2}\left(1+\frac{120^2}{b^2}\right)-\frac{35^2}{b^2} = 1.\] Nyní vypočítáme \(b^2\): \[b^2 = \frac{41^2 \cdot 120^2 - 35^2 \cdot 65^2}{65^2-41^2} \;\dot{=}\; 7481.\] Po zpětném dosazení získáme \[a^2= \frac{41^2 \cdot 120^2 - 35^2 \cdot 65^2}{120^2-35^2} \;\dot{=}\; 1444.\] Hyperbola modelující řez chladící věží má obecnou rovnici \[\frac{y^2}{1444} - \frac{(x - 35)^2}{7481} = 1.\]
Úloha 3. Vyjádřete z obecné rovnice hyperboly funkci, která popisuje rameno hyperboly ležící nad osou \(x\).
Řešení. Z obecné rovnice hyperboly \[\frac{y^2}{1444} - \frac{(x - 35)^2}{7481} = 1\] vyjádříme \(y\) \[y(x) = \pm\sqrt{1444 + \frac{1444}{7481} (x - 35)^2}.\] Rameno hyperboly ležící nad osou \(x\) popisuje funkce \[y(x) = \sqrt{1444 + \frac{1444}{7481} (x - 35)^2}.\]
Úloha 4. Vypočítejte objem rotačního tělesa vzniklého rotací části ramena hyperboly modelující chladící věž v intervalu \(x\in\langle 0, 155\rangle\) kolem osy \(x\).
Řešení. K výpočtu objemu použijeme určitý integrál vyjadřující objem rotačního tělesa \[V = \pi \int_{0}^{155} \left(1444 + \frac{1444}{7481} (x - 35)^2\right) \,\mathrm{d}x= \pi \left[1444x + \frac{1444}{7481} \cdot \frac{1}{3}(x - 35)^3 \right]_{0}^{155}\doteq1\,052\,436\,\text{m}^3\] Objem modelu chladící věže jaderné elektrárny Temelín je \(1\,052\,436\,\text{m}^3\).
Poznámka. Porovnáme-li získaný objem \(1\,052\,436\,\text{m}^3\) modelu chladící věže s objemem \(1\,069\,700\,\text{m}^3\) skutečné chladící věže v Temelíně, vidíme, že náš výsledek je velmi realistický.
The power plant’s cooling towers are monumental structures made of concrete, towering into the sky and emitting white clouds of water vapor. These reinforced concrete shells, built on thin ten-meter legs, are an integral part of the power plant’s technology. Each cooling tower has a thermal output of over \(1{,}000\,\text{MW,}\). This means that every hour, enough heat is released into the air to heat about eighty homes for an entire year.
The cooling tower of the Temelín nuclear power plant is in the shape of a one-sheeted rotational hyperboloid. From a height of twenty meters up to the top at \(155\,\text{m}\), the inside of the tower is completely hollow. This reinforced concrete shell is \(90\,\text{cm}\) thick in the lower part of the tower, only three times thicker than a concrete foundation slab of a family house. The thickness gradually decreases upwards and at the crown the shell is as wide as a car wheel (about \(18\,\text{cm}\)). The entire shell is built on about a hundred concrete legs, forming air inlets. The circular pool beneath the tower (like the tower itself) has a diameter of approximately \(130\,\text{m}\).
Our task is to determine the volume of the cooling tower of the Temelín nuclear power plant. We will go about this task step by step. First, we find a function to model the tower, and then we determine its volume using a definite integral.
To simplify the calculations, we slightly idealize the real cooling tower (we round off some dimensions). Let’s assume that the tower has the shape of a part of a hyperboloid of one sheet with a height of \(155\,\text{m}\), a base radius of \(65\,\text{m}\), and a crown radius of \(41\,\text{m}\). Its narrowest point is \(35\,\text{m}\) below the crown of the cooling tower.
In order to work with coordinates, as we are used to, we will place the axis of the rotational hyperboloid so that it coincides with the coordinate axis \(x\). Moreover, we place it so that the cross-section of the cooling tower along its axis forms a part of a hyperbola, with the base of the tower located at the point \([155, 65]\) and the top (the crown) at \([0, 41]\). Since the narrowest part of the tower is \(35\,\text{m}\) below the crown of the cooling tower, the center of the hyperbola has coordinates \([35, 0]\). The cooling tower can be created by rotating a part of this hyperbola around the \(x\)-axis.
Exercise 1. Write the standard form of the equation of a hyperbola with center \([35, 0]\) and foci lying on an axis parallel to the \(x\)-axis.
Solution. The standard form of the equation of a hyperbola is \[\frac{y^2}{a^2} - \frac{(x - 35)^2}{b^2} = 1.\]
Exercise 2. Determine the standard form of the equation of the hyperbola, that the section of the colling tower is a part of, given that points \([155, 65]\) and \([0, 41]\) lie on it. Substitute the values rounded to the nearest whole number for \(a^2\), \(b^2\) in the equation.
Solution. After substituting the points \([155, 65]\), \([0, 41]\) lying on the hyperbola, we obtain the system of equations \[ \begin{align*} \frac{65^2}{a^2} - \frac{(155-35)^2}{b^2} &= 1 \\ \frac{41^2}{a^2} - \frac{35^2}{b^2} &= 1 \\ \end{align*} \] Expressing \(\frac{1}{a^2}\) from the first equation \[\frac{1}{a^2}=\frac{1}{65^2}\left(1+\frac{120^2}{b^2}\right)\] and substituting it into the second equation, we obtain \[\frac{41^2}{65^2}\left(1+\frac{120^2}{b^2}\right)-\frac{35^2}{b^2} = 1.\] Now we solve for \(b^2\): \[b^2 = \frac{41^2 \cdot 120^2 - 35^2 \cdot 65^2}{65^2-41^2} \;\dot{=}\; 7{,}481.\] After substituting back, we get \[a^2= \frac{41^2 \cdot 120^2 - 35^2 \cdot 65^2}{120^2-35^2} \;\dot{=}\; 1{,}444.\] The hyperbola modeling the section of a cooling tower has the standard form of the equation \[\frac{y^2}{1{,}444} - \frac{(x - 35)^2}{7{,}481} = 1.\]
Exercise 3. From the standard form of the equation of the hyperbola, express the function that describes the branch of the hyperbola lying above the \(x\)-axis.
Solution. From the standard form of the equation of the hyperbola \[\frac{y^2}{1{,}444} - \frac{(x - 35)^2}{7{,}481} = 1\] we express \(y\) \[y(x) = \pm\sqrt{1{,}444 + \frac{1{,}444}{7{,}481} (x - 35)^2}.\] The branch of the hyperbola lying above the \(x\)-axis is described by the function \[y(x) = \sqrt{1{,}444 + \frac{1{,}444}{7{,}481} (x - 35)^2}.\]
Exercise 4. Calculate the volume of the solid of revolution formed by rotating a part of the branch of the hyperbola modeling the cooling tower on the interval \(x\in\langle 0, 155\rangle\) around the \(x\)-axis.
Solution. To calculate the volume, we use a definite integral expressing the volume of a solid of revolution \[V = \pi \int_{0}^{155} \left(1{,}444 + \frac{1{,}444}{7{,}481} (x - 35)^2\right) \,\mathrm{d}x= \pi \left[1{,}444x + \frac{1{,}444}{7{,}481} \cdot \frac{1}{3}(x - 35)^3 \right]_{0}^{155}\doteq1{,}052{,}436\,\text{m}^3\] The volume of the model of the cooling tower of the Temelín nuclear power plant is \(1{,}052{,}436\,\text{m}^3\).
Note. If we compare the obtained volume of \(1{,}052{,}436\,\text{m}^3\) of the cooling tower model with the volume of \(1{,}069{,}700\,\text{m}^3\) of the real cooling tower in Temelín, we see that our result is quite realistic.