There is a shape in furniture design, that is interesting from a geometric point of view. It can be created from a right square prism by dividing each side into two triangles by one of the diagonals and rotating the top base by \(90^\circ\), as shown in Figure 1. While maintaining the lengths of the edges and diagonals, the height of the prism changes. The resulting shape is a special case of the so-called twisted prism.
Let’s try to create this shape from a box from baby syrup or eye drops, for example. For everything to work it is necessary that the lids of the box (top and bottom base of the prism) are square-shaped and they could be flipped or unfolded in some way. Creating a collapsed prism requires a bit of practice and skill, because the \(90^\circ\) rotation cannot be done so easily in practice.
We can use the following procedure.
Exercise 1. We want to create a stool in the shape of a twisted prism and we have a number of cardboard boxes available.. These boxes have the same square bases with an edge length of \(40\,\text{cm}\) cm, but different heights. For seating, we have tested that a stool height of \(50\,\text{cm}\) suits us What is the ideal height of the box for making a stool in in the shape of a quadrilateral twisted prism with a height of \(50\,\text{cm}\)? The length of the edge of the base is \(a=40\,\text{cm}\)
Solution. The original side edge of the prism of length \(v\), the height of the chair \(h\) and the edge of the lower base \(a\) form a right triangle. The edge \(a\) is the perpendicular projection of the edge \(v\) into the plane of the lower base (see figure).
According to the Pythagorean theorem, it holds
\[ v = \sqrt{h^2 + a^2} = \sqrt{50^2 + 40^2} \doteq 64\,\text{cm}. \]
The cardboard box should ideally be about \(64\,\text{cm}\) in height.
Šlo by obdobný tvar vytvořit i z kolmých hranolů, jejichž podstava by byl jiný pravidelný \(n\)-úhelník?
Odpověď zní ano. Postup uvedený výše však je možné aplikovat pouze pro sudá \(n\). Pro lichá \(n\) není možné složení do roviny překřížením, jak je uvedeno v postupu.
Vypočítejme výšku tělesa vzniklého zborcením pravidelného šestibokého hranolu pro obecnou výšku a délku strany.
Rozmyslete si nejdříve, o kolik stupňů se tomto případě horní podstava pootočí. Pokud prostorová představivost selhává, vytvořte si model. Pro jednoduchost stačí pracovat se sítí pláště hranolu.
Na Obrázku 4 je taková síť již připravená ke slepení (ideální je tvrdší papír).
Před slepením vytvořte ohyby v hranách a úhlopříčkách. Ve hranách směrem nahoru, v úhlopříčkách směrem dolů. Po slepení postupujte podle Obrázku 5.
Úloha 2. Jak závisí výška \(h\) šestibokého zborceného hranolu (který vznikne z pravidelného šestibokého hranolu) na výšce původního hranolu \(v\) a hraně \(a\) dolní podstavy?
Řešení. K výpočtu je třeba znát úhel o který se jedna podstava pootočí vzhledem k druhé. Ten lze určit z modelu popsaného výše. Následující prostorový obrázek úhel rotace prozrazuje.
Pokud je pro někoho trojrozměrný obrázek nepřehledný může si představit, jak těleso vypadá při pohledu shora. Horní podstavu budeme brát nyní jako průhlednou. Úsečky, které byly úhlopříčkami ve stěnách původního hranolu, se protínají v jednom bodě. Při pohledu shora dělí šestiúhelník \(A'B'C'D'E'F'\) na šest rovnostranných trojúhelníků. (Obrázek 6 vlevo.) Zaměříme se na úsečku \(A'B\), která byla úhlopříčkou ve stěně \(ABB'A'\). (Viz Obrázek 6 vpravo). Aby tato úsečka procházela středem, musí být \(A'=E\), protože bod \(E\) je naproti bodu \(B\). Ostatní vrcholy doplníme postupně podle abecedy ve stejném směru, v jakém jsou body označeny v dolní podstavě, tj. proti směru hodinových ručiček. Nyní je už jasné, že se horní podstava pootočila zhledem ke spodní podstavě o \(120^\circ\). Díky tomu víme, že hrana \(BB'\) leží nad hranou \(BF\) a úsečka \(BF\) je kolmým průmětem úsečky \(BB'\). Délka hrany \(BB'\) je \(v\), délku \(BF\) označme \(v_1\). Výška tělesa \(h\) je rovna délce úsečky \(B'F\).
Body \(F\), \(B\) a \(B'\) tvoří pravoúhlý trojúhelník. Pomocí Pythagorovy věty dostáváme pro výšku vztah
\[ h = \sqrt{v^2 - v_1^2}. \]
Zbývá určit \(v_1\). K tomu použijeme trojúhelník \(ABF\).
Postupovat můžeme opět pomocí Pythagorovy věty. K vytvoření pravoúhlého trojúhelníka stačí bodem \(A\) vést výšku na stranu \(AF\). Patu této výšky označíme \(P\). Délka této výšky je \(\frac a2\), protože trojúhelník \(ABP\) je polovina rovnostranného trojúhelníku o straně \(a\). Platí
\[ \frac{v_1}{2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}a^2} = \frac{a}{2}\sqrt{3} \]
a odsud
\[ v_1 = a\sqrt{3}. \]
Toto vyjádření nyní můžeme dosadit do vztahu pro \(h\). Tím dostáváme
\[ h = \sqrt{v^2 - (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{v^2 - 3a^2}, \]
což je hledané vyjádření výšky šestibokého zborceného hranolu pomocí \(v\) a \(a\).
Úloha 3. Jaká je omezující podmínka pro vznik modelů z předchozích dvou úloh?
Řešení. V Úloze 1 musí být \(v\) větší než \(a\). Pokud by platila rovnost \(v=a\), potom by v pravoúhlém trojúhelníku byla přepona stejně dlouhá jako odvěsna a zbylá odvěsna by měla nulovou délku. Výška zborceného hranolu by tedy byla nulová a hranol by se složil do roviny. Úhlopříčky původního hranolu by se stále protínaly v jednom bodě.
Ve Úloze 2 by obdobně muselo platit \(v > |AE|\), tedy \(v > \sqrt{3}a\). Pro \(v=\sqrt{3}a\) by zborcený hranol měl opět nulovou výšku a složil by se do roviny.
Už bylo zmíněno, že pro liché \(n\) nelze postupovat tak, jak bylo uvedeno výše. Rozdíl je ale pouze v tom, že po vytvoření sítě pláště není vhodné lepit spoj v boční hraně předtím než vytvoříme požadovaný tvar. Nejdříve síť upravíme do tvaru zborceného hranolu a teprve poté slepíme boční hranu.
Co kdybychom chtěli vyrobit tvar podobný tomu z prvního příkladu, ale použít ho jako vázičku na suché květiny nebo stojan na tužky? Nevyhovuje nám v tom případě, že se 4 hrany zborceného hranolu (bývalé úhlopříčky stěn pravidelného čtyřbokého hranolu) uprostřed hranolu protínají. Chceme, aby uvnitř vznikl volný prostor. Proto potřebujeme zmenšit úhel rotace jedné podstavy vzhledem k druhé.
Úloha 4. Sestrojte síť vázy tvaru zborceného hranolu, jestliže je dána výška vázy \(h=110\) mm, hrana čtvercové podstavy \(a=65\) mm a úhel rotace horní hrany vázy oproti dolní podstavě je \(\alpha=45^\circ\).
Nápověda. Na Obrázku 9 vlevo je pohled shora na dolní podstavu a na horní podstavu pootočenou o \(45^\circ\). Napravo jsou znázorněny i všechny hrany vzniklého objektu. Kreslit všechny hrany není třeba, pro konstrukci je důležitá spojnice \(AA'\) a \(BA'\). Je třeba si také uvědomit, že při pohledu shora pro kolmý průmět \(A_1\) bodu \(A'\) platí \(A_1=A'\).
