Mamy odcinek
Dobrym przykładem zastosowania złotego podziału w życiu codziennym jest karta kredytowa. Ma ona kształt tak zwanego złotego prostokąta, którego boki spełniają zasadę złotego podziału. Złoty prostokąt jest popularnym kształtem ze względu na jego zrównoważony wygląd; nie jest ani za długi, ani za szeroki.
Złota proporcja jest ściśle związana z ciągiem Fibonacciego. Wyrazy ciągu Fibonacciego są liczbami
Jeśli skonstruujemy kwadraty, których długości boków odpowiadają dokładnie liczbom Fibonacciego, można je ładnie ułożyć obok siebie w kształcie złotego prostokąta, jak pokazano na rysunku. Następnie możemy wpisać ćwierć koła w każdy kwadrat i otrzymamy tzw. złotą spiralę. Złota spirala jest szczególnym przypadkiem spirali logarytmicznej.
W naturze złota proporcja występuje w postaci ciągu Fibonacciego. Możemy ją znaleźć w układzie liści na łodygach. Liście rosną jeden nad drugim, dzięki czemu nie zacieniają się nawzajem, przejście od jednego liścia do następnego ma charakter spiralnego wzrostu wokół łodygi. Podobny układ występuje w łuskach szyszek sosnowych, nasionach słonecznika lub skórce ananasa. Spirala logarytmiczna występuje również w muszlach mięczaków lub w paproci. Tornada, cyklony i galaktyki również mają ten kształt.
Złota proporcja jest szeroko stosowana w sztuce w celu uzyskania estetycznych i harmonijnych kompozycji. i harmonijnych kompozycji. Malarze i fotografowie używają tego współczynnika do określania rozmieszczenia kluczowych elementów w swoich pracach. Architekci często uwzględniają złotą proporcję w projektach budynków.
Nieskończony ułamek ciągły jest wyrażeniem postaci
Złotą proporcję można wyrazić za pomocą ułamka ciągłego
Zadanie 1. Oblicz przybliżone wartości złotej proporcji przy użyciu skończonych ułamków ciągłych
Rozwiązanie.
Zadanie 2. Oblicz dokładną wartość złotego podziału
Rozwiązanie. Załóżmy, że odcinek
Zadanie 3. Rozwiąż równanie inspirując się złotą proporcją w skończonym ułamku ciągłym
Rozwiązanie.
Uprośćmy równanie krok po kroku.
Pod warunkiem