Który los na loterię jest bardziej opłacalny?
30 min., 
2/3 W życiu bardzo często spotykamy się z sytuacjami, które wiążą się z przypadkiem i prawdopodobieństwem. Wyobraźmy sobie, że stajemy przed wyborem pomiędzy kilkoma opcjami - na przykład wybierając los na loterię lub inwestując w projekt. Każdy wybór wiąże się z ryzykiem i potencjalnymi korzyściami, ale jak możemy określić, który z nich jest najkorzystniejszy? W tym miejscu do gry wkracza tak zwana wartość oczekiwana.
Wartość oczekiwana informuje nas o średnim wyniku, jakiego możemy się spodziewać, wybierając konkretną opcję. Pomaga nam lepiej oszacować, która opcja prawdopodobnie opłaci się w dłuższej perspektywie. Nie jest to dokładna prognoza, ale narzędzie, które pozwala nam lepiej zrozumieć ryzyko i zysk, zarówno w prostych grach, jak i w rzeczywistych decyzjach.
Rozważmy na przykład dwa losy na loterię:
- Los A: Kosztuje 10 zł i ma prawdopodobieństwo \(0{.}1\) wygrania 100 zł; w przeciwnym razie nie wygrywa nic.
- Los B: Kosztuje 10 zł i ma \(0{.}2\) prawdopodobieństwa wygrania 60 zł; w przeciwnym razie nie wygrywa nic.
W przypadku losu A oczekujemy, że jeśli kupimy 10 losów, jeden z nich wygra 100 zł, podczas gdy pozostałe dziewięć nie wygra nic. W związku z tym możemy oczekiwać, że każdy los na loterię przyniesie średni zwrot w wysokości 10 zł.
Podobnie, w przypadku losu na loterię B, spodziewamy się, że jeśli kupimy 10 losów, dwa z nich wygrają 60 zł, a osiem nie wygra nic. Możemy zatem oczekiwać, że każdy los na loterię przyniesie średni zwrot w wysokości 12 zł.
To pokazuje, że los B jest lepszą opcją.
Wartość oczekiwana
Średnia wygrana, którą właśnie obliczyliśmy, nazywana jest wartością oczekiwaną.
Ogólnie można powiedzieć, że dla zmiennej losowej \(X\), która przyjmuje skończenie wiele wartości \(x_1,\,\dots,\,x_k\) z prawdopodobieństwami \(p_1,\,\dots,\,p_k\), obliczamy jego wartość oczekiwaną za pomocą tego wzoru:
\[ EV=\sum_{i=1}^k x_ip_i. \]
Który los na loterię jest najlepszy?
Przyjrzyjmy się trzem kuponom loteryjnym. Kupon Black Pearl o wartości 50 zł, kupon Black Pearl o wartości 100 zł oraz kupon loterii Rental King o wartości 50 zł.
Struktura nagród dla kuponów loterii Black Pearl o wartości 50 zł, których jest łącznie 13 000 000, przedstawia się następująco.
| Kwota nagrody (w zł) | Liczba zwycięskich kuponów |
|---|---|
| \(50\) | \(1{\,}820{\,}000\) |
| \(100\) | \(1\,040{\,}000\) |
| \(150\) | \(260{\,}000\) |
| \(200\) | \(130{\,}000\) |
| \(300\) | \(130{\,}000\) |
| \(500\) | \(104{\,}000\) |
| \(1{\,}000\) | \(5{\,}550\) |
| \(2{\,}000\) | \(2{\,}300\) |
| \(4{\,}000\) | \(480\) |
| \(10{\,}000\) | \(185\) |
| \(20{\,}000\) | \(84\) |
| \(100{\,}000\) | \(14\) |
| \(1{\,}500{\,}000\) | \(6\) |
| Total | \(3{\,}492{\,}619\) |
Struktura nagród dla kuponu loterii 100 zł Black Pearl wygląda podobnie, z łączną kwotą 15{,}000{,}000$ wyemitowanych kuponów.
| Kwota nagrody (w zł) | Liczba zwycięskich kuponów |
|---|---|
| \(100\) | \(2{\,}400{\,}000\) |
| \(200\) | \(900{\,}000\) |
| \(300\) | \(450{\,}000\) |
| \(500\) | \(150{\,}000\) |
| \(600\) | \(150{\,}000\) |
| \(900\) | \(75{\,}000\) |
| \(1{\,}000\) | \(75{\,}000\) |
| \(1{\,}500\) | \(20{\,}000\) |
| \(6{\,}000\) | \(4{\,}000\) |
| \(20{\,}000\) | \(185\) |
| \(50{\,}000\) | \(84\) |
| \(100{\,}000\) | \(30\) |
| \(200{\,}000\) | \(13\) |
| \(5{\,}000{\,}000\) | \(6\) |
| Total | \(4{\,}224{\,}318\) |
Na koniec przyjrzyjmy się losowi na loterię Rental King, z łączną liczbą wyemitowanych losów w wysokości \(8{\,}000{\,}000\). Nagrody zostały przedstawione w poniższej tabeli.
| Kwota nagrody (w zł) | Liczba zwycięskich kuponów |
|---|---|
| \(50\) | \(960{\,}000\) |
| \(100\) | \(720{\,}000\) |
| \(150\) | \(160{\,}000\) |
| \(250\) | \(160{\,}000\) |
| \(500\) | \(70{\,}000\) |
| \(1{\,}000\) | \(1{\,}300\) |
| \(2{\,}000\) | \(500\) |
| \(5{\,}000\) | \(160\) |
| \(10{\,}000\) | \(80\) |
| \(100{\,}000\) | \(6\) |
| \(3{\,}500{\,}000\) | \(3\) |
| Total | \(2{\,}072{\,}049\) |
Nagroda główna w wysokości \(3{\,}500{\,}000\,\text{zł}\) nie jest wypłacana od razu, ale składa się z nagrody natychmiastowej w wysokości \(500{\,}000\,\text{zł}\) oraz renty w wysokości \(50{\,}000\,\text{zł}\) przez 5 lat.
Zadanie 1. Który kupon ma największą szansę na wygraną?
Rozwiązanie. W przypadku losu o wartości 50 zł Black Pearl, istnieje \(3{\,}492{\,}619\) wygrywających losów z całkowitej liczby \(13{\,}000{\,}000\) (patrz ostatni wiersz tabeli). Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany kupon jest wygrywający można obliczyć jako
\[ P(V_1)=\frac{3{\,}492{\,}619}{13{\,}000{\,}000}=0{,}268633. \]
Możemy powiedzieć, że jeśli kupimy jeden los na loterię, mamy szansę na wygranie około \(26{,}86\%\). Manipulując ułamkiem, możemy również zobaczyć, że szansa na zdobycie zwycięskiego losu na loterię wynosi \(1\colon 3{,}72\).
Podobnie, w przypadku losu na loterię Black Pearl o wartości 100 zł otrzymujemy \[ P(V_2)=\frac{4{\,}224{\,}318}{15{\,}000{\,}000}=0{,}2816212. \] Oznacza to, że szansa na wygraną wynosi \(28{,}16\%\) lub \(1\colon 3{,}55\).
W przypadku biletu Rental King otrzymujemy \[ P(V_3)=\frac{2{\,}072{\,}049}{8{\,}000{\,}000}=0{,}259, \] więc szansa na wygraną wynosi \(25{,}9\%\) lub \(1\colon 3{,}86\).
Porównując poszczególne prawdopodobieństwa wygranej, okazuje się, że największą szansę na wygraną daje kupon Black Pearl o wartości 100 zł.
W tym kontekście możemy również rozważyć, co rozumiemy przez zwycięski kupon. Kupon jest zwykle uznawany za wygrywający, jeśli przynosi jakąkolwiek kwotę pieniędzy. Ale jeśli zapłaciliśmy 100 zł za bilet, to wygrana w wysokości 100 zł zwróci nam pieniądze, ale tak naprawdę nic nie wygraliśmy. Aby uzyskać prawdopodobieństwo wygrania więcej niż zapłaciliśmy, nie będziemy brać pod uwagę pierwszego rzędu w naszych tabelach wygranych. W ten sposób otrzymujemy skorygowane prawdopodobieństwo wygranej \[ \begin{aligned} P(V_1)&=\frac{1{\,}672{\,}619}{13{\,}000{\,}000}=0{,}128633,\\ P(V_2)&=\frac{1{\,}824{\,}318}{15{\,}000{\,}000}=0{,}1216212,\\ P(V_3)&=\frac{1{\,}112{\,}049}{8{\,}000{\,}000}=0{,}139. \end{aligned} \] Widzimy, że gdy weźmiemy pod uwagę tylko losy loterii, które zwracają więcej niż koszt ich zakupu, najlepszą opcją jest los na loterię Rental King, który ma \(13{,}9\%\) szansy na taką wygraną.
Zadanie 2. Jaka jest oczekiwana wartość każdego losu?
Rozwiązanie. Aby obliczyć wartość oczekiwaną, z definicji musimy znać prawdopodobieństwa poszczególnych wygranych:
| Kwota nagrody (w zł) | Prawdopodobieństwo wygranej |
|---|---|
| \(50\) | \(0{,}14\) |
| \(100\) | \(0{,}08\) |
| \(150\) | \(0{,}02\) |
| \(200\) | \(0{,}01\) |
| \(300\) | \(0{,}01\) |
| \(500\) | \(0{,}008\) |
| \(1{\,}000\) | \(0{,}0004269\) |
| \(2{\,}000\) | \(0{,}000176923\) |
| \(4{\,}000\) | \(0{,}000036923\) |
| \(10{\,}000\) | \(0{,}000014231\) |
| \(20{\,}000\) | \(0{,}000006461538\) |
| \(100{\,}000\) | \(0{,}000006461538\) |
| \(1{\,}500{\,}000\) | \(0{,}000000461538\) |
Niech wartości poszczególnych wygranych będą oznaczone od \(n_1\) do \(n_{13}\), a odpowiadające im prawdopodobieństwa od \(p_1\) do \(p_{13}\). Wówczas wartość oczekiwana \(EV(L_1)\) losu Czarnej Perły wynosi
\[ EV(L_1)=\sum_{k=1}^{13}n_kp_k=29\,\text{CZK}. \]
Biorąc pod uwagę sposób obliczania poszczególnych prawdopodobieństw, możemy również obliczyć wartość oczekiwaną w następujący sposób: \[ EV(L_1)=\frac{1}{13{\,}000{\,}000}\left(50\cdot 1{\,}820{\,}000+100\cdot1{\,}040{\,}000+ \cdots + 100{\,}000\cdot14+1{\,}500{\,}000\cdot6 \right). \]
To podejście jest bardziej wygodne, ponieważ nie musimy obliczać prawdopodobieństwa każdej możliwej nagrody w tabeli. Dla losu Black Pearl za 100 CZK otrzymujemy wartość oczekiwaną \(EV(L_2)\): \[ EV(L_2)=\frac{1}{15{\,}000{\,}000}\left(100\cdot 2{\,}400{\,}000+200\cdot 900{\,}000+ \cdots + 200{\,}000\cdot 13+5{\,}000{\,}000 \cdot 6 \right)=64\,\text{CZK}. \] W przypadku losu na loterię Rental King otrzymujemy wartość oczekiwaną \(EV(L_3)\): \[ EV(L_3)=\frac{1}{8{\,}000{\,}000}\left(50\cdot 960{\,}000+100\cdot 720{\,}000+ \cdots + 100{\,}000\cdot 6+3{\,}500{\,}000\cdot 3 \right)=29{,}25\,\text{CZK}. \]
Uwaga.
- Loterie zazwyczaj podają całkowitą pulę nagród i liczbę losów. Wartość oczekiwana to oczywiście stosunek tych dwóch liczb.
- Podane wartości są często jeszcze niższe w rzeczywistości, ponieważ nagrody loteryjne są zazwyczaj opodatkowane.
- To samo podejście można zastosować do obliczenia oczekiwanej wartości paczki różnych gier karcianych (Pokémon, Lorcana, Magic the Gathering lub kart sportowych).
Zadanie 3. W poprzednich przykładach uznaliśmy, że główną nagrodą w loterii Rental King jest \(3{\,}500{\,}000\,\text{zł}\). Ale czy jest to rzeczywista wartość nagrody, biorąc pod uwagę, że nie jest ona wypłacana od razu?
Rozwiązanie. Prosta odpowiedź brzmi: nie.
Ważne jest, aby pamiętać, że gdybyśmy otrzymali pieniądze natychmiast, moglibyśmy je zaoszczędzić lub w jakiś sposób zainwestować. Aby określić wartość \(50{\,}000\,\text{zł}\) otrzymanych za miesiąc, możemy użyć koncepcji znanej jako wartość bieżąca. Korzystając z tej koncepcji, zadajemy sobie pytanie, ile pieniędzy musielibyśmy zainwestować dzisiaj, aby uzyskać pożądaną kwotę w ciągu jednego miesiąca (np. rozważane $50{,}000 $). Kwotę tę nazywamy wartością bieżącą.
Załóżmy, że możemy zaoszczędzić daną kwotę \(P_0\) przez miesiąc z miesięczną stopą procentową w wysokości \(0{.}5\%\). Po miesiącu otrzymalibyśmy \(P_1=1{,}005P_0\). Wartość bieżąca to zatem kwota \(P_0\), którą musimy zdeponować, aby \(P_1\) wyniosło \(50{\,}000\,\text{zł}\), tj. \[ P_0=\frac{50\,000}{1{,}005}=49\,751{,}24\,\text{zł}. \]
Aby określić wartość bieżącą kwoty, którą otrzymamy za \(n\) miesięcy, zakładamy, że dana kwota będzie zdeponowana przez cały ten czas. Korzystając z procentu składanego, otrzymujemy wartość bieżącą \(P_0\) kwoty \(P_n\) otrzymanej po \(n\) miesiącach w następujący sposób: \[ P_0=\frac{P_n}{1{,}005^n}. \] Przypomnijmy, że główna nagroda w loterii Rental King składa się z \(500{,}000\,\text{zł}\) i trzydziestu miesięcznych płatności w wysokości \(50{,}000\,\text{zł}\). Biorąc pod uwagę miesięczną stopę procentową w wysokości \(0{.}5\,\%\), wartość bieżąca \(PV\) tych płatności wynosi \[ PV=\frac{50{\,}000}{1{,}005}+\frac{50{\,}000}{1{,}005^2}+\cdots+\frac{50{\,}000}{1{,}005^{29}}+\frac{50{\,}000}{1{,}005^{30}}. \] Zauważmy, że jest to suma wyrazów ciągu geometrycznego, a zatem obliczenia można znacznie skrócić. \[ PV=\frac{50{\,}000}{1{,}005}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{1{,}005}\right)^{30}}{1-\frac{1}{1{,}005}}=1{\,}389{\,}702{,}7\,\text{zł}. \] W związku z tym zakładamy, że wartość głównej nagrody wynosi tylko \(1{\,}889{\,}702{,}7\,\text{zł}\).
Gdy użyjemy tej kwoty do obliczenia oczekiwanej wartości losu na loterię Rental King, otrzymamy \[ EV(L_3)=28{,}65\,\text{zł}. \]
Uwaga. Wcześniejsze rozważania były nadal bardzo uproszczone, ponieważ nie uwzględniały na przykład wpływu inflacji.
Zadanie 4. Na podstawie wyników poprzednich zadań wybierz najlepszy los na loterię.
Rozwiązanie. W oparciu o poprzednie zadania, możemy porównać kupony loteryjne według różnych kryteriów:
- Według prawdopodobieństwa wygranej.
Zgodnie z tym kryterium, najlepszym kuponem jest kupon 100 zł Black Pearl z szansą na wygraną w wysokości \(28{,}16\,\%\), następnie kupon 50 zł Black Pearl z szansą na wygraną w wysokości \(26{,}86\,\%\), a najgorszy jest kupon Rental King z szansą na wygraną w wysokości \(25{,}9\,\%\).
- Według prawdopodobieństwa rzeczywistej wygranej.
Jeśli zamiast tego weźmiemy pod uwagę szansę na wygranie więcej niż zapłaciliśmy, otrzymamy inny ranking. Najlepszy jest kupon Rental King z szansą na wygraną w wysokości \(13{,}9\,\%\), następnie kupon 50 zł Black Pearl z szansą na wygraną w wysokości \(12{,}86\,\%\) a ostatni jest kupon 100 zł Black Pearl z szansą na wygraną w wysokości \(12{,}16\,\%\).
- Według wartości oczekiwanej.
Oczekiwana wartość losu na Czarną Perłę o wartości 50 zł wynosi \(29\,\text{zł}\). Średnio tracimy \(21\,\text{zł}\) kupując jeden bilet. Analogicznie, oczekiwana wartość losu na Czarną Perłę o wartości 100 zł wynosi 64 zł. Średnio tracimy \(36\,\text{zł}\). W przypadku kuponu Rental King o wartości 50 zł skorygowana wartość oczekiwana wynosi \(28{,}65\,\text{zł}\), więc średnio tracimy \(21{,}35\,\text{zł}\).
Możemy zatem powiedzieć, że zgodnie z oczekiwaniami, wszystkie losy przynoszą stratę. Jednak los Black Pearl o wartości 50 zł można uznać za najlepszy, ponieważ przynosi najmniejszą stratę.
Literatura
- Novák, J., Střední hodnota v úlohách na střední škole. Učitel matematiky, 2, JČMF, 2024.
- Herní plán loterií SAZKA [online] Dostępne na https://static.sazka.cz/kentico-media/sazka/media/content/herni-plany/hp-sazka-od-17-7-24-komplet-sazka.pdf, [cit. 1. 9. 2024]
