Letadlo hledá na otevřeném moři pozici trosečníka, který má na svém voru zařízení vysílající tísňový signál. Zařízení má pouze omezený dosah. Při letu nad mořem posádka letadla signál zachytí, ale po chvíli jej ztratí. Pilot proto letadlo stočí a podaří se mu signál na kratší dobu opět zachytit.
Trajektorie celého letu je i s naznačeným směrem a místy zachycení (body \(A_1\) a \(A_2\)) a ztrát (body \(B_1\) a \(B_2\)) signálu znázorněn na mapě.
Během obou dob, kdy posádka přijímala signál, letadlo neměnilo svou výšku, mezi body \(B_1\) a \(A_2\) snížilo svou výšku o \(500\,\text{m}\).
Úloha 1. Konstrukčně určete v mapě pozici \(X\) trosečníka.
Řešení. Omezený dosah trosečníkova tísňového signálu určuje v prostoru nad hladinou polokouli, jejíž střed je polohou trosečníka. Vodorovné řezy této polokoule jsou kruhy, které se na mapě jeví jako soustředné se středem v bodě \(X\).
Protože letadlo mezi body \(A_1\) a \(B_1\) nemění svou výšku, je \(A_1B_1\) tětivou jisté kružnice \(k_1\) se středem v bodě \(X\). Ten tak musí ležet na ose úsečky \(A_1B_1\). Ze stejného důvodu musí bod \(X\) ležet i na ose úsečky \(A_2B_2\); je totiž středem jisté kružnice \(k_2\), jíž je tato úsečka tětivou.
Úloha 2. V lokalitě se nachází dopravní loď (pozice \(L\)). Může také zaznamenat trosečníkův tísňový signál, nebo je příliš daleko?
Velikosti úseček \(LX\) a \(A_1X\), \(A_2X\) z řešení Úlohy 1 přeneste na měřítko. Užitím takto určených vzdáleností (zaokrouhlených na celý nejmenší dílek stupnice) vyřešte úlohu početně.
Vyjděte z řešení Úlohy 1 a úlohu vyřešte znovu, tentokrát pouze užitím geometrických konstrukcí.
Řešení.
Uvažme takový průmět polokoule, ve kterém se kružnice \(k_1\) a \(k_2\) zobrazí po řadě jako rovnoběžné úsečky \(K_1L_1\) a \(K_2L_2\) takové, že mají stejnou osu \(o\), jejich délky jsou po řadě \(2r_1\) a \(2r_2\) a jejich vzdálenost je \(0{,}5\,\text{km}\). Označme dále střed polokoule \(S\), střed úsečky \(K_1L_1\) jako \(S_1\) a střed úsečky \(K_2L_2\) jako \(S_2\). Viz obrázek, ve kterém je pro názornost vyznačena také mořská hladina přímkou \(h\).
Z Pythagorovy věty aplikované na trojúhelníky \(SS_1K_1\) a \(SS_2L_2\) vyplývají rovnosti \[ \begin{align*} r^2 &= r_1 ^2 + \lvert SS_1 \rvert ^2 \\ r^2 &= r_2 ^2 + \lvert SS_2 \rvert ^2. \end{align*} \]
Platí však \(\lvert SS_1 \rvert = \lvert SS_2 \rvert + 0{,}5\). Dosazením do první rovnice a porovnáním obou stran dostáváme lineární rovnici s jedinou neznámou \(\lvert SS_2 \rvert\), kterou vyřešíme: \[ \begin{align*} r_2 ^2 + \lvert SS_2 \rvert ^2 &= r_1 ^2 + \left( \left\lvert SS_2 \right\rvert + 0{,}5 \right) ^2 \\[1mm] \left\lvert SS_2 \right\rvert &= r_2^2 - r_1^2 - 0{,}25 \end{align*} \]
Vyjádřením \(r\) z druhé rovnice a následným dosazením dostáváme \[ r = \sqrt{r_2 ^2 + \left(r_2^2 - r_1^2 - 0{,}25 \right)^2 } \doteq 4{,}5\,\text{km}. \]
Vzdálenost lodi od trosečníka je délkou úsečky \(LX\). Přenesením této úsečky na měřítko vyčteme \(\lvert LX \rvert \doteq 4{,} 0\,\text{km}\), úsečka je tedy kratší než dosah \(r\) trosečníkova signálu. Loď proto může tento signál zaznamenat.
Při samotném provedení konstrukce přenášíme vzdálenosti \(r_1\) a \(r_2\) z řešení Úlohy 1 (kde připomínáme, že platí \(r_1=\lvert A_1X\rvert\) a \(r_2=\lvert A_2X\rvert\)), vzdálenost středů kružnic \(|S_1S_2|=d_{0{,}5}\), kde \(d_{0{,}5}\) označuje vzdálenost na mapě odpovídající \(0{,}5\,\text{km}\), kterou nanášíme z měřítka.
Průmět polokoule na mapě ohraničuje kružnice \(l\) se středem v bodě \(X\) a poloměrem \(r\), který přeneseme z pomocného průmětu. Po sestrojení této kružnice je vidět, že se loď nachází v dosahu nouzového signálu.
