Akustický tomograf a rovnice elipsy

15 min., 1/3

Představte si, že potřebujete posoudit zdravotní stav starého stromu, aniž byste ho museli porazit nebo do něj řezat. Moderní technologie dnes umožňují takové posouzení provést šetrně a přitom přesně – a jedním z klíčových nástrojů je přitom rovnice elipsy. Pomocí metody EBSI (elliptise-based spatial interpolation) lze z naměřených dat odhadnout fyzikální vlastnosti dřeva uvnitř kmene a získat tak představu o jeho pevnosti a zdraví. K tomu je ale třeba umět zacházet s rovnicí elipsy i tehdy, když je elipsa v obecné poloze vzhledem k osám. V takovém případě využijeme skalární součin pro nalezení projekce vektoru do požadovaného směru.

Akustický tomograf

V praxi arboristy, odborníka pro péči o dřeviny mimo les, je častým úkolem posouzení vitality a zdravotního stavu stromu. Toto je nutné udělat s nulovým nebo minimálním zásahem, který kondici stromu výrazně neovlivní. Jednou z velmi málo invazivních metod je použití akustického tomografu. Jedná se o přístroj, který dokáže měřit “dobu letu” zvukového signálu (anglicky používaný termín time of flight, TOF) mezi dvěma senzory. S pomocí metod analytické geometrie je poté možno určit vzdálenost mezi senzory a s využitím předpokladu o šíření zvukových signálů přímými paprsky se dá zjistit rychlost šíření zvuku v materiálu. Tato hodnota je velice důležitým indikátorem fyzikálně-mechanických vlastností, protože ve zdravém dřevě (angl. sound wood) se zvuk šíří rychleji než ve dřevě degradovaném (angl. degraded wood).

Problematika rekonstrukce obrazu

Rekonstrukce obrazu v akustickém tomografu vychází z předpokladu přímého šíření paprsků v řezu kmene. Nejsou tedy brány v úvahu odrazy nebo lom vlnění. Kvalita tohoto předpokladu je předmětem aktuálního vědeckého zkoumání, nicméně předpoklad tohoto typu je nutné pro praktické využití metody učinit.

Protože se vychází z poměrně malého množství paprsků (akustický tomograf má typicky 12, nejvýše 24 senzorů, pro stromy malého průměru i méně), je nutné využít nějakou metodu interpolace a průměrování. Tímto se úloha stává odlišnou například od tomografů používaných ve zdravotnictví, kde zobrazovacích paprsků je řádově více a je také lépe definována geometrie měření: zdroje a snímače jsou umístěny například po obvodu kruhu a nikoliv po nepravidelném obvodu kmene stromu. Pro odstranění nedostatků spojených s použitím akustického tomografu pro stromy bylo vyvinuto několik technik, které umožňují interpolaci a průměrování naměřených hodnot.

EBSI metoda a její následovníci

Řada metod rekonstrukce obrazu v akustickém tomografu vychází z předpokladu, že rychlost šíření zvuku je ovlivněna kvalitou dřeva v eliptickém okolí spojnice dvou senzorů. Tento předpoklad byl otestován na reálných měřeních v Du et al. (2015), kde byl navržen i vzorec, dávající do souvislosti vzdálenost senzorů a excentricitu elipsy. Tento přístup zaznamenal lepší výsledky než postupy založené na prostém průsečíku paprsků a průměrování rychlostí v těchto průsečících. Metoda dostala název Ellipse-based spatial interpolation a zkratku EBSI.

Praktická implementace metody rekonstrukce obrazu spočívá v tom, že průřez kmene se rozdělí na jednotlivé buňky, ve kterých se naměřené hodnoty v jistém smyslu zprůměrují. V EBSI metodě pro každou buňku určíme rychlost jako průměr rychlostí všech paprsků, v jejichž eliptickém okolí působnosti se buňka nachází.

V dalších pracích byla metoda EBSI ještě rozšířena Okolo každého paprsku uvažujeme opět elipsu definující oblast působnosti tohoto paprsku (viz. Obrázek 3). Data se zpracovávají dvoukolově metodami RSEN a SISE (z anglického ray sementation by elliptical neighborhood a spatial interpolation by segmented ellipse) popsanými v Du et al (2018).

Detailní popis metod je možné najít v původní literatuře, nicméně i z uvedeného zjednodušeného popisu je zřejmé, že zásadní dílčí úlohou při implementaci obrazové rekonstrukce je ověření, zda bod v rovině leží uvnitř elipsy či zda leží vně.

Rovnice elipsy

Z předešlé motivační části vyplývá, že pro praktickou implementaci rekonstrukce obrazu pomocí EBSI metody je nutné umět efektivně pracovat s elipsou v různých polohách, což zahrnuje libovolné pootočení os a libovolné posunutí středu elipsy. Potřebujeme efektivně zjišťovat, zda nějaký bod leží uvnitř či vně elipsy.

Elipsa je množina bodů v rovině, pro které platí, že součet vzdáleností bodu od dvou ohnisek je konstantní. Elipsu je možno určit pomocí hlavní a vedlejší osy. Uvažujme elipsu s délkou hlavní poloosy \(a\) a délkou vedlejší poloosy \(b\). Rovnice elipsy se středem v počátku soustavy souřadnic a hlavní osou ve směru osy \(x\) má v tomto případě tvar \[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1. \] Body ležící uvnitř elipsy pak splňují nerovnici \[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}<1. \] My však pracujeme s elipsami v obecné poloze, jejich rovnice se sice dají transformovat do stejného tvaru, ale to je poněkud pracný a pro naše účely i zbytečný proces. Raději než pracovat se souřadnicemi budeme využívat vzdáleností bodu od hlavní a od vedlejší poloosy. Pokud má elipsa výše uvedenou rovnici, tak tyto vzdálenosti jsou přímo \(x\)-ové a \(y\)-ové souřadnice daného bodu.

Tedy je-li \(d_1\) vzdálenost bodu od přímky definované vedlejší osou (pro stručnost vzdálenost od vedlejší osy) a vzdálenost bodu od hlavní osy \(d_2\), pak bod leží uvnitř elipsy právě tehdy, když platí \[ \frac{d_1^2}{a^2}+\frac{d_2^2}{b^2}<1.\tag{1} \] Pro ověření zda bod leží nebo neleží uvnitř elipsy tedy stačí určit vzdálenost bodu od hlavní a od vedlejší osy a ověřit platnost výše uvedené nerovnosti (1).

Délka projekce vektoru a skalární součin

Obrázek znázorňuje hlavní a vedlejší osy elipsy, jednotkové vektory ve směru těchto os, spojnici testovaného bodu se středem elipsy a vyznačení vzdáleností bodu od jednotlivých os elipsy.

Pro jednoduchost uvažujme, že úhel mezi vektory \(\vec u\) a \(\vec e_1\) je ostrý. Z definice skalárního součinu a z faktu, že vektor \(\vec e_1\) je jednotkovým vektorem plyne

\[\vec u\cdot\vec e_1 = |\vec u||\vec e_1|\cos\varphi = |\vec u| \cos\varphi = d_1.\]

Vzdálenost od vedlejší osy je tedy možno určit pomocí skalárního součinu. Kolmý průmět vektoru do přímky se nazývá projekce a z obrázku je patrné, že \(d_1\) je vlastně délka projekce vektoru \(\vec u\) do směru určeného vektorem \(\vec e_1\). V případě, že by úhel mezi vektory \(\vec u\) a \(\vec e_1\) byl tupý, vychází hodnota \(d_1\) záporná, což se však v testovacím kriteriu (1) neprojeví.

Analogicky, délka projekce vektoru \(\vec u\) do směru definovaného vektorem \(\vec e_2\) je (až na případné znaménko, které se opět v testu (1) neprojeví) dána vztahem

\[d_2=\vec u\cdot \vec e_2.\]

Poznámka. Poznamenejme, že výpočet skalárního součinu se provádí pomocí souřadnic podle vzorce

\[\vec u\cdot\vec v = u_1v_1+u_2v_2,\]

kde \(\vec u = (u_1, u_2)\) a \(\vec v=(v_1,v_2)\). Tento výpočet je možné realizovat v počítačích velmi rychle a použitím vhodných programovacích technik (vektorizace) je možné výpočet provést současně pro tisíce bodů řádově stokrát rychleji než použitím cyklu založeného na postupném testování jednotlivých bodů.

Poznámka. Jednotkový vektor \(\vec e_1\) ve směru hlavní osy je možné určit buď jako podíl vektoru ze středu do hlavního vrcholu a délky tohoto vektoru, anebo pomocí úhlu, který svírá hlavní osa s osou \(x\). Je-li tento úhel \(\alpha\), je jednotkový vektor dán vztahem

\[\vec e_1=(\cos\alpha, \sin\alpha).\]

Jednotkový vektor ve směru vedlejší osy je na \(\vec e_1\) kolmý. Je tedy možné brát například

\[\vec e_2 = (-\sin\alpha, \cos\alpha).\]

Ukázka použití

Řešení. Jednotkový vektor se směru hlavní osy je \(\vec e_1=(\cos 30^\circ, \sin 30^\circ)\). Vektor \(\vec u\) je dán souřadnicemi bodu \(X\), tj. \(\vec u=(1{,}6;1{,}6)\). Skalární součin je tedy

\[d_1=\vec u\cdot \vec e_1 = 1{,}6\cdot\cos 30^\circ + 1{,}6\cdot\sin 30^\circ\doteq 2{,}186.\]

Podobně, délka projekce do směru vedlejší osy dané vektorem \(\vec e_2=(-\sin 30^\circ,\, \cos 30^\circ)\) je

\[d_2=\vec u\cdot \vec e_2 = -1{,}6\cdot\sin 30^\circ + 1{,}6\cdot\cos 30^\circ \doteq 0{,}586.\]

Platí

\[ \frac{d_1^2}{a^2} + \frac{d_2^2}{b^2} \doteq 0{,}683<1. \]

Bod tedy leží uvnitř elipsy. Situace je na následujícím obrázku.

Závěr

V textu byly představeny základní kroky, na nichž je založena rekonstrukce obrazu v akustickém tomografu. Jedním z dílčích úkolů je ověření, zda zkoumaný bod leží uvnitř či vně elipsy, která je v obecné poloze a je zadána svými poloosami. Pro toto ověření je výhodné použít rovnici elipsy založenou nikoliv na souřadnicích, ale na vzdálenostech od hlavní a vedlejší osy. Tuto vzdálenost je možné určit pomocí skalárního součinu vektorů.

Literatura a zdroje obrázků

Literatura

1. Du, X., Li, S., Li, G., Feng, H., and Chen, S. (2015). “Stress wave tomography of wood internal defects using ellipse-based spatial interpolation and velocity compensation,” BioRes. 10(3), 3948-3962. http://doi.org/10.15376/biores.10.3.3948-3962
2. Du, X.; Li, J.; Feng, H.; Chen, S. Image Reconstruction of Internal Defects in Wood Based on Segmented Propagation Rays of Stress Waves. Appl. Sci. 2018, 8, 1778. https://doi.org/10.3390/app8101778

Zdroje obrázků

1. Projekt DYNATREE – Tree Dynamics: Understanding of Mechanical Response to Loading, https://starfos.tacr.cz/cs/projekty/LL1909.
2. Vlastní obrázky