Złoty podział i ułamki ciągłe

Mamy odcinek $AB$ i punkt $C$, który na nim leży. Mówimy, że punkt $C$ dzieli odcinek $AB$ w złotym podziale, jeśli długości odcinków spełniają równanie $$\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|AC|}{|CB|}.$$ Współczynnik ten jest często oznaczany grecką literą $\phi$ i ma wartość około $1.618$.

Dobrym przykładem zastosowania złotego podziału w życiu codziennym jest karta kredytowa. Ma ona kształt tak zwanego złotego prostokąta, którego boki spełniają zasadę złotego podziału. Złoty prostokąt jest popularnym kształtem ze względu na jego zrównoważony wygląd; nie jest ani za długi, ani za szeroki.

Złota proporcja jest ściśle związana z ciągiem Fibonacciego. Wyrazy ciągu Fibonacciego są liczbami $1$, $1$, $2$, $3$, $5$, $8$, $13$, $21$, $34$, $55$, …,gdzie każdy termin jest sumą dwóch poprzednich. Poszczególne wyrazy tego ciągu nazywamy również liczbami Fibonacciego. Jaki jest związek między ciągiem Fibonacciego a złotą proporcją? Jest tak, że granica stosunku dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu tego ciągu jest równa złotej proporcji $\phi$.

Jeśli skonstruujemy kwadraty, których długości boków odpowiadają dokładnie liczbom Fibonacciego, można je ładnie ułożyć obok siebie w kształcie złotego prostokąta, jak pokazano na rysunku. Następnie możemy wpisać ćwierć koła w każdy kwadrat i otrzymamy tzw. złotą spiralę. Złota spirala jest szczególnym przypadkiem spirali logarytmicznej.

W naturze złota proporcja występuje w postaci ciągu Fibonacciego. Możemy ją znaleźć w układzie liści na łodygach. Liście rosną jeden nad drugim, dzięki czemu nie zacieniają się nawzajem, przejście od jednego liścia do następnego ma charakter spiralnego wzrostu wokół łodygi. Podobny układ występuje w łuskach szyszek sosnowych, nasionach słonecznika lub skórce ananasa. Spirala logarytmiczna występuje również w muszlach mięczaków lub w paproci. Tornada, cyklony i galaktyki również mają ten kształt.

Złota proporcja jest szeroko stosowana w sztuce w celu uzyskania estetycznych i harmonijnych kompozycji. i harmonijnych kompozycji. Malarze i fotografowie używają tego współczynnika do określania rozmieszczenia kluczowych elementów w swoich pracach. Architekci często uwzględniają złotą proporcję w projektach budynków.

Nieskończony ułamek ciągły

Nieskończony ułamek ciągły jest wyrażeniem postaci $$x=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\ddots }}},$$ gdzie $a_0$ jest liczbą całkowitą, a liczby $a_i$ są dodatnimi liczbami naturalnymi dla $i\in \mathbb{N}$. Ułamek ciągły może być również skończony.

Złotą proporcję można wyrazić za pomocą ułamka ciągłego $$\phi =1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots }}}.$$

Rozwiązanie.

1. $$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{5}{3}\doteq 1.67$$
2. $$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{3}{2}}}=1+\frac{1}{\frac{5}{3}}=\frac{8}{5}=1.6$$

Rozwiązanie. Załóżmy, że odcinek $AB$ ma długość $1$. Podzielimy ten odcinek przez punkt $C$ w złotym podziale. Wtedy otrzymujemy $$\phi =\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|AC|}{|CB|}.$$ Oznaczmy $x=|AC|$, tzn. $x$ jest długością dłuższego odcinka linii $AB$. Wtedy $|BC|=1-x$ zachodzi dla długości odcinka $BC$ i w ten sposób otrzymujemy równanie $$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{1}{x}=\frac{x}{1-x},\end{array}$$. który jest zdefiniowany dla $x\ne 0\text{ i }x\ne 1$. Nie musimy jednak brać pod uwagę tych skrajnych wartości, ponieważ z pewnością nie odpowiadają one złotej proporcji. Manipulując (1), otrzymujemy równanie kwadratowe $$x^2+x-1=0,$$. którego pierwiastkami są $$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}.$$ W naszym przypadku, $x$ jest długością odcinka linii; dlatego ujemna wartość $x$ nie jest prawidłowa. Mamy więc jedyne satysfakcjonujące rozwiązanie równania (1) $$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.$$ Teraz możemy obliczyć wartość złotego podziału $\phi$: $$\phi =\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{1}{x}=\frac{1}{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}.$$ Skracając mianownik otrzymujemy wówczas $$\phi =\frac{\sqrt{5}+1}{2}\doteq 1.618.$$

Rozwiązanie.

Uprośćmy równanie krok po kroku. $$\begin{array}{rl}x& =1+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{x+1}{x}}}\text{for }x\ne 0\\ x& =1+\frac{1}{1+\frac{x}{x+1}}\text{for }x\ne -1\\ x& =1+\frac{1}{\frac{x+1+x}{x+1}}\\ x& =1+\frac{x+1}{2x+1}\\ x& =\frac{3x+2}{2x+1}\end{array}$$

Pod warunkiem $x\ne -\frac{1}{2}$ otrzymujemy równanie kwadratowe $$2x^2-2x-2=0.$$ Jego pierwiastki to $$x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}.$$ Zauważ, że jednym z rozwiązań jest ponownie złota proporcja.

Literatura

• Wikipedia. Złota proporcja [online]. Dostępne na https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio [cit. 10.,11.,2023].
• Wikipedia. Řetězový zlomek [online]. Dostępne na https://cs.wikipedia.org/wiki/Řetězový_zlomek [cit. 10.,11.,2023].