Previous CS TOC View on GitHub PDF PDF zkrácené EN CS ES PL SK Next CS

Mandelbrotova množina

Keywords: komplexní čísla, Gaussova rovina, posloupnosti, konvergence, absolutní hodnota

Mandelbrotova množina je jedním z nejznámějších a nejkrásnějších fraktálů, který fascinuje matematiky, vědce i umělce po celém světě. Ačkoli na první pohled vypadá jako složitý obrazec, je založena na jednoduchém matematickém pravidle opakovaného umocňování a sčítání. Co ji ale činí tak zajímavou, je její nekonečná složitost a nádherné vzory, které se skrývají v každém detailu.

Obrázek 1. Mandelbrotova množina; barva bodů v jejím okolí odpovídá pořadí členu posloupnosti, u něhož je poprvé zjištěno, že tato posloupnost jde do nekonečna.

Využití Mandelbrotovy množiny sahá daleko za hranice matematiky. Najdeme ji v počítačové grafice, kde se používá k vytváření složitých a realistických objektů při modelování přírodních struktur, jako jsou pobřeží, hory nebo oblačnost. Dá se využít dokonce i v ekonomii a fyzice, kde pomáhá při simulaci chaotických systémů.

Mandelbrotova množina je důkazem, že i jednoduché matematické postupy mohou vést k neuvěřitelně komplexním a krásným výsledkům, které mají reálné využití.

Vytvoření množiny

Představme si poměrně jednoduchý rekurentní vztah

\[z_{n+1}=z_{n}^2+c,\]

kde se za počáteční hodnotu dosadí \(z_0=0\) a \(c\) představuje libovolné komplexní číslo. Francouzsko-amerického matematika Benoita Mandelbrota (1924–2010) zajímalo, kdy je posloupnost takto vzniklých čísel omezená, tj. pro která \(c\) z komplexní roviny posloupnost konverguje nebo osciluje. Pokud v nějakém bodě posloupnost diverguje, tak chtěl vědět, jak rychle. Lze dokázat, že překročí-li absolutní hodnota některého členu posloupnosti \(z_{n}\) hodnotu 2, pak tato posloupnost omezená není.

Mandelbrotova množina je pak množina bodů \(c\) v komplexní rovině, pro něž posloupnost vytvořená rekurentní formulí konverguje nebo osciluje. Díky výše uvedenému faktu víme, že pro každý člen \(z\) této posloupnosti musí platit, že jeho absolutní hodnota \(|z|\) je menší nebo rovna dvěma.

Ověření, zda dané \(c\) patří do Mandelbrotovy množiny probíhá tak, že vypočteme jednotlivé iterace a sledujeme absolutní hodnoty těchto iterací. Pro výpočet iterací využijeme rekurentní vztah

\[ z_{n+1}=z_{n}^2+c,\qquad z_0=0. \]

Např. pro \(c=-i\) máme

\[z_{1}=z_{0}^2-i=0^2-i=-i, \quad |z_1|=1,\] \[z_{2}=z_{1}^2-i=(-i)^2-i=-1-i, \quad |z_2|=\sqrt{2},\] \[z_{3}=z_{2}^2-i=(-1-i)^2-i=i, \quad |z_3|=1,\] \[z_{4}=z_{3}^2-i=(i)^2-i=-1-i, \quad |z_4|=\sqrt{2}.\]

Z výpočtu je patrné, že se budou neustále opakovat výsledky \(-i\) a \(-1-i\). Podmínka \(|z|\leq2\) bude proto vždy splněna, a tedy číslo \(-i\) do Mandelbrotovy množiny patří.

Úlohy

Úloha 1. Ověřte, zda komplexní čísla \(1\); \(i\); \(-1\); \(1+i\) patří do Mandelbrotovy množiny.

Řešení. Pro jednoduchost budeme uvažovat pouze několik prvních iteračních kroků. Platí, že obraz čísla \(c\) v Gaussově rovině patří do Mandelbrotovy množiny, jestliže pro všechny výsledky iteračního výpočtu je absolutní hodnota výsledku menší nebo rovna \(2\).

Iterační proces pro \(c=1\). \[z_{1}=z_{0}^2+1=0^2+1=1, \quad |z_1|=1,\] \[z_{2}=z_{1}^2+1=1^2+1=2, \quad |z_2|=2,\] \[z_{3}=z_{2}^2+1=2^2+1=5, \quad |z_3|=5.\] Z výpočtu je patrné, že podmínka \(|z|\leq2\) nebyla splněna už v třetím iteračním kroku a číslo \(1\) do Mandelbrotovy množiny nepatří.

Iterační proces pro \(c=i\). \[z_{1}=z_{0}^2+i=0^2+i=i, \quad |z_1|=1,\] \[z_{2}=z_{1}^2+i=i^2+i=-1+i, \quad |z_2|=\sqrt{2},\] \[z_{3}=z_{2}^2+i=(-1+i)^2+i=-i, \quad |z_3|=1,\] \[z_{4}=z_{3}^2+i=(-i)^2+i=-1+i, \quad |z_4|=\sqrt{2}.\] Z výpočtu je patrné, že se budou neustále opakovat výsledky \(-1+i\) a \(i\). Podmínka \(|z|\leq2\) bude vždy splněna, proto číslo \(i\) do Mandelbrotovy množiny patří.

Iterační proces pro \(c=-1\). \[z_{1}=z_{0}^2-1=0^2-1=-1, \quad |z_1|=1,\] \[z_{2}=z_{1}^2-1=(-1)^2-1=0, \quad |z_2|=0,\] \[z_{3}=z_{2}^2-1=0^2-1=-1, \quad |z_3|=1.\] Výsledky se budou opět opakovat a podmínka \(|z|\leq2\) bude vždy splněna, proto číslo \(-1\) do Mandelbrotovy množiny patří.

Iterační proces pro \(c=1+i\). \[z_{1}=z_{0}^2+1+i=0^2+1+i=1+i, \quad |z_1|=\sqrt{2},\] \[z_{2}=z_{1}^2+1+i=(1+i)^2+1+i=1+2i+i^2+1+i=1+3i, \quad |z_2|=\sqrt{10}.\] Z výpočtu je patrné, že podmínka \(|z|\leq2\) nebyla splněna už v druhém iteračním kroku a číslo \(1+i\) do Mandelbrotovy množiny nepatří.

Úloha 2. Dokažte, že existuje-li \(k\in \mathbb{N}\) takové, že \(|z_k|>2\), pak posloupnost \(z_n\) diverguje.

Řešení. Užitím rekurentního vztahu získáme podíl \[ \frac{|z_{n+1}|}{|z_n|}=\frac{|z^2_n+c|}{|z_n|}. \tag{1} \]

Použijeme-li trojúhelníkovou nerovnost \[ |a+b|\leq|a|+|b|, \] kde \(a=z^2+c\) a \(b=-c\), dostaneme \[ |z^2+c-c|\leq|z^2+c|+|-c|=|z^2+c|+|c| \] a odtud \(|z^2+c|\geq|z^2|-|c|=|z|^2-|c|\).

Dosazením do \((1)\) a úpravou dostaneme \[ \frac{|z^2_n+c|}{|z_n|}\geq \frac{|z_n|^2-|c|}{|z_n|}=|z_n|-\frac{|c|}{|z_n|}. \] Navíc víme, že existuje takové \(n\), že platí \(|z_n|>|c|\). Pro \(|c|\leq2\) to plyne z předpokladu. Pro \(c>2\) pak pro \(n=2\) platí \[ |z_2|=|c^2+c|\geq|c|^2-|c|=|c|(|c|-1)>|c|. \] Můžeme tedy psát \[ \frac{|z^2_n+c|}{|z_n|}\geq \frac{|z_n|^2-|c|}{|z_n|}=|z_n|-\frac{|c|}{|z_n|}>|z_n|-1>1. \] A odtud tedy \[ \frac{|z_{n+1}|}{|z_n|}>1, \] neboli \(|z_{n+1}|>|z_n|\) a naše posloupnost diverguje.

Literatura