Instructions for translators

1. Open this file on GitHub server. If you see https://um.mendelu.cz/... in URL, click View on GitHub to open this file on github.com.
2. If you see this file on GitHub server, you can edit the content of the file. Open the file in an editor. You can use simple editor (pres e on GitHub). However, an advanced VS Code editor (press . on GitHub) is better, since it provides preview how the Markdown code renders. Alternatively press pencil for simple editor or press triangle next to the pencil to get access to VS Code described as github.dev.
3. Fix the keywords in the preamble.
4. Depending on which language version you want to use as a source for your translation, delete either English or Czech version below.
5. Translate to your language. Keep Markdown marking and math notation. If you use a tool to get first version of the translation, make sure that the markup is preserved.
6. In VS Code you can open the preview in another window by pressing Ctrl+V and K. Keep the preview open as you work, or close using a mouse.
7. Instead of saving, you have to commit and push the changes to the repository. Fill the Message under Source control (describe your changes, such as “Polish translation started”) and then press Commit&Push.
8. Make sure that your changes appear in the commit history. In rare cases (if you work with simultaneously with someone else) you have to download /Pull/ and merge his and yours changes. Usualy Sync (Pull & Push) should work.
9. When you finish the translation, change is_finished: False in header to is_finished: True.

Instrukce pro překladatele

1. Otevřete tento soubor na serveru GitHub. Pokud máte soubor otevřen na https://um.mendelu.cz/..., otevřete jej na serveru github.com.
2. Pokud tento soubor vidíte na serveru GitHub, můžete obsah souboru upravit. Otevřete soubor v editoru. Můžete použít jednoduchý editor (stiskněte e na GitHubu). Lepší je však pokročilý editor VS Code (stikněte . na GitHubu), protože poskytuje náhled, jak se kód Markdown interpretuje. Případně stiskněte tužku pro jednoduchý editor nebo stiskněte trojúhelníček vedle tužky, abyste získali přístup k editoru VS Code popsaný jako github.dev.
3. Opravte klíčová slova v preambuli.
4. V závislosti na tom, kterou jazykovou verzi chcete použít jako zdrojový kód pro svůj překladu, odstraňte níže uvedenou anglickou nebo českou verzi.
5. Přeložte do svého jazyka. Ponechte značení Markdown a matematický zápis. Pokud použijete nástroj typu DeepL pro získání první verze překladu, ujistěte se, že zápis matematických výrazů byl zachován.
6. Ve VS Code můžete náhled otevřít v jiném okně stisknutím Ctrl+V. a K. Během práce nechte náhled otevřený nebo jej zavřete pomocí myši.
7. Místo uložení musíte změny zaregistrovat a odeslat do úložiště. Vyplňte zprávu v poli Zpráva (popište své změny, např. “Zahájen překlad do polštiny”) a poté stiskněte tlačítko Commit&Push.
8. Ujistěte se, že se vaše změny objeví v historii revizí. Ve výjimečných případech (pokud pracujete současně s někým jiným) musíte stáhnout /Pull/ a sloučit jeho a vaše změny. Obvykle by synchronizace (Pull & Push) měla fungovat.
9. Po dokončení překladu změňte is_finished: False v záhlaví na is_finished: True.

Czech source

Zvědavý skladník

Řešením ryze matematických problémů dostáváme přesné výsledky. Používáme-li však matematiku k řešení problémů světa kolem nás, dosáhneme absolutní přesnosti odpovědi jen zřídka. Přibližnost je někdy způsobena tím, že při svých úvahách reálnou situaci zjednodušíme. Jindy jsou přibližně stanovena už vstupní data (např. měřit délky nebo čas umíme jen s omezenou přesností) nebo je absolutně přesný výsledek reálně nedosažitelný a musí se zaokrouhlit.

Často se v praxi (a také v následujících úlohách) využívá zaokrouhlování na určitý počet platných číslic. Kladné reálné číslo \(r\) zaokrouhlíme na \(n\) platných číslic následujícím způsobem:

• Vyjádříme \(r\) ve tvaru \(a\cdot 10^b\), kde \(a\in\mathbb{R}\), \(a\in\left\langle 1,10 \right)\) a \(b\in\mathbb{Z}\), a následně zaokrouhlíme číslo \(a\) na \(n-1\) desetinných míst podle standardních pravidel pro zaokrouhlování.
• Např. čísla \(r=31{,}258\,16\) a \(s=0{,}023 \,123\,6\) zaokrouhlíme na čtyři platné číslice takto: \[ \begin{aligned} r &= 31{,}258\,16 = 3{,}125\,816 \cdot 10^1 \quad \doteq\quad 3{,}126 \cdot 10^1 = 31{,}26 \\ s &= 0{,}023 \,123\,6 = 2{,}312\,36 \cdot 10^{-2} \quad \doteq\quad 2{,}312 \cdot 10^{-2} = 0{,}023\,12. \end{aligned} \] Konkrétně zaokrouhlování vstupních dat může mít překvapivé důsledky pro přesnost výsledku třeba při řešení rovnic, jak se přesvědčíme v následující sérii úloh.

Řešení. Vyřešme úlohu nejprve bez zaokrouhlování. Označme \(x\) cenu za jedno balení Ixodinu a \(y\) cenu za jedno balení Nopolio. Informace v zadání vedou na soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých \[ \begin{alignedat}{2} 597x &\,+& 386 y &= 401\,950 \\ 86x &\,+& 19 y &= 39\,600, \end{alignedat} \] jejímž řešením dostáváme skutečnou nákupní cenu jednoho balení vakcíny Ixodinum \(350\,\text{Kč}\) a cenu jednoho balení vakcíny Nopolio \(500\,\text{Kč}\).

Po zaokrouhlení koeficientů na jednu platnou číslici řešíme soustavu \[ \begin{alignedat}{2} 600x' &\,+ & 400 y' &= 400\,000 \\ 90x' &\,+ & 20 y' &= 40\,000. \end{alignedat} \] Řešením je dvojice \(x'=\frac{1000}{3}\doteq333\) a \(y'=500\). Porovnáme skutečnou cenu a skladníkův cenový odhad. Dále vypočteme relativní chybu v ceně léčiva, která vznikla zaokrouhlením. Relativní chybu určíme jako podíl absolutní chyby (absolutní hodnoty rozdílu cen) a skutečné ceny balení léku. Výsledky shrneme v tabulce:

Řešení. Úlohu budeme řešit stejně jako předchozí, tentokrát označíme \(x\) cenu jednoho balení Antiflu a \(y\) cenu jednoho balení Kontradiftu. Tyto skutečné ceny jsou řešením soustavy \[ \begin{alignedat}{2} 504x &\,+ & 81 y &= 198\,900 \\ 98x &\,+ & 18 y &= 40\,700, \end{alignedat} \] odkud dostáváme \(x=250\) a \(y=900\).

Po zaokrouhlení koeficientů řešíme soustavu \[ \begin{alignedat}{2} 500x' &\,+ & 80 y' &= 200\,000 \\ 100x' &\,+ & 20 y' &= 40\,000, \end{alignedat} \] jejímž řešením je \(x'=400\) a \(y'=0\). Z řešení vedoucího skladu se tedy zdá, že druhá vakcína byla do skladu dodána zadarmo, přitom je ve skutečnosti skoro čtyřikrát dražší než první. Rozdíl mezi skutečnou cenou a skladníkovým odhadem ceny i relativní chybu zaneseme opět do tabulky:

Řešení. Označme \(p_1\), \(p_2\) (resp. \(q_1\), \(q_2\)) jednotlivé přímky dané rovnicemi soustavy s nezaokrouhlenými koeficienty v Úloze 1 (resp. v Úloze 2), jmenovitě \[ \begin{aligned} p_1 &\colon 597x + 386 y = 401\,950 \\ p_2 &\colon 86x + 19 y = 39\,600 \\[2mm] q_1 &\colon 504x + 81 y = 198\,900 \\ q_2 &\colon 98x + 18 y = 40\,700. \end{aligned} \] Přímky dané odpovídajícími rovnicemi se zaokrouhlenými koeficienty označme \(p'_1\), \(p'_2\), \(q'_1\) a \(q'_2\) a dále označme body \(P\in p_1\cap p_2\), \(P'\in p'_1\cap p'_2\), \(Q\in q_1\cap q_2\) a \(Q'\in q'_1\cap q'_2\). Grafické znázornění dvojice soustav pro každou úlohu zvlášť je vidět na obrázku.

Porovnáním obou grafických znázornění je vidět, že v případě Úlohy 2 je přímky \(q_1\) a \(q_2\) jsou téměř rovnoběžné. Při zaokrouhlování koeficientů rovnice se obecně poloha přímek vůči souřadnému systému mění a tím se mění také poloha jejich průsečíku. Změna polohy průsečíku je přitom daleko větší u přímek, které jsou téměř rovnoběžné. Z obrázku je také vidět, proč bude zaokrouhlením v druhé úloze daleko více ovlivněna druhá souřadnice průsečíku (tj. cena vakcíny Kontradift). Vzhledem ke sklonu přímek \(q_1\) a \(q_2\) by totiž malá změna \(x\)-ové souřadnice průsečíku znamenala velkou změnu jeho \(y\)-ové souřadnice.

Literatura

• Biermann K., Grötschel M., Lutz-Westphal B. (2010). Besser als Mathe: Moderne angewandte Mathematik aus dem MATHEON zum Mitmachen. Berlin: Vieweg+Teubner.

English source

The Curious Warehouse Manager

When we solve purely mathematical problems, we get exact results. However, when we use mathematics to solve problems in the world around us, we rarely achieve absolute precision in the answer. Approximation is sometimes the result of a simplification of the real situation in our minds. Sometimes the input data are approximated (e.g. we can only measure lengths or time with limited accuracy) or an absolutely exact result is realistically unattainable and must be rounded off.

Rounding to a given number of significant digits is often used in practice (and in the following problems). We round a positive real number \(r\) to \(n\) significant digits as follows:

• We express \(r\) in the form \(a\cdot 10^b\), where \(a\in\mathbb{R}\),\(a\in\left\langle 1,10 \right)\) and \(b\in\mathbb{Z}\), and then we round the number \(a\) to \(n-1\) decimal places according to the standard rules for rounding.
• E.g. numbers \(r=31{.}258\,16\) and \(s=0{.}023 \,123\,6\) we round to four valid digits as follows: \[ \begin{aligned} r &= 31{.}258\,16 = 3{.}125\,816 \cdot 10^1 \quad \doteq\quad 3{.}126 \cdot 10^1 = 31{.}26 \\ s &= 0{.}023 \,123\,6 = 2{.}312\,36 \cdot 10^{-2} \quad \doteq\quad 2{.}312 \cdot 10^{-2} = 0{.}023\,12. \end{aligned} \]

Notably, rounding input data can have surprising consequences for the accuracy of the result, for example when solving equations, as we will see in the following series of problems.

Solution. First, let’s solve the problem without rounding. Let \(x\) be the price per package of Ixodine and \(y\) be the price per package of Nopolio. The information in the assignment leads to a system of two linear equations with two unknowns \[ \begin{alignat*}{2} 597x &\,+& 386 y &= 401{,}950 \\ 86x &\,+& 19 y &= 39{,}600 \end{alignat*} \] whose solution gives us the real purchase price of a package of Ixodin vaccine \(350\,\text{CZK}\) and of a package of Nopolio vaccine \(500\,\text{CZK}\).

After rounding the coefficients to one significant digit, we solve the system \[ \begin{alignat*}{2} 600x' &\,+ & 400 y' &= 400\,000 \\ 90x' &\,+ & 20 y' &= 40\,000. \end{alignat*} \] The solution is the pair \(x'=\frac{1{,}000}{3}\doteq333\) and \(y'=500\). Now we have the actual price of the medicine and the estimate of the price by the warehause manager. Let’s also calculate the relative error in the price of the medicine due to rounding. Relative error is the absolute error (absolute value of price difference) divided by the actual price per package. We summarize the results in the table:

Solution. We will solve the problem in the same way as before, this time we will denote \(x\) the price of one package of Antiflu and \(y\) the price of one package of Contradift. The real prices are the solution of the system \[ \begin{alignat*}{2} 504x &\,+\,& 81 y &= 198{,}900 \\ 98x &\,+\,& 18 y &= 40{,}700 \end{alignat*} \] where we get \(x=250\) and \(y=900\).

When rounding the coefficients, we solve the system \[ \begin{alignat*}{2} 500x' &\,+\,& 80 y' &= 200{,}000 \\ 100x' &\,+\,& 20 y' &= 40{,}000, \end{alignat*} \] whose solution is \(x'=400\) and \(y'=0\). From the solution of the warehouse manager, it seems that that the second vaccine was delivered to the warehouse free of charge, while it is actually almost four times more expensive than the first one. We calculate the relative error and enter all the values in the table again:

Solution. Let \(p_1\), \(p_2\) (or \(q_1\), \(q_2\)) be the lines given by the equations of the system with unrounded coefficients in Exercise 1 (or Exercise 2), namely \[ \begin{align*} p_1 &\colon 597x + 386 y = 401{,}950 \\ p_2 &\colon 86x + 19 y = 39{,}600 \\[2mm] q_1 &\colon 504x + 81 y = 198{,}900 \\ q_2 &\colon 98x + 18 y = 40{,}700. \end{align*} \] Let us denote the lines given by the corresponding equations with rounded coefficients by \(p'_1\), \(p'_2\), \(q'_1\) and \(q'_2\) and further denote the points \(P\in p_1\cap p_2\), \(P'\in p'_1\cap p'_2\), \(Q\in q_1\cap q_2\) and \(Q'\in q'_1\cap q'_2\). A graphical representation of the pair of systems for each problem separately is shown in following figure.

By comparing the two graphical representations, it can be seen that in the case of Exercise 2, the pair of lines \(q_1\) and \(q_2\) are almost parallel. When rounding the coefficients of the equation, the position of the lines relative to the coordinate system generally changes and the position of the intersection changes as well. The change in the position of the intersection is much greater for lines that are almost parallel. The figure also shows why the second coordinate of the intercept (i.e., the price of the vaccine Contradift) will be much more affected by rounding in the second problem. Because of the slope of the lines \(q_1\) and \(q_2\), a small change in the \(x\) coordinate of the intersection would mean a large change in its \(y\) coordinate.

Literature

• Biermann K., Grötschel M., Lutz-Westphal B. (2010). Besser als Mathe: Moderne angewandte Mathematik aus dem MATHEON zum Mitmachen. Berlin: Vieweg+Teubner.