Instructions for translators

1. Open this file on GitHub server. If you see https://um.mendelu.cz/... in URL, click View on GitHub to open this file on github.com.
2. If you see this file on GitHub server, you can edit the content of the file. Open the file in an editor. You can use simple editor (pres e on GitHub). However, an advanced VS Code editor (press . on GitHub) is better, since it provides preview how the Markdown code renders. Alternatively press pencil for simple editor or press triangle next to the pencil to get access to VS Code described as github.dev.
3. Fix the keywords in the preamble.
4. Depending on which language version you want to use as a source for your translation, delete either English or Czech version below.
5. Translate to your language. Keep Markdown marking and math notation. If you use a tool to get first version of the translation, make sure that the markup is preserved.
6. In VS Code you can open the preview in another window by pressing Ctrl+V and K. Keep the preview open as you work, or close using a mouse.
7. Instead of saving, you have to commit and push the changes to the repository. Fill the Message under Source control (describe your changes, such as “Polish translation started”) and then press Commit&Push.
8. Make sure that your changes appear in the commit history. In rare cases (if you work with simultaneously with someone else) you have to download /Pull/ and merge his and yours changes. Usualy Sync (Pull & Push) should work.
9. When you finish the translation, change is_finished: False in header to is_finished: True.

Instrukce pro překladatele

1. Otevřete tento soubor na serveru GitHub. Pokud máte soubor otevřen na https://um.mendelu.cz/..., otevřete jej na serveru github.com.
2. Pokud tento soubor vidíte na serveru GitHub, můžete obsah souboru upravit. Otevřete soubor v editoru. Můžete použít jednoduchý editor (stiskněte e na GitHubu). Lepší je však pokročilý editor VS Code (stikněte . na GitHubu), protože poskytuje náhled, jak se kód Markdown interpretuje. Případně stiskněte tužku pro jednoduchý editor nebo stiskněte trojúhelníček vedle tužky, abyste získali přístup k editoru VS Code popsaný jako github.dev.
3. Opravte klíčová slova v preambuli.
4. V závislosti na tom, kterou jazykovou verzi chcete použít jako zdrojový kód pro svůj překladu, odstraňte níže uvedenou anglickou nebo českou verzi.
5. Přeložte do svého jazyka. Ponechte značení Markdown a matematický zápis. Pokud použijete nástroj typu DeepL pro získání první verze překladu, ujistěte se, že zápis matematických výrazů byl zachován.
6. Ve VS Code můžete náhled otevřít v jiném okně stisknutím Ctrl+V. a K. Během práce nechte náhled otevřený nebo jej zavřete pomocí myši.
7. Místo uložení musíte změny zaregistrovat a odeslat do úložiště. Vyplňte zprávu v poli Zpráva (popište své změny, např. “Zahájen překlad do polštiny”) a poté stiskněte tlačítko Commit&Push.
8. Ujistěte se, že se vaše změny objeví v historii revizí. Ve výjimečných případech (pokud pracujete současně s někým jiným) musíte stáhnout /Pull/ a sloučit jeho a vaše změny. Obvykle by synchronizace (Pull & Push) měla fungovat.
9. Po dokončení překladu změňte is_finished: False v záhlaví na is_finished: True.

Czech source

Matematika ukrytá v listu papíru

30 min., 1/3

Formáty papíru

Mezinárodní standard formátů papíru je dán normou ISO 216 a zahrnuje dvě základní řady. Řada A obsahuje formáty A0-A10 a řada B formáty B0-B10. Tato norma je založena na původní normě DIN 476, která se používala již od roku 1922 v Německu. Vytvořil ji německý matematik a fyzik Walter Porstmann.

Obě řady mají dvě společné základní vlastnosti:

1. Všechny formáty jsou navzájem podobné pravoúhelníky.
2. Menší formát vzniká z většího rozpůlením, tj. rozdělením na dva navzájem osově souměrné pravoúhelníky.¹

Tyto vlastnosti nejsou náhodně zvolené. Mají jednak estetický význam a jednak svoje praktické využití. Například každý list papíru v daném systému se dá vyrobit z největšího kusu prostým řezáním a nevzniká žádný odpad.

Řady A i B dále mají každá jistou speciální vlastost navíc:

• U řady A navíc platí, že obsah největšího papíru A0 je \(1\,\text{m}^2\).
• U největšího formátu B0 řady B pak platí, že jeho kratší strana má délku \(1\,\text{m}\).

Řešení. Nejprve si uvědomme, že pravoúhelníkem je obdélník (neboť žádným rozpůlením čtverce nemůže vzniknout čtverec). Rozpůlení dotyčného obdélníku provádíme podél osy delší strany tohoto obdélníka. Pokud bychom půlení provedli podél osy kratší strany, nedostali bychom obdélník podobný s původním – delší strana se nezmění a kratší se zkrátí.

Označíme-li \(a\) delší stranu obdélníka, \(b\) jeho kratší stranu a \(k\) koeficient zmenšení dvou po sobě jdoucích formátů, platí \(k\cdot a = b\) a \(k\cdot b = \frac{a}{2}\). Dosazením prvního vztahu za \(b\) ve druhém vztahu dostáváme \[ \begin{align*} k^2 \cdot a &= \frac{a}{2} \quad / :a \\ k^2 &= \frac{1}{2} \qquad \rightarrow \qquad k = \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{align*} \] Ze vztahu \(k\cdot a = b\) dále plyne, že poměr stran obdélníka \(a:b\) je převrácenou hodnotou koeficientu \(k\), tj. \(\sqrt{2}\).

Řešení. Z předchozí úlohy víme, že rozměry listu formátu A0 jsou \(b_0\) (kratší strana) a \(b_0\cdot\sqrt{2}\) (delší strana) pro neznámou délku \(b_0\), kterou je potřeba vypočítat. Víme, že \[ b_0\cdot b_0\cdot \sqrt{2} = 1000000\,\text{mm}^2, \] a tedy po vyjádření \(b_0\) a zaokrouhlení výsledku na jednotky dostáváme hodnotu \(b_0\doteq 841\,\text{mm}\). Délka delší strany formátu A0 je pak součinem \(841\cdot \sqrt{2} \doteq 1189\,\text{mm}\).

Řešení. Protože kratší strana formátu B0 měří \(1\,\text{m}\), měří jeho delší strana podle řešení Úlohy 1 (platného i pro formát B, neboť vycházíme ze stejných vlastností) \(\sqrt{2}\,\text{m}\). Tedy obsah formátu B0 je \(\sqrt{2}\,\text{m}^2\) a každý následující list formátu \(\mathrm{B}(n)\) má poloviční obsah oproti předchozímu, tedy \(S\left( \mathrm{B}(n) \right) = \frac{\sqrt{2}}{2^n}\,\text{m}^2\) pro každé nezáporné celé \(n\).

Protože dále \(S(\mathrm{A}0)=1\,\mathrm{m}^2\) a každý následující list formátu \(\mathrm{A}(n)\) má poloviční obsah oproti předchozímu, je \(S\left( \mathrm{A}(n) \right) = \left( \frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{2^n}\,\text{m}^2\) pro každé \(n\). Tedy \[ \begin{align*} \sqrt{S(\mathrm{A}(n)) \cdot S(\mathrm{A}(n+1))} &= \sqrt{\frac{1}{2^n} \cdot \frac{1}{2^{n+1}} } =\sqrt{\frac{1}{2^n} \cdot \frac{1}{2^n} \cdot \frac{1}{2} } \\ &= \frac{1}{2^n} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2^{n+1}} = S(\mathrm{B}(n+1)). \end{align*} \]

Skládání papíru

Možná vás už někdy napadla otázky, kolikrát je možné přeložit papír formátu A4 napůl a možná jste si to i sami vyzkoušeli. Pravděpodobně vás ale ani nenapadlo, že odpověď na tuto otázku může dát matematik, aniž by papír musel vůbec překládat.

Představme si následující jednoduchý model překládání papíru.

Při přeložení papíru napůl se nám vždy část papíru spotřebuje na vytvoření skladu. Jeho tvar si můžeme modelovat jako polovinu kružnice, jejíž poloměr je roven tlouštce papíru. Navíc si také můžeme všimnout, že papír se při překládání vrství. Na začátku máme jen jednu vrstvu, po prvním přeložení dvě vrstvy, po druhém přeložení čtyři vrstvy atd. V dalších úlohách budeme pracovat s tímto modelem.

Řešení. Je možné si snadno všimnout, že po \(k\) přeloženích dostaneme celkem \(2^k\) vrstev papíru. Tloušťky by tak byly \[ \begin{align*} t_4=&t_0\cdot 2^4=1{,}6\,\text{mm}\\ t_7=&t_0\cdot 2^{7}=12{,}8\,\text{mm}\\ t_{10}=&t_0\cdot 2^{10}=102{,}4\,\text{mm}\\ t_{21}=&t_0\cdot 2^{21}\approx 209{,}7\,\text{m}\\ t_{42}=&t_0\cdot 2^{42}\approx 439\,804\,\text{km} \end{align*} \]

Dle výsledků předchozí úlohy je vidět, že pro překládání papíru musí existovat nějaký limit. Jednou z možností, jak tento limit poznat, je zkoumání kolik papíru se nám při překládání vlastně ztrácí při vytváření skladu.

Řešení. Uvažujme papír o tlouštce \(t\). Při prvním přeložení se na skladu vytvoří polokružnice o poloměru \(t\) (viz předchozí obrázek), na přeložení tedy potřebujeme \(\pi t\) papíru. Při druhém přeložení se vytvoří dvě polokružnice. Jedna o poloměru \(t\) a druhá o poloměru \(2t\), potřebujeme tedy \(\pi t + 2\pi t\) papíru a dohromady \[ \pi t+ (\pi t+2\pi t)\,. \] Při třetím přeložení se vytvoří polokružnice o poloměrech \(t\), \(2t\), \(3t\) a \(4t\). Ztratíme tedy \(\pi t +2\pi t + 3\pi t + 4\pi t\) papíru. Celková ztráta bude \[ \pi t+ (\pi t+2\pi t) + (\pi t +2\pi t + 3\pi t + 4\pi t) \] Analogicky po \(n\) složeních ztratíme \[ \pi t+ (\pi t+2\pi t) + \cdots + (\pi t +2\pi t + \cdots + 2^{n-1}\pi t) \] papíru. Vytkneme-li \(\pi t\), můžeme si všimnout, že máme v závorkách součet prvních členů aritmetické posloupnosti \[ \pi t\left[1+(1+2)+(1+2+3+4)+\cdots+(1+2+\cdots+2^{n-1}) \right]\,. \] Použijeme-li opakované vzorec pro součet prvních členů aritmetické posloupnosti, dostaneme \[ \frac{\pi t}{2}(1\cdot 2+2\cdot 3+4\cdot 5+\cdots+2^{n-1}\cdot(2^{n-1}+1))\,. \] Zde je možné \(k\)-tý člen obecně zapsat jako \[ 2^{k-1}\cdot\left(2^{k-1}+1\right)=(2^2)^{k-1}+2^{k-1}. \] Vztah pro celkovou ztrátu papíru tedy můžeme přepsat ve tvaru \[ \frac{\pi t}{2}\left[\left((2^2)^0+(2^2)^1+\cdots+(2^2)^{n-1}\right)+\left(2^0+2^1+\cdots+2^{n-1}\right) \right]\,. \] Dostáváme tak součet prvních členů dvou geometrických posloupností, můžeme tedy použít vzorec pro jejich součet a dostaneme \[ \frac{\pi t}{2}\left( \frac{2^{2n}-1}{3} + 2^n-1 \right)\,. \] Po vytknutí \(\frac 13\) ze závorky máme \[ \frac{\pi t}{6}\left((2^n)^2+3\cdot 2^n-4\right) \] a rozkladem na součin získáme \[ \frac{\pi t}{6}(2^n+4)(2^n-1)\,. \] Tento poslední vztah vlastně vyjadřuje jakýsi odhad minimální délky papíru tlouštky \(t\), který potřebujeme, abychom jej mohli \(n\)-krát přeložit.

Řešení. Využitím výsledku předchozí úlohy víme, že hledáme takové největší přirozené \(n\), aby platilo \[ \frac{\pi \cdot 0{,}1}{6}(2^n+4)(2^n-1)<297. \] Přesné řešení této nerovnice by nebylo úplně snadné, ale naštěstí není nutně potřeba. Stačí nám dosadit nějaké vhodné \(n\): \[ \begin{align*} \frac{\pi \cdot 0{,}1}{6}(2^6+4)(2^6-1)\doteq224{,}31;\\ \frac{\pi \cdot 0{,}1}{6}(2^7+4)(2^7-1)\doteq 877{,}76. \end{align*} \] Podle tohoto modelu je tedy možné papír dané velikost přehnout maximálně šestkrát.

Pro zajímavost dodejme, že jako první rovnici z Úlohy 5 odvodila středoškolská studentka Britney Gallivan z Californie, která je momentálně držitelkou světového rekordu v Guinnesově knize rekordů za největší počet přeložení papíru napůl. Celkem přeložila papír dvanáctkrát. K tomu ovšem nemohla použít normální papír formátu A4, ale použila toaletní papír délky \(1\,219\) metrů. Navíc použila jinou techniku skládání (střídala směry).

Literatura

1. Niss, Mogens; Bluem Werner. The Learning and Teaching of Mathematical Modelling, Routledge 2020, 978-1-315-18931-4

2. Most times to fold a piece of paper. https://www.guinnessworldrecords.com/world-records/494571-most-times-to-fold-a-piece-of-paper

3. Wikipedia. Paper size. https://en.wikipedia.org/wiki/Paper_size

English source

Not available on July 10. If you want to start from English translation, wait until it appears on https://um.mendelu.cz/math4u/site/ anc copy the English text by hand.