Początkowe rozprzestrzenienie się epidemii

30 min., 2/3

Najbardziej znaną niedawną epidemią jest pandemia COVID-19, choroba wirusowa wywoływana przez koronawirusa SARS-CoV-2, która wybuchła w grudniu 2019 r. w mieście Wuhan w prowincji Hubei w środkowych Chinach.

Początek epidemii COVID-19 w Europie datuje się na styczeń 2020 roku. Pierwsze potwierdzone przypadki odnotowano we Francji 24 stycznia 2020 roku. Było to trzech pacjentów, którzy niedawno wrócili z Chin, gdzie epidemia była już w pełnym rozkwicie.

Następnie choroba rozprzestrzeniła się na Czechy przed 1 marca 2020 r., kiedy potwierdzono pierwsze trzy przypadki. Na dzień 18 marca 2020 r. w naszym kraju potwierdzono już 464 przypadki.

Wczesna faza epidemii charakteryzuje się zazwyczaj wzrostem wykładniczym. W miarę upływu czasu, rozprzestrzenianie się ma tendencję do zwalniania i podążania inną trajektorią (np. liniową, logistyczną itp.).

Typowy scenariusz epidemii

Na podstawie zebranych danych spróbujemy zmodelować liczbę zarażonych osób w funkcji liczby dni od początku epidemii. Tabela zawiera dane opisujące liczbę zarażonych osób w odniesieniu do liczby dni od początku pandemii.

Uwaga. Są to rzeczywiste dane z Republiki Czeskiej, począwszy od 1 marca 2020 r.

Rozwiązanie. Jeśli przez \(q_n\) oznaczymy stosunek liczby zarażonych osobników w dniu \(n\)th do liczby zarażonych osób w dniu \(n-1\)th, otrzymamy następujący wzór \[ q_n=\frac{a_n}{a_{n-1}}, \qquad n\geq2. \] Możemy teraz obliczyć wszystkie wartości i uzupełnić tabelę.

Obliczony stosunek liczby zarażonych osób w danym dniu do dnia poprzedniego można interpretować jako tempo rozprzestrzeniania się choroby. W przypadku ściśle wykładniczego wzrostu lub spadku współczynnik ten byłby stały. Ponieważ jednak pracujemy tylko z obserwowanymi danymi, wartość współczynnika jest tylko przybliżona. Przyjrzyjmy się bliżej temu wskaźnikowi.

Rozwiązanie. Średnia arytmetyczna \(\bar{q}\) jest określona wzorem \[ \bar{q}=\frac{q_2+\cdots+q_{16}}{15}=1{,}40731. \] Podobnie, dla średniej geometrycznej \(G\) otrzymujemy \[ G=\sqrt[15]{q_2\cdot \cdots \cdot q_{16}}=1{,}38191. \] W tym przypadku lepiej jest użyć średniej geometrycznej.

Na średnią arytmetyczną mogą wpływać wartości skrajne ​​(dla nas, na przykład, wartość \(q_6\)), które mogą zniekształcać interpretację średniego wzrostu lub spadku. Z drugiej strony, średnia geometryczna zmniejsza wpływ takich skrajności.

Co więcej, w przypadku wzrostu wykładniczego (jeśli ograniczymy się do podstawowej postaci \(k\cdot a^x\)) jest on mnożony przez stały czynnik (tj. stosunek dwóch zmierzonych wartości pobranych w stałych odstępach czasu jest stały). Średnia geometryczna bezpośrednio reprezentuje ten mnożnikowy charakter zmian. Na przykład, załóżmy, że mamy dwa kolejne pomiary z proporcjami \[ q_1=2, \qquad q_2=0{,}5, \] wówczas średnia arytmetyczna \(\bar{q}=1{,}25\) wskazywałaby na stabilny wzrost, podczas gdy średnia geometryczna \(G=1\) prawidłowo odzwierciedlałaby zerowy wzrost netto.

Rozwiązanie. Stosując metodę prób i błędów, możemy stworzyć funkcję wykładniczą, która odpowiednio reprezentuje nasze dane, na przykład poprzez wykorzystanie obliczonych średnich. Będziemy używać standardowego zapisu, która jest również używana w GeoGebrze i na poniższym rysunku. Na wykresie, \(x\) reprezentuje czas w dniach a \(y\) liczbę zainfekowanych osobników.

Używając średniej arytmetycznej otrzymujemy funkcję \(y=1{,}40731^x\), średnia geometryczna daje funkcję \(y=1{,}38191^x\). Funkcje te są dość odległe od zaznaczonych punktów, więc nieco je zmodyfikujemy: \(y=2\cdot1{,}40731^x\), \(y=2\cdot1{,}38191^x\). Wykresy proponowanych funkcji przedstawiono na rysunku. Oczywiście możliwe jest uzyskanie jeszcze dokładniejszych funkcji wykładniczych.

Uwaga. Funkcję wykładniczą uzyskaną w wyniku analizy regresji można utworzyć za pomocą arkusza kalkulacyjnego lub programu Geogebra. W programie Geogebra punkty uzyskane z tabeli należy wprowadzić za pomocą następującego polecenia: FitExp({(1,3), (2,3), (3,5),...,(16,384)}).

Rozwiązanie. Wszystkie trzy funkcje zostały przedstawione na poniższym rysunku. Na pierwszy rzut oka widać, że wszystkie funkcje są podobne na początku, ale dla większych wartości \(x\), funkcja \(y=1{,}9466\cdot \mathrm{e}^{0{,}3376x}\) wydaje się być najlepiej dopasowana do danych.

Możemy również określić tę obserwację ilościowo, korzystając z danych z tabeli.

Możemy wykorzystać zakres, w jakim poszczególne wartości różnią się od siebie, jako wskaźnik dokładności, z jaką nasze funkcje reprezentują dane. Daje nam to następujące wyniki:

\[ \begin{align*} |239-190|+|336-299|+|473-384|&=175\\ |185-190|+|256-299|+|354-384|&=92\\ |220-190|+|308-299|+|432-384|&=87. \end{align*} \]

Zazwyczaj jednak do oceny dokładności wykorzystuje się kwadraty różnic. Wynika to z faktu, że podniesienie do kwadratu zmniejsza wpływ małych różnic (poniżej 1) i jeszcze bardziej zwiększa wpływ dużych różnic.

Powoduje to: \[ \begin{align*} (239-190)^2+(336-299)^2+(473-384)^2&=11{,}691\\ (185-190)^2+(256-299)^2+(354-384)^2&=4{,}174\\ (220-190)^2+(308-299)^2+(432-384)^2&=3{,}285. \end{align*} \] W tym przypadku trzecia krzywa również okazała się najlepsza. Nie jest to przypadek, ponieważ krzywa utworzona przy użyciu regresji minimalizuje tego typu błędy.

Solution. Aby epidemia nadal rosła wykładniczo, warunki rozprzestrzeniania się choroby muszą pozostać niezmienione. W praktyce ludzie zaczną chronić się za pomocą sprzętu ochronnego, zminimalizują kontakt z innymi lub zaszczepią się. Zmniejszy to tempo wzrostu liczby zarażonych osób. Epidemia osiągnie swój szczyt, a liczba zarażonych osób zacznie spadać. Aby utrzymać wzrost wykładniczy, musiałaby również istnieć nieograniczona liczba osób, które mogą zarazić się chorobą.

Literatura

• European Centre for Disease Prevention and Control Novel Coronavirus: three cases reported in France. Dostępne na https://www.flickr.com/photos/ecdc_eu/50321985653/in/dateposted/ [cit. 08.08.2024]

• Ministerstwo Zdrowia ČR. Onemocnění aktuálně - COVID 19. Available from https://onemocneni-aktualne.mzcr.cz/api/v2/covid-19 [cit. 30.8.2023]