Instructions for translators

1. Open this file on GitHub server. If you see https://um.mendelu.cz/... in URL, click View on GitHub to open this file on github.com.
2. If you see this file on GitHub server, you can edit the content of the file. Open the file in an editor. You can use simple editor (pres e on GitHub). However, an advanced VS Code editor (press . on GitHub) is better, since it provides preview how the Markdown code renders. Alternatively press pencil for simple editor or press triangle next to the pencil to get access to VS Code described as github.dev.
3. Fix the keywords in the preamble.
4. Depending on which language version you want to use as a source for your translation, delete either English or Czech version below.
5. Translate to your language. Keep Markdown marking and math notation. If you use a tool to get first version of the translation, make sure that the markup is preserved.
6. In VS Code you can open the preview in another window by pressing Ctrl+V and K. Keep the preview open as you work, or close using a mouse.
7. Instead of saving, you have to commit and push the changes to the repository. Fill the Message under Source control (describe your changes, such as “Polish translation started”) and then press Commit&Push.
8. Make sure that your changes appear in the commit history. In rare cases (if you work with simultaneously with someone else) you have to download /Pull/ and merge his and yours changes. Usualy Sync (Pull & Push) should work.
9. When you finish the translation, change is_finished: False in header to is_finished: True.

Instrukce pro překladatele

1. Otevřete tento soubor na serveru GitHub. Pokud máte soubor otevřen na https://um.mendelu.cz/..., otevřete jej na serveru github.com.
2. Pokud tento soubor vidíte na serveru GitHub, můžete obsah souboru upravit. Otevřete soubor v editoru. Můžete použít jednoduchý editor (stiskněte e na GitHubu). Lepší je však pokročilý editor VS Code (stikněte . na GitHubu), protože poskytuje náhled, jak se kód Markdown interpretuje. Případně stiskněte tužku pro jednoduchý editor nebo stiskněte trojúhelníček vedle tužky, abyste získali přístup k editoru VS Code popsaný jako github.dev.
3. Opravte klíčová slova v preambuli.
4. V závislosti na tom, kterou jazykovou verzi chcete použít jako zdrojový kód pro svůj překladu, odstraňte níže uvedenou anglickou nebo českou verzi.
5. Přeložte do svého jazyka. Ponechte značení Markdown a matematický zápis. Pokud použijete nástroj typu DeepL pro získání první verze překladu, ujistěte se, že zápis matematických výrazů byl zachován.
6. Ve VS Code můžete náhled otevřít v jiném okně stisknutím Ctrl+V. a K. Během práce nechte náhled otevřený nebo jej zavřete pomocí myši.
7. Místo uložení musíte změny zaregistrovat a odeslat do úložiště. Vyplňte zprávu v poli Zpráva (popište své změny, např. “Zahájen překlad do polštiny”) a poté stiskněte tlačítko Commit&Push.
8. Ujistěte se, že se vaše změny objeví v historii revizí. Ve výjimečných případech (pokud pracujete současně s někým jiným) musíte stáhnout /Pull/ a sloučit jeho a vaše změny. Obvykle by synchronizace (Pull & Push) měla fungovat.
9. Po dokončení překladu změňte is_finished: False v záhlaví na is_finished: True.

Czech source

Záchrana trosečníka

30 min., 2/3

Letadlo hledá na otevřeném moři pozici trosečníka, který má na svém voru zařízení vysílající tísňový signál. Zařízení má pouze omezený dosah. Při letu nad mořem posádka letadla signál zachytí, ale po chvíli jej ztratí. Pilot proto letadlo stočí a podaří se mu signál na kratší dobu opět zachytit.

Trajektorie celého letu je i s naznačeným směrem a místy zachycení (body \(A_1\) a \(A_2\)) a ztrát (body \(B_1\) a \(B_2\)) signálu znázorněn na mapě.

Během obou dob, kdy posádka přijímala signál, letadlo neměnilo svou výšku, mezi body \(B_1\) a \(A_2\) snížilo svou výšku o \(500\,\text{m}\).

Řešení. Omezený dosah trosečníkova tísňového signálu určuje v prostoru nad hladinou polokouli, jejíž střed je polohou trosečníka. Vodorovné řezy této polokoule jsou kruhy, které se na mapě jeví jako soustředné se středem v bodě \(X\).

Protože letadlo mezi body \(A_1\) a \(B_1\) nemění svou výšku, je \(A_1B_1\) tětivou jisté kružnice \(k_1\) se středem v bodě \(X\). Ten tak musí ležet na ose úsečky \(A_1B_1\). Ze stejného důvodu musí bod \(X\) ležet i na ose úsečky \(A_2B_2\); je totiž středem jisté kružnice \(k_2\), jíž je tato úsečka tětivou.

Řešení.

1. K vyřešení úlohy potřebujeme znát dosah trosečníkova zařízení, což je poloměr \(r\) polokoule zmíněné v řešení předešlé úlohy. Přenesením úseček \(A_1X\) a \(A_2X\) na měřítko a zaokrouhlením jejich délek na desetiny kilometru dostáváme \(\lvert A_1X \rvert \doteq 2{,}9\,\text{km}\) a \(\lvert A_2X \rvert \doteq 3{,}4\,\text{km}\). Tyto délky jsou zřejmě poloměry \(r_1\) a \(r_2\) kružnic \(k_1\) a \(k_2\).

Uvažme takový průmět polokoule, ve kterém se kružnice \(k_1\) a \(k_2\) zobrazí po řadě jako rovnoběžné úsečky \(K_1L_1\) a \(K_2L_2\) takové, že mají stejnou osu \(o\), jejich délky jsou po řadě \(2r_1\) a \(2r_2\) a jejich vzdálenost je \(0{,}5\,\text{km}\). Označme dále střed polokoule \(S\), střed úsečky \(K_1L_1\) jako \(S_1\) a střed úsečky \(K_2L_2\) jako \(S_2\). Viz obrázek, ve kterém je pro názornost vyznačena také mořská hladina přímkou \(h\).

Z Pythagorovy věty aplikované na trojúhelníky \(SS_1K_1\) a \(SS_2L_2\) vyplývají rovnosti \[ \begin{align*} r^2 &= r_1 ^2 + \lvert SS_1 \rvert ^2 \\ r^2 &= r_2 ^2 + \lvert SS_2 \rvert ^2. \end{align*} \]

Platí však \(\lvert SS_1 \rvert = \lvert SS_2 \rvert + 0{,}5\). Dosazením do první rovnice a porovnáním obou stran dostáváme lineární rovnici s jedinou neznámou \(\lvert SS_2 \rvert\), kterou vyřešíme: \[ \begin{align*} r_2 ^2 + \lvert SS_2 \rvert ^2 &= r_1 ^2 + \left( \left\lvert SS_2 \right\rvert + 0{,}5 \right) ^2 \\[1mm] \left\lvert SS_2 \right\rvert &= r_2^2 - r_1^2 - 0{,}25 \end{align*} \]

Vyjádřením \(r\) z druhé rovnice a následným dosazením dostáváme \[ r = \sqrt{r_2 ^2 + \left(r_2^2 - r_1^2 - 0{,}25 \right)^2 } \doteq 4{,}5\,\text{km}. \]

Vzdálenost lodi od trosečníka je délkou úsečky \(LX\). Přenesením této úsečky na měřítko vyčteme \(\lvert LX \rvert \doteq 4{,} 0\,\text{km}\), úsečka je tedy kratší než dosah \(r\) trosečníkova signálu. Loď proto může tento signál zaznamenat.

2. K odvození konstrukčního řešení úlohy (tj. sestrojení poloměru \(r\) polokoule) využijeme stejný pomocný průmět polokoule jako v Úloze 2a. Střed polokoule \(S\) je průsečíkem společné osy \(o\) úseček \(K_1L_1\) a \(K_2L_2\) a osy úsečky \(L_1L_2\), neboť ta je tětivou obrysové půlkružnice \(k\). Hledaný poloměr \(r\) je pak např. velikostí úsečky \(SK_1\), viz obrázek.

Při samotném provedení konstrukce přenášíme vzdálenosti \(r_1\) a \(r_2\) z řešení Úlohy 1 (kde připomínáme, že platí \(r_1=\lvert A_1X\rvert\) a \(r_2=\lvert A_2X\rvert\)), vzdálenost středů kružnic \(|S_1S_2|=d_{0{,}5}\), kde \(d_{0{,}5}\) označuje vzdálenost na mapě odpovídající \(0{,}5\,\text{km}\), kterou nanášíme z měřítka.

Průmět polokoule na mapě ohraničuje kružnice \(l\) se středem v bodě \(X\) a poloměrem \(r\), který přeneseme z pomocného průmětu. Po sestrojení této kružnice je vidět, že se loď nachází v dosahu nouzového signálu.

English source

Not available on July 10. If you want to start from English translation, wait until it appears on https://um.mendelu.cz/math4u/site/ anc copy the English text by hand.