https://um.mendelu.cz/... in URL, click View on GitHub to open this file on github.com.e on GitHub). However, an advanced VS Code editor (press . on GitHub) is better, since it provides preview how the Markdown code renders. Alternatively press pencil for simple editor or press triangle next to the pencil to get access to VS Code described as github.dev.Ctrl+V and K. Keep the preview open as you work, or close using a mouse.Source control (describe your changes, such as “Polish translation started”) and then press Commit&Push.is_finished: False in header to is_finished: True.https://um.mendelu.cz/..., otevřete jej na serveru github.com.e na GitHubu). Lepší je však pokročilý editor VS Code (stikněte . na GitHubu), protože poskytuje náhled, jak se kód Markdown interpretuje. Případně stiskněte tužku pro jednoduchý editor nebo stiskněte trojúhelníček vedle tužky, abyste získali přístup k editoru VS Code popsaný jako github.dev.Ctrl+V. a K. Během práce nechte náhled otevřený nebo jej zavřete pomocí myši.Zpráva (popište své změny, např. “Zahájen překlad do polštiny”) a poté stiskněte tlačítko Commit&Push.is_finished: False v záhlaví na is_finished: True.Mějme úsečku \(AB\) a na ní bod \(C\). Řekneme, že bod \(C\) dělí úsečku \(AB\) v poměru zlatého řezu, jestliže pro délky uvažovaných úseček platí vztah \[\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|AC|}{|CB|}.\] Tento poměr se často značí řeckým písmenem \(\varphi\) a má hodnotu přibližně \(1{,}618\).
Pěkným příkladem využití zlatého řezu v běžném životě je platební karta. Ta má tvar tzv. zlatého obdélníka, jehož strany splňují poměr zlatého řezu. Zlatý obdélník je oblíbený tvar díky jeho vyváženému vzhledu; není ani příliš dlouhý, ani příliš široký.
Zlatý řez úzce souvisí s Fibonacciho posloupností. Členy Fibonacciho posloupnosti jsou čísla \(1\), \(1\), \(2\), \(3\), \(5\), \(8\), \(13\), \(21\), \(34\), \(55\), …, kde každý další člen posloupnosti získáme součtem předchozích dvou členů. Jednotlivé prvky této posloupnosti označujeme také jako Fibonacciho čísla. A jaká je souvislost mezi Fibonacciho posloupností a zlatým řezem? Platí, že limita poměrů dvou po sobě jdoucích členů této posloupnosti je rovna právě zlatému řezu \(\varphi\).
Pokud sestrojíme čtverce, jejichž délky stran odpovídají právě Fibonacciho číslům, je možné je pěkně uspořádat vedle sebe do tvaru zlatého obdélníka tak, jak je vidět na obrázku. Do každého čtverce pak můžeme vepsat čtvrtkružnici a dostáváme tzv. zlatou spirálu. Zlatá spirála je speciálním případem logaritmické spirály.
V přírodě se zlatý řez objevuje právě ve formě Fibonacciho posloupnosti. Můžeme ho najít v uspořádání listů na stoncích. Listy vyrůstají nad sebou tak, aby si navzájem nestínily, přechod od jednoho listu k dalšímu má charakter šroubovitého výstupu kolem stonku. Podobné uspořádání můžeme najít u šupin borové šišky, semen slunečnice nebo u kůry ananasu. Logaritmickou spirálu najdeme také ve schránkách měkkýšů či ve svinutém lístku kapradiny. Tento tvar dále mají tornáda, cyklóny i galaxie.
Zlatý řez je hojně využíván v umění pro dosažení esteticky působivých a harmonických kompozic. Malíři a fotografové používají tento poměr k určení umístění klíčových prvků ve svých obrazech. Architekti často integrují poměr zlatého řez do návrhů budov.
Nekonečný řetězový zlomek je výraz typu \[x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \ddots}}},\] kde \(a_0\) je celé číslo a čísla \(a_i\) jsou kladná přirozená čísla pro \(i\in\mathbb{N}\). Řetězový zlomek může být i v konečném tvaru.
Zlatý řez lze vyjádřit nekonečným řetězovým zlomkem \[\varphi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}.\]
Úloha 1. Vypočítejte přibližné hodnoty zlatého řezu pomocí následujících konečných řetězových zlomků
Řešení.
Úloha 2. Vypočtěte přesnou hodnotu zlatého poměru \(\varphi\).
Řešení. Předpokládejme, že úsečka \(AB\) má délku \(1\). Tuto úsečku rozdělíme bodem \(C\) v poměru zlatého řezu. Potom platí \[\varphi=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|AC|}{|CB|}.\] Označme \(x=|AC|\), tedy \(x\) bude délka delšího úseku úsečky \(AB\). Potom pro délku úsečky \(BC\) platí \(|BC|=1-x\) a tím získáme vztah \[\frac{1}{x} = \frac{x}{1-x},\tag{1}\] který má smysl pro \(x\neq0 \text{ a } x\neq1\). Tyto krajní hodnoty však nemusíme vyšetřovat, protože poměr zlatého řezu zcela jistě nesplňují. Úpravou (1) dostaneme kvadratickou rovnici \[x^2 + x - 1 = 0,\] jejíž kořeny jsou \[x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}.\] V našem případě \(x\) je délka úsečky, proto záporná hodnota \(x\) nemá smysl. Máme tedy jediné vyhovující řešení rovnice (1) \[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}.\] Nyní můžeme vypočítat hodnotu zlatého řezu \(\varphi\): \[\varphi=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}.\] Usměrněním zlomku pak dostaneme \[\varphi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\doteq1{,}618.\]
Úloha 3. Řešte rovnici inspirovanou zlatým řezem v konečném řetězovém zlomku \[ x = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x}}}. \]
Řešení.
Nejprve rovnici postupně zjednodušíme. \[ \begin{aligned} x &= 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\frac{x+1}{x}}}\qquad\text{pro }x\neq0\\ x &= 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{x}{x+1}}\qquad\text{pro }x\neq-1\\ x &= 1 + \cfrac{1}{\frac{x+1+x}{x+1}}\\ x &= 1 + \frac{x+1}{2x+1}\\ x &= \frac{3x+2}{2x+1}\\ \end{aligned} \]
Za podmínky \(x\neq -\frac12\) odsud úpravou získáme kvadratickou rovnici \[2x^2 - 2x - 2 = 0.\] Její kořeny jsou \[x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.\] Všimněte si, že jedním z řešení je opět zlatý řez.
Let us have a line segment \(AB\) and a point \(C\) that lies on it. We say that point \(C\) divides line segment \(AB\) in the golden ratio, if the lengths of the segments satisfy equation \[\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|AC|}{|CB|}.\] This ratio is often denoted by the Greek letter \(\varphi\) and has a value of approximately \(1{.}618\).
A nice example of the use of the golden ratio in everyday life is the credit card. It has the shape of a so-called golden rectangle, the sides of which satisfy the golden ratio. The golden rectangle is a popular shape because of its balanced appearance; it is neither too long nor too wide.
The golden ratio is closely related to the Fibonacci sequence. The terms of the Fibonacci sequence are numbers \(1\), \(1\), \(2\), \(3\), \(5\), \(8\), \(13\), \(21\), \(34\), \(55\), …, where each term is the sum of the two preceding ones. We also refer to the individual terms of this sequence as Fibonacci numbers. What is the connection between the Fibonacci sequence and the golden ratio? It holds that the limit of the ratio of two consecutive terms of this sequence equals the golden ratio \(\varphi\).
If we construct squares whose side lengths correspond exactly to the Fibonacci numbers, it is possible to arrange them nicely next to each other in the shape of a golden rectangle as shown in the figure. We can then inscribe a quarter circle in each square and we get the so-called golden spiral. The golden spiral is a special case of the logarithmic spiral.
In nature, the golden ratio appears in the form of the Fibonacci sequence. We can find it in the arrangement of the leaves on the stems. The leaves grow one above the other so that they do not shade each other, the transition from one leaf to the next has the character of a spiral growth around the stem. Similar arrangements are found in the scales of the pine cone, the seeds of the sunflower, or the the pineapple peel. The logarithmic spiral is also found in the mollusc shells or in the fiddlehead fern. Tornadoes, cyclones and galaxies also have this shape.
The golden ratio is widely used in art to achieve aesthetically impressive and harmonious compositions. Painters and photographers use this ratio to determine the placement of key elements in their works. Architects often integrate the golden ratio into building designs.
An infinite continued fraction is an expression of the form \[x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \ddots}}},\] where \(a_0\) is an integer and the numbers \(a_i\) are positive natural numbers for \(i\in\mathbb{N}\). A continued fraction can also be finite.
The golden ratio can be expressed by the continued fraction \[\varphi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}.\]
Exercise 1. Calculate approximate values of the golden ratio using finite continued fractions
Solution.
Exercise 2. Calculate the exact value of the golden ratio \(\varphi\).
Solution. Let’s assume that line segment \(AB\) has length \(1\). We divide this line segment by the point \(C\) in the golden ratio. Then we have \[\varphi=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|AC|}{|CB|}.\] Let’s denote \(x=|AC|\), i.e. \(x\) is the length of the longer line segment of the line segment \(AB\). Then \(|BC|=1-x\) holds for the length of the line segment \(BC\) and thus we obtain the equation \[\frac{1}{x} = \frac{x}{1-x},\tag{1}\] which is defined for \(x\neq0 \text{ and } x\neq1\). However, we do not need to consider these extreme values, because they certainly do not correcpond to the golden ratio. By manipulating (1), we obtain a quadratic equation \[x^2 + x - 1 = 0,\] whose roots are \[x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}.\] In our case, \(x\) is the length of the line segment; therefore, a negative value of \(x\) is not valid. Thus, we have the only satisfying solution to equation (1) \[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}.\] Now we can calculate the value of the golden section \(\varphi\): \[\varphi=\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}.\] By rationalizing the denominator we then get \[\varphi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\doteq1{.}618.\]
Exercise 3. Solve an equation inspired by the golden ratio in a finite continued fraction \[ x = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x}}}. \]
Solution.
Let’s simplify the equation step by step. \[ \begin{aligned} x &= 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\frac{x+1}{x}}}\qquad\text{for }x\neq0\\ x &= 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{x}{x+1}}\qquad\text{for }x\neq-1\\ x &= 1 + \cfrac{1}{\frac{x+1+x}{x+1}}\\ x &= 1 + \frac{x+1}{2x+1}\\ x &= \frac{3x+2}{2x+1}\\ \end{aligned} \]
Under the condition \(x\neq -\frac12\) we obtain a quadratic equation \[2x^2 - 2x - 2 = 0.\] Its roots are \[x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.\] Note that one of the solutions is again the golden ratio.