Instructions for translators

1. Open this file on GitHub server. If you see https://um.mendelu.cz/... in URL, click View on GitHub to open this file on github.com.
2. If you see this file on GitHub server, you can edit the content of the file. Open the file in an editor. You can use simple editor (pres e on GitHub). However, an advanced VS Code editor (press . on GitHub) is better, since it provides preview how the Markdown code renders. Alternatively press pencil for simple editor or press triangle next to the pencil to get access to VS Code described as github.dev.
3. Fix the keywords in the preamble.
4. Depending on which language version you want to use as a source for your translation, delete either English or Czech version below.
5. Translate to your language. Keep Markdown marking and math notation. If you use a tool to get first version of the translation, make sure that the markup is preserved.
6. In VS Code you can open the preview in another window by pressing Ctrl+V and K. Keep the preview open as you work, or close using a mouse.
7. Instead of saving, you have to commit and push the changes to the repository. Fill the Message under Source control (describe your changes, such as “Polish translation started”) and then press Commit&Push.
8. Make sure that your changes appear in the commit history. In rare cases (if you work with simultaneously with someone else) you have to download /Pull/ and merge his and yours changes. Usualy Sync (Pull & Push) should work.
9. When you finish the translation, change is_finished: False in header to is_finished: True.

Instrukce pro překladatele

1. Otevřete tento soubor na serveru GitHub. Pokud máte soubor otevřen na https://um.mendelu.cz/..., otevřete jej na serveru github.com.
2. Pokud tento soubor vidíte na serveru GitHub, můžete obsah souboru upravit. Otevřete soubor v editoru. Můžete použít jednoduchý editor (stiskněte e na GitHubu). Lepší je však pokročilý editor VS Code (stikněte . na GitHubu), protože poskytuje náhled, jak se kód Markdown interpretuje. Případně stiskněte tužku pro jednoduchý editor nebo stiskněte trojúhelníček vedle tužky, abyste získali přístup k editoru VS Code popsaný jako github.dev.
3. Opravte klíčová slova v preambuli.
4. V závislosti na tom, kterou jazykovou verzi chcete použít jako zdrojový kód pro svůj překladu, odstraňte níže uvedenou anglickou nebo českou verzi.
5. Přeložte do svého jazyka. Ponechte značení Markdown a matematický zápis. Pokud použijete nástroj typu DeepL pro získání první verze překladu, ujistěte se, že zápis matematických výrazů byl zachován.
6. Ve VS Code můžete náhled otevřít v jiném okně stisknutím Ctrl+V. a K. Během práce nechte náhled otevřený nebo jej zavřete pomocí myši.
7. Místo uložení musíte změny zaregistrovat a odeslat do úložiště. Vyplňte zprávu v poli Zpráva (popište své změny, např. “Zahájen překlad do polštiny”) a poté stiskněte tlačítko Commit&Push.
8. Ujistěte se, že se vaše změny objeví v historii revizí. Ve výjimečných případech (pokud pracujete současně s někým jiným) musíte stáhnout /Pull/ a sloučit jeho a vaše změny. Obvykle by synchronizace (Pull & Push) měla fungovat.
9. Po dokončení překladu změňte is_finished: False v záhlaví na is_finished: True.

Czech source

Anamorfózy

45 min., 3/3

Anamorfózy ve výtvarném umění

Anamorfóza je druh vizuálního triku či umění, při němž část roviny nebo prostoru viděná z určitého úhlu odhaluje skrytý obraz. Anamorfóza závisí na tom, zda pozorovatel najde správné místo, odkud se dívat. Tento druh umění má dlouhou a bohatou historii. Jedním z nejznámějších obrazů využívajících anamorfózy jsou Velvyslanci (1533) německého malíře Hanse Holbeina mladšího (1497 – 1543).

V dolní části obrazu je namalován jistý podivný protáhlý objekt. O co se jedná je možné rozeznat pouze pokud se postavíte ke zdi u pravého rámu obrazu a zadíváte se tím směrem. Pokud najdete správnou pozici odkud se dívat, uvidíte, že jde o lebku.

Anamorfní umění může využívat také odrazy obrazů nebo soch ve válci¹.

Ke konci 20. století zažilo anamorfní umění velké oživení ve fotografii, kresbě a velkoplošných instalacích. Někteří umělci tvoří anamorfní obrazy z předmětů denní potřeby jako elektronika, nebo obuv a ponožky². S anamorfózami se můžeme potkat i v rámci street artu. Často jde o kresby na chodníku, silnici či na zdi, které náhodného kolemjdoucího překvapí a na okamžik zarazí. Může jít třeba o kresbu, která vypadá jako díra v zemi, do které hrozí pád, nohy vykukující ze zdi či kanálu a podobně. Anamorfózy založené na středovém promítání jsou přesvědčivější, pokud je sledujeme jedním okem nebo přes objektiv. Pokud je ale střed promítání dostatečně daleko od pozorovaného objektu, je dobře vystínován nebo jeho okolí nějak podporuje dojem prostoru, je iluze přesvědčivější.

Praktické využití

Ve filmovém průmyslu se k natáčení filmů někdy používají kamery s anamorfními čočkami. Ty byly původně navrženy z toho důvodu, aby širokoformátové snímky plně využívaly plochu standardních filmových políček s výškou 35mm. Jinak by širokoformátové snímky ponechaly horní a spodní část rámečku nevyužité. Přes příchod digitálních snímačů s velkým rozlišením se anamorfní objektivy používají pro unikátnost výsledného obrazu i v dnešní době.

V některých městech zaváděly přechody pro chodce, které v určitém okamžiku vypadaly z pohledu přijíždějícího řidiče jako levitující hranoly. Po krátké zkušební době byly většinou zrušeny, protože před nimi řidiči brzdili příliš prudce.

Techniku anamorfní projekce můžeme vidět na některých sportovních stadionech, kdy se používá k propagaci firemních značek, které jsou namalovány na hrací plochu. Z úhlu televizní kamery se nápis jeví jako nápisy stojící svisle v rámci hrací plochy.

Anamorfózy základních těles

V následujícím textu a příkladech vytvoříme anamorfózy základních těles pomocí středového promítání do roviny. Rovině, ve které tyto anamorfní obrazy budeme rýsovat budeme říkat průmětna. Průmětnou pro nás bude papír, na který budeme rýsovat. Tím budeme omezeni co se týče velikosti objektů. Vzniklé obrazy pak budeme pozorovat okem kamery přes mobil nebo fotoaparát. Pokud máte možnost, můžete anamorfní obrazy vytvářet venku, ideálně mimo komunikace.

Jehlan a kužel

Asi nejjednodušší je vytvořit anamorfní obrazy jehlanu a kuželu, pokud ovšem jejich podstavy leží v průmětnách. Pojďme si princip vysvětlit na jehlanu. Kromě tělesa je třeba zadat i střed promítání \(S\) a jeho kolmý průmět do průmětny \(S_1\). Střed promítání si můžeme představit jako oko pozorovatele. Kolmý průmět jako místo, kde pozorovatel stojí. Vzdálenost \(S _1S = d\) je tedy vzdálenost středu promítání od průmětny. U pravidelného čtyřbokého jehlanu obdobně označíme jeho vrchol jako \(V\) a kolmý průmět vrcholu do průmětny \(V_1\). Průsečík přímky \(SV\) (takzvaného promítacího paprsku) s průmětnou pak získáme jako průsečík přímky \(SV\) s přímkou \(S_1V_1\) (viz následující obrázek nalevo). Takový obrázek je dobré si načrtnout když přemýšlíme, jak iluze funguje, a jak bude středový průmět vypadat. Pro určení anamorfózy jehlanu ale tento prostorový obrázek třeba není.

Důležitý je pro nás pouze lichoběžník \(S_1V_1VS\), který si můžeme znázornit i v průmětně jako lichoběžník \(S_1V_1(V)(S)\)(předchozí obrázek napravo). Body, které byly předtím v prostoru mimo průmětnu (body \(V\) a \(S\)) nyní v průmětně uvádíme v závorce, abychom je vzájemně odlišili. Body \((V)\) a \((S)\) vznikly pootočením roviny \(S_1VS\) o \(90^\circ\) do průmětny kolem přímky \(S_1V_1\). Pokud známe výšku jehlanu, vzdálenost oka pozorovatele od průmětny, a vzdálenost \(S_1V_1\), pak můžeme lichoběžník narýsovat. Protažením jeho stran, které nejsou vzájemně rovnoběžné, dostaneme průsečík \(V_s\).

Výsledek (viz předchozí obrázek nalevo) je vhodné nakreslit bez pomocných čar. Můžeme se na něj podívat okem kamery. Při prohlídce přes oko kamery zjistíme, že neviditelné hrany dolní podstavy je vhodné nakreslit hustší čárkovanou čarou než průmět neviditelné boční hrany. Pokud chceme, aby jehlan vypadal věrohodně, obrázek vystínujeme. Stín můžeme jen odhadnout, vržený stín vrcholu si můžeme zvolit. Anamorfóza jehlanu je hotová, kameru fotoaparátu (aby iluze fungovala), je třeba nastavit nad bod \(S_1\) ve výšce rovné vzdálenosti \(S_1(S)\). Výsledný obraz přes oko kamery by měl vypadat přibližně jako na následujícím obrázku.

Řešení. Trojúhelníky \(S_1V_sS\) a \(V_1V_sV\) jsou podobné.

Platí tedy, že poměry příslušných stran, jsou si rovny:

\[\frac{x}{1}= \frac{x+3}{1{,}5},\]

\[1{,}5\,x=x+3,\]

odkud dostáváme \(x=6\). Vzdálenost bodu \(V_s\) od \(V_1\) musí být \(6\) metrů.

Řešení. Obrys kuželu bude (kromě části podstavné kružnice) tvořen tečnami z vrcholu \(V_s\). Přesněji to budou spojnice bodu \(V_s\) s body dotyku \(T\) a \(T'\), které získáme jako průsečíky Thaletovy kružnice \(l\) nad průměrem \(V_1V_s\) s kružnicí \(k\).

Řešení. Bod \(S\) musí splňovat dvě podmínky. Jeho vzdálenost od průmětny je rovna \(d\) a musí ležet na spojnici \(VV_s\). Střed \(S\) i bod \(V\) leží v rovině kolmé na průmětnu. Průsečnice těchto dvou rovin je přímka \(o=V_1V_s\). Kolem této přímky můžeme vrchol \(V\) poototočit o \(90^\circ\) do průmětny. Otočený obraz bodu \(V\) označíme \((V)\), musí ležet ve vzdálenosti \(v\) od bodu \(V_1\) na kolmici na osu \(o\). Ve vzdálenosti \(d\) od osy \(o=V_1V_s\) narýsujeme přímku \(p\). Bod \((S)\) musí ležet na průsečíku přímky \(p\) a \((V)V_s\)

Hranol a válec

Při anamorfním zobrazení hranolu a válce budeme využívat stejnolehlost. Proč tomu tak je si vysvětlíme na příkladu krychle na následujícím obrázku. Mezi horní podstavou krychle a jejím průmětem je v prostoru vztah stejnolehlosti se středem \(S\) (plyne z podobnosti trojúhelníků). Protože dolní podstava krychle je současně kolmým průmětem horní podstavy do průmětny, funguje pak vztah stejnolehlosti mezi dolní podstavou a středovým průmětem horní podstavy se středem stejnolehlosti \(S_1\).

Řešení. Sestrojíme čtverec \(A_1B_1C_1D_1\) s úhlopříčkou \(A_1C_1\). Na obrázku .. vidíme, že bod \(A_s\) je průsečík přímek \(AS\) a \(A_1S_1\). Známe délky rovnoběžných stran lichoběžníka \(A_1S_1SA\), takže můžeme opět provést jeho pootočení kolem strany \(A_1S_1\) o \(90^\circ\) do průmětny. Délka \(S_1(S)=d\) je dána poloměrem kružnice \(k\) a délka \(A_1(A)=a\) je délka strany čtverce \(A_1B_1C_1D_1\). Bod \(A_s\) je průsečík přímky \(S_1A_1\) a přímky \((S)(A)\).

Čtverec s vrcholem \(A_s\) poté dorýsujeme pomocí stejnolehlosti. Boční hrany krychle odpovídají spojnicím vrcholů čtverců, které si odpovídají ve stejnolehlosti. Máme hotovo. Pokud ale chceme podpořit iluzi krychle, můžeme narýsovat ještě čverec, který odpovídá čtverci \(A_1B_1C_1D_1\) ve stejnolehlosti se středem \(S\) a koeficientem \(0<k<1\). Pokud ho vybarvíme šedě, určíme tím stín krychle (při směru osvětlení shora) a vytvoříme tím dojem, že krychle levituje v prostoru.

Řešení. Každé dvě nesoustředné kružnice s různými poloměry jsou stejnolehlé dvěma způsoby. Nás zajímá ten způsob, kdy koeficient stejnolehlosti je kladný. Nejprve sestrojíme střed stejnolehlosti (viz následující obrázek).

Body dotyku najdeme na Thaletových kružnicích nad průměry \(S_1O_1\) a \(S_1O_s\). Teprve poté rýsujeme tečny (pokud rýsujeme pomocí pravítka a kružítka).

Výsledná anamorfóza válce je na následujícím obrázku.

Řešení. Označme si \(x=\left|S_1O_1\right|\). Díky koeficientu stejnolehlosti pak víme že \(\left|S_1O_s\right|=1{,}5\,x\). Z toho plyne \(\left|O_1O_s\right|=0{,}5\,x\). Poté opět využijeme podobnosti trojúhelníků \(S_1O_s(S)\) a \(O_1O_s(O)\) na následujícím obrázku.

\[\frac{d}{v}= \frac{1{,}5\,x}{0{,}5\,x}=3\]

Poměr \(d:v\) musí být roven \(3:1\)

Odkazy a literatura

Literatura

https://en.wikipedia.org/wiki/Anamorphosis

Zdroje obrázků

• Velvyslanci https://en.wikipedia.org/wiki/File:Hans_Holbein_the_Younger_-_The_Ambassadors_-_Google_Art_Project.jpg

• Lebka (detail obrazu Velvyslanci při pohledu ze správného místa) https://en.wikipedia.org/wiki/File:Holbein_Skull.jpg

English source

Not available on July 10. If you want to start from English translation, wait until it appears on https://um.mendelu.cz/math4u/site/ anc copy the English text by hand.