W życiu bardzo często spotykamy się z sytuacjami, które wiążą się z przypadkiem i prawdopodobieństwem. Wyobraźmy sobie, że stajemy przed wyborem pomiędzy kilkoma opcjami - na przykład wybierając los na loterię lub inwestując w projekt. Każdy wybór wiąże się z ryzykiem i potencjalnymi korzyściami, ale jak możemy określić, który z nich jest najkorzystniejszy? W tym miejscu do gry wkracza tak zwana wartość oczekiwana.
Wartość oczekiwana informuje nas o średnim wyniku, jakiego możemy się spodziewać, wybierając konkretną opcję. Pomaga nam lepiej oszacować, która opcja prawdopodobnie opłaci się w dłuższej perspektywie. Nie jest to dokładna prognoza, ale narzędzie, które pozwala nam lepiej zrozumieć ryzyko i zysk, zarówno w prostych grach, jak i w rzeczywistych decyzjach.
Rozważmy na przykład dwa losy na loterię:
W przypadku losu A oczekujemy, że jeśli kupimy 10 losów, jeden z nich wygra 100 zł, podczas gdy pozostałe dziewięć nie wygra nic. W związku z tym możemy oczekiwać, że każdy los na loterię przyniesie średni zwrot w wysokości 10 zł.
Podobnie, w przypadku losu na loterię B, spodziewamy się, że jeśli kupimy 10 losów, dwa z nich wygrają 60 zł, a osiem nie wygra nic. Możemy zatem oczekiwać, że każdy los na loterię przyniesie średni zwrot w wysokości 12 zł.
To pokazuje, że los B jest lepszą opcją.
Średnia wygrana, którą właśnie obliczyliśmy, nazywana jest wartością oczekiwaną.
Ogólnie można powiedzieć, że dla zmiennej losowej \(X\), która przyjmuje skończenie wiele wartości \(x_1,\,\dots,\,x_k\) z prawdopodobieństwami \(p_1,\,\dots,\,p_k\), obliczamy jego wartość oczekiwaną za pomocą tego wzoru:
\[ EV=\sum_{i=1}^k x_ip_i. \]
Przyjrzyjmy się trzem kuponom loteryjnym. Kupon Black Pearl o wartości 50 zł, kupon Black Pearl o wartości 100 zł oraz kupon loterii Rental King o wartości 50 zł.
Struktura nagród dla kuponów loterii Black Pearl o wartości 50 zł, których jest łącznie 13 000 000, przedstawia się następująco.
| Kwota nagrody (w zł) | Liczba zwycięskich kuponów |
|---|---|
| \(50\) | \(1{,}820{,}000\) |
| \(100\) | \(1\,040{,}000\) |
| \(150\) | \(260{,}000\) |
| \(200\) | \(130{,}000\) |
| \(300\) | \(130{,}000\) |
| \(500\) | \(104{,}000\) |
| \(1{,}000\) | \(5{,}550\) |
| \(2{,}000\) | \(2{,}300\) |
| \(4{,}000\) | \(480\) |
| \(10{,}000\) | \(185\) |
| \(20{,}000\) | \(84\) |
| \(100{,}000\) | \(14\) |
| \(1{,}500{,}000\) | \(6\) |
| Total | \(3{,}492{,}619\) |
Struktura nagród dla kuponu loterii 100 zł Black Pearl wygląda podobnie, z łączną kwotą 15{,}000{,}000$ wyemitowanych kuponów.
| Kwota nagrody (w zł) | Liczba zwycięskich kuponów |
|---|---|
| \(100\) | \(2{,}400{,}000\) |
| \(200\) | \(900{,}000\) |
| \(300\) | \(450{,}000\) |
| \(500\) | \(150{,}000\) |
| \(600\) | \(150{,}000\) |
| \(900\) | \(75{,}000\) |
| \(1{,}000\) | \(75{,}000\) |
| \(1{,}500\) | \(20{,}000\) |
| \(6{,}000\) | \(4{,}000\) |
| \(20{,}000\) | \(185\) |
| \(50{,}000\) | \(84\) |
| \(100{,}000\) | \(30\) |
| \(200{,}000\) | \(13\) |
| \(5{,}000{,}000\) | \(6\) |
| Total | \(4{,}224{,}318\) |
Na koniec przyjrzyjmy się losowi na loterię Rental King, z łączną liczbą wyemitowanych losów w wysokości 8{,}000{,}000$. Nagrody zostały przedstawione w poniższej tabeli.
| Kwota nagrody (w zł) | Liczba zwycięskich kuponów |
|---|---|
| \(50\) | \(960{,}000\) |
| \(100\) | \(720{,}000\) |
| \(150\) | \(160{,}000\) |
| \(250\) | \(160{,}000\) |
| \(500\) | \(70{,}000\) |
| \(1{,}000\) | \(1{,}300\) |
| \(2{,}000\) | \(500\) |
| \(5{,}000\) | \(160\) |
| \(10{,}000\) | \(80\) |
| \(100{,}000\) | \(6\) |
| \(3{,}500{,}000\) | \(3\) |
| Total | \(2{,}072{,}049\) |
Nagroda główna w wysokości \(3{,}500{,}000\,\text{zł}\) nie jest wypłacana od razu, ale składa się z nagrody natychmiastowej w wysokości \(500{,}000\,\text{zł}\) oraz renty w wysokości \(50{,}000\,\text{zł}\) przez 5 lat.
Zadanie 1. Który kupon ma największą szansę na wygraną?
Rozwiązanie. W przypadku losu o wartości 50 zł Black Pearl, istnieje \(3{,}492{,}619\) wygrywających losów z całkowitej liczby \(13{,}000{,}000\) (patrz ostatni wiersz tabeli). Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany kupon jest wygrywający można obliczyć jako
\[ P(V_1)=\frac{3{,}492{,}619}{13{,}000{,}000}=0{.}268633. \]
Możemy powiedzieć, że jeśli kupimy jeden los na loterię, mamy szansę na wygranie około \(26{.}86\%\). Manipulując ułamkiem, możemy również zobaczyć, że szansa na zdobycie zwycięskiego losu na loterię wynosi \(1\colon 3{.}72\).
Podobnie, w przypadku losu na loterię Black Pearl o wartości 100 zł otrzymujemy \[ P(V_2)=\frac{4{,}224{,}318}{15{,}000{,}000}=0{.}2816212. \] Oznacza to, że szansa na wygraną wynosi \(28{.}16\%\) lub \(1\colon 3{.}55\).
W przypadku biletu Rental King otrzymujemy \[ P(V_3)=\frac{2{,}072{,}049}{8{,}000{,}000}=0{.}259, \] więc szansa na wygraną wynosi \(25{.}9\%\) lub \(1\colon 3{.}86\).
Porównując poszczególne prawdopodobieństwa wygranej, okazuje się, że największą szansę na wygraną daje kupon Black Pearl o wartości 100 zł.
W tym kontekście możemy również rozważyć, co rozumiemy przez zwycięski kupon. Kupon jest zwykle uznawany za wygrywający, jeśli przynosi jakąkolwiek kwotę pieniędzy. Ale jeśli zapłaciliśmy 100 zł za bilet, to wygrana w wysokości 100 zł zwróci nam pieniądze, ale tak naprawdę nic nie wygraliśmy. Aby uzyskać prawdopodobieństwo wygrania więcej niż zapłaciliśmy, nie będziemy brać pod uwagę pierwszego rzędu w naszych tabelach wygranych. W ten sposób otrzymujemy skorygowane prawdopodobieństwo wygranej \[ \begin{aligned} P(V_1)&=\frac{1{,}672{,}619}{13{,}000{,}000}=0{.}128633,\\ P(V_2)&=\frac{1{,}824{,}318}{15{,}000{,}000}=0{.}1216212,\\ P(V_3)&=\frac{1{,}112{,}049}{8{,}000{,}000}=0{.}139. \end{aligned} \] Widzimy, że gdy weźmiemy pod uwagę tylko losy loterii, które zwracają więcej niż koszt ich zakupu, najlepszą opcją jest los na loterię Rental King, który ma \(13{.}9\%\) szansy na taką wygraną.
Zadanie 2. Jaka jest oczekiwana wartość każdego losu?
Rozwiązanie. Aby obliczyć wartość oczekiwaną, z definicji musimy znać prawdopodobieństwa poszczególnych wygranych:
| Kwota nagrody (w zł) | Prawdopodobieństwo wygranej |
|---|---|
| \(50\) | \(0{.}14\) |
| \(100\) | \(0{.}08\) |
| \(150\) | \(0{.}02\) |
| \(200\) | \(0{.}01\) |
| \(300\) | \(0{.}01\) |
| \(500\) | \(0{.}008\) |
| \(1{,}000\) | \(0{.}0004269\) |
| \(2{,}000\) | \(0{.}000176923\) |
| \(4{,}000\) | \(0{.}000036923\) |
| \(10{,}000\) | \(0{.}000014231\) |
| \(20{,}000\) | \(0{.}000006461538\) |
| \(100{,}000\) | \(0{.}000006461538\) |
| \(1{,}500{,}000\) | \(0{.}000000461538\) |
Niech wartości poszczególnych wygranych będą oznaczone od \(n_1\) do \(n_{13}\), a odpowiadające im prawdopodobieństwa od \(p_1\) do \(p_{13}\). Wówczas wartość oczekiwana \(EV(L_1)\) losu Czarnej Perły wynosi
\[ EV(L_1)=\sum_{k=1}^{13}n_kp_k=29\,\text{CZK}. \]
Biorąc pod uwagę sposób obliczania poszczególnych prawdopodobieństw, możemy również obliczyć wartość oczekiwaną w następujący sposób: \[ EV(L_1)=\frac{1}{13{,}000{,}000}\left(50\cdot 1{,}820{,}000+100\cdot1{,}040{,}000+ \cdots + 100{,}000\cdot14+1{,}500{,}000\cdot6 \right). \]
To podejście jest bardziej wygodne, ponieważ nie musimy obliczać prawdopodobieństwa każdej możliwej nagrody w tabeli. Dla losu Black Pearl za 100 CZK otrzymujemy wartość oczekiwaną \(EV(L_2)\): \[ EV(L_2)=\frac{1}{15{,}000{,}000}\left(100\cdot 2{,}400{,}000+200\cdot 900{,}000+ \cdots + 200{,}000\cdot 13+5{,}000{,}000 \cdot 6 \right)=64\,\text{CZK}. \] W przypadku losu na loterię Rental King otrzymujemy wartość oczekiwaną \(EV(L_3)\): \[ EV(L_3)=\frac{1}{8{,}000{,}000}\left(50\cdot 960{,}000+100\cdot 720{,}000+ \cdots + 100{,}000\cdot 6+3{,}500{,}000\cdot 3 \right)=29{.}25\,\text{CZK}. \]
Uwaga.
Loterie zazwyczaj podają całkowitą pulę nagród i liczbę losów. Wartość oczekiwana to oczywiście stosunek tych dwóch liczb. Podane wartości są często jeszcze niższe w rzeczywistości, ponieważ nagrody loteryjne są zazwyczaj opodatkowane. *To samo podejście można zastosować do obliczenia oczekiwanej wartości paczki różnych gier karcianych (Pokémon, Lorcana, Magic the Gathering lub kart sportowych).
Zadanie 3. W poprzednich przykładach uznaliśmy, że główną nagrodą w loterii Rental King jest \(3{,}500{,}000\,\text{zł}\). Ale czy jest to rzeczywista wartość nagrody, biorąc pod uwagę, że nie jest ona wypłacana od razu?
Rozwiązanie. Prosta odpowiedź brzmi: nie.
Ważne jest, aby pamiętać, że gdybyśmy otrzymali pieniądze natychmiast, moglibyśmy je zaoszczędzić lub w jakiś sposób zainwestować. Aby określić wartość \(50{,}000\,\text{zł}\) otrzymanych za miesiąc, możemy użyć koncepcji znanej jako wartość bieżąca. Korzystając z tej koncepcji, zadajemy sobie pytanie, ile pieniędzy musielibyśmy zainwestować dzisiaj, aby uzyskać pożądaną kwotę w ciągu jednego miesiąca (np. rozważane 50 $ {,}000 $). Kwotę tę nazywamy wartością bieżącą.
Załóżmy, że możemy zaoszczędzić daną kwotę \(P_0\) przez miesiąc z miesięczną stopą procentową w wysokości \(0{.}5\%\). Po miesiącu otrzymalibyśmy \(P_1=1{,}005P_0\). Wartość bieżąca to zatem kwota \(P_0\), którą musimy zdeponować, aby \(P_1\) wyniosło \(50{,}000\,\text{zł}\), tj. \[ P_0=\frac{50{,}000}{1{.}005}=49{,}751{.}24\,\text{zł}. \]
Aby określić wartość bieżącą kwoty, którą otrzymamy za \(n\) miesięcy, zakładamy, że dana kwota będzie zdeponowana przez cały ten czas. Korzystając z procentu składanego, otrzymujemy wartość bieżącą \(P_0\) kwoty \(P_n\) otrzymanej po \(n\) miesiącach w następujący sposób: \[ P_0=\frac{P_n}{1{.}005^n}. \] Przypomnijmy, że główna nagroda w loterii Rental King składa się z \(500{,}000\,\text{zł}\) i trzydziestu miesięcznych płatności w wysokości \(50{,}000\,\text{zł}\). Biorąc pod uwagę miesięczną stopę procentową w wysokości \(0{.}5\,\%\), wartość bieżąca \(PV\) tych płatności wynosi \[ PV=\frac{50{,}000}{1{.}005}+\frac{50{,}000}{1{.}005^2}+\cdots+\frac{50{,}000}{1{.}005^{29}}+\frac{50{,}000}{1{.}005^{30}}. \] Zauważmy, że jest to suma wyrazów ciągu geometrycznego, a zatem obliczenia można znacznie skrócić. \[ PV=\frac{50{,}000}{1{.}005}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{1{.}005}\right)^{30}}{1-\frac{1}{1{.}005}}=1{,}389{,}702{.}7\,\text{zł}. \] W związku z tym zakładamy, że wartość głównej nagrody wynosi tylko \(1{,}889{,}702{.}7\,\text{zł}\).
Gdy użyjemy tej kwoty do obliczenia oczekiwanej wartości losu na loterię Rental King, otrzymamy \[ EV(L_3)=28{.}65\,\text{zł}. \]
Uwaga. Wcześniejsze rozważania były nadal bardzo uproszczone, ponieważ nie uwzględniały na przykład wpływu inflacji.
Zadanie 4. Na podstawie wyników poprzednich zadań wybierz najlepszy los na loterię.
Rozwiązanie. W oparciu o poprzednie zadania, możemy porównać kupony loteryjne według różnych kryteriów:
Zgodnie z tym kryterium, najlepszym kuponem jest kupon 100 zł Black Pearl z szansą na wygraną w wysokości 28{.}16%\(, następnie kupon 50 zł Black Pearl z szansą na wygraną w wysokości 26{.}86\%\), a najgorszy jest kupon Rental King z szansą na wygraną w wysokości 25{.}9%$.
Jeśli zamiast tego weźmiemy pod uwagę szansę na wygranie więcej niż zapłaciliśmy, otrzymamy inny ranking. Najlepszy jest kupon Rental King z szansą na wygraną w wysokości \(13{.}9\%\), następnie kupon 50 zł Black Pearl z szansą na wygraną w wysokości \(12{.}86\%\) a ostatni jest kupon 100 zł Black Pearl z szansą na wygraną w wysokości \(12{.}16\%\).
3.Według wartości oczekiwanej.
Oczekiwana wartość losu na Czarną Perłę o wartości 50 zł wynosi \(29\,\text{zł}\). Średnio tracimy \(21\,\text{zł}\) kupując jeden bilet. Analogicznie, oczekiwana wartość losu na Czarną Perłę o wartości 100 zł wynosi 64 zł. Średnio tracimy \(36\,\text{zł}. W przypadku kuponu Rental King o wartości 50 zł skorygowana wartość oczekiwana wynosi 28{.}65\,\text{zł}\), więc średnio tracimy \(21{.}35\,\text{zł}\).
Możemy zatem powiedzieć, że zgodnie z oczekiwaniami, wszystkie losy przynoszą stratę. Jednak los Black Pearl o wartości 50 zł można uznać za najlepszy, ponieważ przynosi najmniejszą stratę.