Nawigacja hiperboliczna

Postęp w dziedzinie inżynierii elektrycznej umożliwił opracowanie nowych systemów nawigacji opartych na transmisji fal elektromagnetycznych. Przykładem takiego systemu jest nawigacja morska LORAN-C, która została opracowana podczas II wojny światowej w USA. W tym typie nawigacji, statek odbiera zsynchronizowany sygnał z pary nadajników. Sygnał z bardziej oddalonego nadajnika jest odbierany przez statek później, więc opóźnienie sygnału określa różnicę między odległościami statku od pierwszego i drugiego nadajnika.

Zbiór punktów, które mają stałą różnicę odległości od dwóch punktów stałych jest hiperbolą. Zatem statek znajduje się na hiperboli, której ogniskami są nadajniki i która jest określona przez różnicę odległości statku od tych nadajników. Opóźnienie sygnału z innej pary stacji określa następnie drugą hiperbolę, na której musi znajdować się statek. Jeśli statek leży na obu hiperbolach, to leży na ich przecięciu.

Rozwiązanie.Najpierw na rysunku wybieramy odpowiedni kartezjański układ współrzędnych. Uzasadniamy ten wybór w następujący sposób: Ponieważ Adam znajduje się w równej odległości od odbiorników $P_1$ i $P_3$, jest on umieszczony na osi linii $P_1{P}_3$. Fakt, że jego sygnał dociera do odbiornika $P_2$ 80 mikrosekund później niż do odbiornika $P_1$ oznacza, że Adam znajduje się $24\text{km}$ dalej od odbiornika $P_2$ niż od odbiornika $P_1$. Jego pozycja znajduje się zatem również na gałęzi hiperboli $h$ z ogniskami $P_1$ i $P_2$ (gdzie różnica w odległościach Adama od $P_1$ i $P_2$ wynosi zaledwie $24\text{km}$). Korzystne jest umieszczenie początku układu współrzędnych w środku odcinka $P_1{P}_2$, tak aby równanie hiperboli $h$ miało najprostszą możliwą postać.

Oznaczmy początek układu $O$ i umieśćmy go w środku odcinka $P_1{P}_2$. Dodatni kierunek osi $x$ będzie wyznaczony przez półprostą $O{P}_1$, a dodatni kierunek osi $y$ wybierzemy tak, aby druga współrzędna punktu $P_3$ była dodatnia. Ponieważ wszystkie podane wymiary są wielokrotnościami $12$, wybieramy jednostki na obu osiach, aby odpowiadały odległości $12\text{km}$. Sytuację ilustruje rysunek:

Niech $A$ oznacza nieznane położenie Adama. Wiemy, że punkt $A$ leży na osi odcinka $P_1{P}_3$. Wyrażamy tę oś (oznaczmy ją $o$) parametrycznie: $$o:X=S_{P_1{P}_3}+t\cdot \overrightarrow{u_o},$$ gdzie $S_{P_1{P}_3}[\frac{5}{2};\frac{3}{2}]$ i $\overrightarrow{u_o}=(3;-1)$.Wtedy

$$\begin{array}{rl}x& =\frac{5}{2}+3t\\ y& =\frac{3}{2}-t,t\in \mathbb{R}.\end{array}$$

Aby znaleźć równanie hiperboli, należy zauważyć, że punkty $P_1$ i $P_2$ są ogniskami hiperboli $h$ o środku $O$ i mimośrodzie $e$ równym połowie $|O{P}_1|$, a więc $e=2$. Następnie, ponieważ różnica $|A{P}_1|-|A{P}_2|=2$ jest dwa razy większa od długości głównej półosi hiperboli, długość głównej półosi $a$ jest równa $1$. Obliczamy długość mniejszej półosi $b$ poprzez podstawienie do zależności $b=\sqrt{e^2-a^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$. Teraz możemy zapisać równanie wymaganej hiperboli $$h:x^2-\frac{y^2}{3}=1.$$ Punkt $A$ leży na jego prawej gałęzi (jest bliżej odbiornika $P_1$), tzn. jego pierwsza współrzędna musi koniecznie wynosić $x_A>0$.

Obliczmy teraz współrzędne punktów przecięcia linii $o$ i hiperboli $h$. Podstawiając równania parametryczne prostej $o$ do równania hiperboli, otrzymujemy: $$\begin{array}{rl}{(\frac{5}{2}+3t)}^2-\frac{{(\frac{3}{2}-t)}^2}{3}& =1\\ 3\cdot {(\frac{5}{2}+3t)}^2-{(\frac{3}{2}-t)}^2& =3\\ ⋮& \\ 52t^2+96t+27& =0\end{array}$$ Pierwiastkami tego równania kwadratowego są $t_1=-\frac{9}{26}$ i $t_2=-\frac{3}{2}$. Podstawiamy $t_1$ do równań parametrycznych i otrzymujemy: $$\begin{array}{rl}{x}_1& =\frac{5}{2}+3\cdot (-\frac{9}{26})=\frac{19}{13}\\ y_1& =\frac{3}{2}-(-\frac{9}{26})=\frac{24}{13},\end{array}$$ czyli $A_1[\frac{19}{13};\frac{24}{13}]$.Analogicznie, podstawiając $t_2$, otrzymujemy: $$\begin{array}{rl}{x}_2& =\frac{5}{2}+3\cdot (-\frac{3}{2})=-2\\ y_2& =\frac{3}{2}-(-\frac{3}{2})=3,\end{array}$$ i.e., $A_2[-2;3]$. Jednak punkt $A_2$ nie spełnia warunku $x_A>0$ (leży na drugiej gałęzi hiperboli), otrzymujemy więc jedyną możliwą pozycję Adama, mianowicie $A[\frac{19}{13};\frac{24}{13}]$. Rozwiązanie pokazano na rysunku.

Uwaga Gdyby Adam nie był w równej odległości od odbiorników $P_1$ i $P_3$, rozwiązanie zadaniu oznaczałoby znalezienie przecięcia gałęzi dwóch hiperbol. Takie obliczenia wykraczałyby jednak poza zakres matematyki w szkole średniej. ## Literatura

• Vondrák J. (2013). Historie navigace – od kvadrantu k GNSS.Postępy w matematyce, fizyce i astronomii, 58 (1), 11–20.