Mandelbrotova množina
20 min., 
3/3 Mandelbrotova množina je jedným z najznámejších a najkrajších fraktálov, ktorý fascinuje matematikov, vedcov aj umelcov po celom svete. Hoci na prvý pohľad vyzerá ako zložitý obrazec, je založená na jednoduchom matematickom pravidle opakovaného umocňovania a sčítania. To, čo ju robí takou zaujímavou, je jej nekonečná zložitosť a nádherné vzory, ktoré sa skrývajú v každom detaile.
Využitie Mandelbrotovej množiny siaha ďaleko za hranice matematiky. Nachádza sa v počítačovej grafike, kde sa používa na tvorbu zložitých a realistických objektov pri modelovaní prírodných štruktúr, ako sú pobrežia, hory alebo oblačnosť. Dá sa využiť dokonca aj v ekonómii a fyzike, kde pomáha pri simuláciách chaotických systémov.
Mandelbrotova množina je dôkazom, že aj jednoduché matematické postupy môžu viesť k neuveriteľne komplexným a krásnym výsledkom, ktoré majú reálne využitie.
Vytvorenie množiny
Predstavme si pomerne jednoduchý rekurentný vzťah \[ z_{n+1}=z_{n}^2+c, \] kde za počiatočnú hodnotu dosadíme \(z_0 = 0\) a \(c\) predstavuje ľubovoľné komplexné číslo. Francúzsko-amerického matematika Benoita Mandelbrota (1924–2010) zaujímalo, kedy je postupnosť takto vzniknutých čísel ohraničená, t. j. pre ktoré \(c\) z komplexnej roviny postupnosť konverguje alebo osciluje. Ak v nejakom bode postupnosť diverguje, zaujímalo ho aj to, ako rýchlo. Dá sa dokázať, že ak absolútna hodnota niektorého člena postupnosti \(z_{n}\) presiahne hodnotu 2, potom táto postupnosť ohraničená nie je.
Mandebrotova množina je teda množina bodov \(c\) v komplexnej rovine, pre ktoré postupnosť vytvorená vyššie uvedenou rekurentnou formulou konverguje alebo osciluje. Vďaka uvedenému faktu vieme, že pre každý člen \(z\) tejto postupnosti musí platiť, že jeho absolútna hodnota \(|z|\) je menšia alebo rovná dvom.
Overenie, či dané \(c\) patrí do Mandelbrotovej množiny, prebieha tak, že vypočítame jednotlivé iterácie a sledujeme absolútne hodnoty týchto iterácií. Pre výpočet iterácií použijeme rekurentný vzťah
\[ z_{n+1}=z_{n}^2+c,\qquad z_0=0. \]
Napr. pre \(c=-i\) máme
\[z_{1}=z_{0}^2-i=0^2-i=-i, \quad |z_1|=1,\] \[z_{2}=z_{1}^2-i=(-i)^2-i=-1-i, \quad |z_2|=\sqrt{2},\] \[z_{3}=z_{2}^2-i=(-1-i)^2-i=i, \quad |z_3|=1,\] \[z_{4}=z_{3}^2-i=(i)^2-i=-1-i, \quad |z_4|=\sqrt{2}.\]
Z výpočtu je jasné, že sa budú stále opakovať hodnoty \(-i\) a \(-1-i\). Podmienka \(|z|\leq2\) bude teda vždy splnená, a preto číslo \(-i\) do Mandelbrotovej množiny patrí.
Úlohy
Úloha 1. Overte, či komplexné čísla \(1\); \(i\); \(-1\); \(1+i\) patria do Mandelbrotovej množiny.
Riešenie. Pre jednoduchosť uvažujeme len niekoľko prvých iteračných krokov. Obraz čísla \(c\) v Gaussovej rovine patrí do Mandelbrotovej množiny vtedy, ak pre všetky výsledky iteračného výpočtu je absolútna hodnota výsledku menšia alebo rovná \(2\).
Iteračný proces pre \(c=1\). \[z_{1}=z_{0}^2+1=0^2+1=1, \quad |z_1|=1,\] \[z_{2}=z_{1}^2+1=1^2+1=2, \quad |z_2|=2,\] \[z_{3}=z_{2}^2+1=2^2+1=5, \quad |z_3|=5.\] Podmienka \(|z|\leq2\) bola porušená už v treťom kroku, preto číslo \(1\) nepatrí do Mandelbrotovej množiny.
Iteračný proces pre \(c=i\). \[z_{1}=z_{0}^2+i=0^2+i=i, \quad |z_1|=1,\] \[z_{2}=z_{1}^2+i=i^2+i=-1+i, \quad |z_2|=\sqrt{2},\] \[z_{3}=z_{2}^2+i=(-1+i)^2+i=-i, \quad |z_3|=1,\] \[z_{4}=z_{3}^2+i=(-i)^2+i=-1+i, \quad |z_4|=\sqrt{2}.\]
Z výpočtu je jasné, že sa budú neustále opakovať výsledky \(-1+i\) a \(i\) a podmienka \(|z|\leq2\) je vždy splnená. Preto číslo \(i\) patrí do Mandelbrotovej množiny.
Iteračný proces pre \(c=-1\). \[z_{1}=z_{0}^2-1=0^2-1=-1, \quad |z_1|=1,\] \[z_{2}=z_{1}^2-1=(-1)^2-1=0, \quad |z_2|=0,\] \[z_{3}=z_{2}^2-1=0^2-1=-1, \quad |z_3|=1.\] Výsledky sa cyklicky opakujú a platí \(|z|\leq2\), preto číslo \(-1\) patrí do Mandelbrotovej množiny.
Iteračný proces pre \(c=1+i\). \[z_{1}=z_{0}^2+1+i=0^2+1+i=1+i, \quad |z_1|=\sqrt{2},\] \[z_{2}=z_{1}^2+1+i=(1+i)^2+1+i=1+2i+i^2+1+i=1+3i, \quad |z_2|=\sqrt{10}.\] Podmienka \(|z|\leq2\) bola porušená už v druhom kroku, preto číslo \(1+i\) nepatrí do Mandelbrotovej množiny.
Úloha 2. Dokážte, že ak existuje \(k\in \mathbb{N}\) také, že \(|z_k|>2\), potom postupnosť \(z_n\) diverguje.
Riešenie. Použijeme rekurentný vzťah: \[ \frac{|z_{n+1}|}{|z_n|}=\frac{|z^2_n+c|}{|z_n|}. \tag{1} \]
Aplikujeme trojuholníkovú nerovnosť: \[ |a+b|\leq|a|+|b|, \] kde \(a=z^2+c\) a \(b=-c\), dostaneme \[ |z^2+c-c|\leq|z^2+c|+|-c|=|z^2+c|+|c| \] a odtiaľ \(|z^2+c|\geq|z^2|-|c|=|z|^2-|c|\).
Dosadíme do \((1)\) a úpravou dostaneme \[ \frac{|z^2_n+c|}{|z_n|}\geq \frac{|z_n|^2-|c|}{|z_n|}=|z_n|-\frac{|c|}{|z_n|}. \]
Naviac vieme, že existuje také \(n\), že platí \(|z_n|>|c|\). Pre \(|c|\leq2\) to plynie z predpokladu. Pre \(c>2\) potom pre \(n=2\) platí \[ |z_2|=|c^2+c|\geq|c|^2-|c|=|c|(|c|-1)>|c|. \] Môžeme teda zapísať \[ \frac{|z^2_n+c|}{|z_n|}\geq \frac{|z_n|^2-|c|}{|z_n|}=|z_n|-\frac{|c|}{|z_n|}>|z_n|-1>1. \] A odtiaľ potom \[ \frac{|z_{n+1}|}{|z_n|}>1, \] alebo \(|z_{n+1}|>|z_n|\) a naša postupnosť diverguje.
Literatúra
Čápka Hartinger, David. Mandelbrotova množina - lekce 3 [online] https://www.itnetwork.cz/algoritmy/graficke/algoritmus-vykresleni-fraktalu-mandelbrotovy-mnoziny} [cit. 22. 9. 2023]
Wikipedie. Mandelbrotova množina [online]. Dostupné z https://cs.wikipedia.org/wiki/Mandelbrotova_mno%C5%BEina [cit. 22. 9. 2023].
PantheraLeo1359531. Mandelbrotova množina - obrázek [online]. Dostupné z https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=103476207 [cit. 22. 9. 2023]
