https://um.mendelu.cz/... in URL, click View on GitHub to open this file on github.com.e on GitHub). However, an advanced VS Code editor (press . on GitHub) is better, since it provides preview how the Markdown code renders. Alternatively press pencil for simple editor or press triangle next to the pencil to get access to VS Code described as github.dev.Ctrl+V and K. Keep the preview open as you work, or close using a mouse.Source control (describe your changes, such as “Polish translation started”) and then press Commit&Push.is_finished: False in header to is_finished: True.https://um.mendelu.cz/..., otevřete jej na serveru github.com.e na GitHubu). Lepší je však pokročilý editor VS Code (stikněte . na GitHubu), protože poskytuje náhled, jak se kód Markdown interpretuje. Případně stiskněte tužku pro jednoduchý editor nebo stiskněte trojúhelníček vedle tužky, abyste získali přístup k editoru VS Code popsaný jako github.dev.Ctrl+V. a K. Během práce nechte náhled otevřený nebo jej zavřete pomocí myši.Zpráva (popište své změny, např. “Zahájen překlad do polštiny”) a poté stiskněte tlačítko Commit&Push.is_finished: False v záhlaví na is_finished: True.Kvalitní anténa je jedním z nejdůležitějších prvků každého radaru. Jedním typem antény je tzv. parabolická anténa. Tato anténa má tvar rotačního paraboloidu (to znamená, že vznikla rotací části paraboly kolem její osy) a slouží nejen k radiolokaci, ale například i k příjmu satelitního televizního vysílání.
Parabolický tvar přijímací antény zajišťuje, že přicházející signály z určitého směru se po odrazu od antény soustřeďují do jednoho bodu, a to do ohniska paraboly, jejíž rotací anténa vznikla. V tomto bodě proto bývá přijímač antény. Pokud je naopak v ohnisku umístěn výstup z vysokofrekvenčního generátoru (zářič), funguje anténa jako vysílací. Energie ze zářiče se po odrazu od paraboloidu soustředí do úzkého proudu mikrovln s rovnoběžnými paprsky.
Osovým řezem antény je část paraboly. Ta je charakterizovaná dvěma parametry. Jsou to průměr \(d\) antény a hloubka \(h\) antény, viz obrázek. Tyto dva údaje jsou určující pro polohu ohniska \(F\). Vzdálenost ohniska od vrcholu paraboly označíme \(f\). Poslední důležitou charakteristikou antény je její úhel otevření, který vyjadřuje pod jakým úhlem jsou vidět okraje části paraboly z ohniska. Jeho hodnotu označujeme \(2\varphi\).
Při výpočtu polohy ohniska je výhodné předpokládat umístění vrcholu paraboly v počátku, kdy osa \(x\) je zároveň tečnou této paraboly v jejím vrcholu. Vrcholová rovnice paraboly je pak \[x^2=2py,\] kde \(p\) je parametr paraboly, tedy vzdálenost ohniska od řídící přímky paraboly. Pro parametr \(p\) platí \(p=2f\).
Úloha 1. Máme k dispozici parabolickou anténu s průměrem \(d=120\,\text{cm}\) a hloubkou \(h=20{,}3\,\text{cm}\). Takováto anténa je vhodná pro využití v radioamatérském pásmu \(5{,}76\,\text{GHz}\) (vlnová délka \(5{,}2\,\text{cm}\)). Vypočítejte, kam je nutné umístit přijímač.
Řešení. Aby anténa správně fungovala, musí přijímač ležet v ohnisku parabolické antény. Máme tedy určit polohu ohniska. Vzhledem k umístění paraboly mají krajní body její části souřadnice \(\left[-\frac{d}{2},h\right]\) a \(\left[\frac{d}{2},h\right]\). Navíc oba tyto body musí splňovat vrcholovou rovnici paraboly \(x^2=2py,\) kde parametr \(p\) určuje polohu ohniska, přičemž při našem označení platí \(f=\frac{p}{2}\).
Dosaďme pravý krajní bod do této rovnice a určeme \(p\): \[60^2=2p\cdot 20{,}3.\] Odtud tedy \(p \doteq 88{,}7\,\text{cm}\). Ohnisko leží na ose \(y\) ve vzdálenosti \(f=\frac{p}{2}\doteq44{,}3\,\text{cm}\) od vrcholu paraboly.
Úloha 2. Určete předpis kvadratické funkce (v explicitním tvaru) vyjadřující zakřivení parabolické antény a znázorněte ji (např. v GeoGebře).
Řešení. Z vrcholové rovnice paraboly \(x^2=2\cdot 88{,}7 y\) je nutné vyjádřit souřadnici \(y\). Pro kvadratickou funkci platí \[y=\frac{1}{177{,}4}x^2.\] Graf kvadratická funkce bude správně zachycovat zakřivení parabolické antény, pokud bude platit, že na obou osách je stejné měřítko.
Úloha 3. Vypočítejte úhel otevření paraboly \(2\varphi\).
Řešení. Pro výpočet otevření paraboly využijeme pravoúhlého trojúhelníka s odvěsnami délky \(f-h\) a \(\frac{d}{2}\).
Pro polovinu úhlu otevření platí \[\mathrm{tg}\,\varphi=\frac{\frac{d}{2}}{f-h}=\frac{60}{44{,}3-20{,}3}\quad\Longrightarrow\quad \varphi\doteq 68{,}2^{\circ}.\] Úhel otevření paraboly \(2\varphi\) je \(136{,}4^{\circ}\).
A quality antenna is one of the most important elements of any radar. One type of antenna is the so-called parabolic antenna. This antenna has the shape of a rotating paraboloid (that means it was created by rotating a part of the parabola around its axis) and is used not only for radiolocation but also, for example, for receiving satellite television broadcasts.
The parabolic shape of the receiving antenna ensures that the incoming signals from a certain direction are concentrated in one point after reflection from the antenna. Namely in the focal point of the parabola, the rotation of which created the antenna. The antenna’s receiver is therefore located at this point. On the other hand, if the output of a high-frequency generator (emitter) is located at the focal point, the antenna acts as a transmitter. After reflection from the paraboloid, the energy from the emitter is concentrated into a narrow stream of microwaves with parallel beams.
The axial section of the antenna is a part of the parabola. It is characterized by two parameters. They are the diameter \(d\) of the antenna and the depth \(h\) of the antenna, see the figure. These two parameters determine the position of the focus \(F\). We denote the distance of the focus from the vertex of the parabola by \(f\). The last important characteristic of the antenna is its opening angle, which expresses the angle at which the edges of the part of the parabola are visible from the focal point. We denote its value by \(2\varphi\).
When calculating the position of the focus point, it is advantageous to assume that the location of the vertex of the parabola is at the origin of the coordinate system, and the \(x\) axis is the tangent to the parabola at its vertex. The standard equation of the parabola is then \[x^2=2py,\] where \(p\) is a parameter of the parabola (semi-latus rectum), i.e. the distance of the focus from the directrix of the parabola. For the parameter \(p\), \(p=2f\) holds.
Exercise 1. We have a parabolic antenna with a diameter of \(d=120\,\text{cm}\) and a depth of \(h=20{.}3\,\text{cm}\). Such an antenna is suitable for use in amateur radio band \(5{.}76\,\text{GHz}\) (wavelength \(5{.}2\,\text{cm}\)). Determine the optimal location for the receiver.
Solution. For the antenna to function optimally, the receiver must be located at the focal point of the parabolic antenna. Therefore, we have to determine the coordinates of the focal point. Given the placement of the parabola, its endpoints have coordinates \(\left[-\frac{d}{2},h\right]\) and \(\left[\frac{d}{2},h\right]\). Moreover, both of these points must satisfy the standard equation of the parabola \(x^2=2py,\) where the parameter \(p\) determines the position of the focus, while \(f=\frac{p}{2}\) applies in our notation.
Let’s substitute the right endpoint into this equation and determine \(p\): \[60^2=2p\cdot 20{.}3.\] Hence \(p \doteq 88{.}7\,\text{cm}\). The focus lies on the \(y\)-axis at a distance \(f=\frac{p}{2}\doteq44{.}3\,\text{cm}\) from the vertex of the parabola.
Exercise 2. Determine the quadratic function (in explicit form) expressing the curvature of a parabolic antenna and graph it (e.g. in GeoGebra).
Solution. From the standard equation of the parabola \(x^2=2\cdot 88{.}7 y\) it is necessary to express the \(y\) coordinate. For the quadratic function applies \[y=\frac{1}{177{.}4}x^2.\]
The graph of the quadratic function correctly captures the curvature of the parabolic antenna if both axes have the same scale.
Exercise 3. Calculate the opening angle \(2\varphi\) of the parabola.
Solution. To calculate the opening of the parabola, we use a right triangle with legs of lengths \(f-h\) and \(\frac{d}{2}\).
For half the opening angle we get \[\mathrm{tg}\,\varphi=\frac{\frac{d}{2}}{f-h}=\frac{60}{44{.}3-20{.}3}\quad\Longrightarrow\quad \varphi\doteq 68{.}2^{\circ}.\] The opening angle of the parabola \(2\varphi\) is \(136{.}4^{\circ}\).