Instructions for translators

1. Open this file on GitHub server. If you see https://um.mendelu.cz/... in URL, click View on GitHub to open this file on github.com.
2. If you see this file on GitHub server, you can edit the content of the file. Open the file in an editor. You can use simple editor (pres e on GitHub). However, an advanced VS Code editor (press . on GitHub) is better, since it provides preview how the Markdown code renders. Alternatively press pencil for simple editor or press triangle next to the pencil to get access to VS Code described as github.dev.
3. Fix the keywords in the preamble.
4. Depending on which language version you want to use as a source for your translation, delete either English or Czech version below.
5. Translate to your language. Keep Markdown marking and math notation. If you use a tool to get first version of the translation, make sure that the markup is preserved.
6. In VS Code you can open the preview in another window by pressing Ctrl+V and K. Keep the preview open as you work, or close using a mouse.
7. Instead of saving, you have to commit and push the changes to the repository. Fill the Message under Source control (describe your changes, such as “Polish translation started”) and then press Commit&Push.
8. Make sure that your changes appear in the commit history. In rare cases (if you work with simultaneously with someone else) you have to download /Pull/ and merge his and yours changes. Usualy Sync (Pull & Push) should work.
9. When you finish the translation, change is_finished: False in header to is_finished: True.

Instrukce pro překladatele

1. Otevřete tento soubor na serveru GitHub. Pokud máte soubor otevřen na https://um.mendelu.cz/..., otevřete jej na serveru github.com.
2. Pokud tento soubor vidíte na serveru GitHub, můžete obsah souboru upravit. Otevřete soubor v editoru. Můžete použít jednoduchý editor (stiskněte e na GitHubu). Lepší je však pokročilý editor VS Code (stikněte . na GitHubu), protože poskytuje náhled, jak se kód Markdown interpretuje. Případně stiskněte tužku pro jednoduchý editor nebo stiskněte trojúhelníček vedle tužky, abyste získali přístup k editoru VS Code popsaný jako github.dev.
3. Opravte klíčová slova v preambuli.
4. V závislosti na tom, kterou jazykovou verzi chcete použít jako zdrojový kód pro svůj překladu, odstraňte níže uvedenou anglickou nebo českou verzi.
5. Přeložte do svého jazyka. Ponechte značení Markdown a matematický zápis. Pokud použijete nástroj typu DeepL pro získání první verze překladu, ujistěte se, že zápis matematických výrazů byl zachován.
6. Ve VS Code můžete náhled otevřít v jiném okně stisknutím Ctrl+V. a K. Během práce nechte náhled otevřený nebo jej zavřete pomocí myši.
7. Místo uložení musíte změny zaregistrovat a odeslat do úložiště. Vyplňte zprávu v poli Zpráva (popište své změny, např. “Zahájen překlad do polštiny”) a poté stiskněte tlačítko Commit&Push.
8. Ujistěte se, že se vaše změny objeví v historii revizí. Ve výjimečných případech (pokud pracujete současně s někým jiným) musíte stáhnout /Pull/ a sloučit jeho a vaše změny. Obvykle by synchronizace (Pull & Push) měla fungovat.
9. Po dokončení překladu změňte is_finished: False v záhlaví na is_finished: True.

Czech source

Který los je výhodný?

Velmi často se v životě ocitáme v situacích, kde hrají roli náhoda a pravděpodobnost. Představte si, že stojíte před volbou mezi několika možnostmi, třeba při výběru losu nebo investici do projektu. Každá volba má svá rizika a potenciální odměny, otázkou ale je jak zjistit, která z nich je nejvýhodnější? Právě zde vstupuje do hry tzv. očekávaná hodnota.

Očekávaná hodnota nám říká, jaký výsledek můžeme v průměru očekávat, když se rozhodneme pro danou možnost. Pomáhá nám lépe odhadnout, co se v dlouhodobém horizontu vyplatí. Nejde o přesnou předpověď, ale o nástroj, který nám umožňuje lépe porozumět riziku a odměnám, a to jak v jednoduchých hrách, tak v reálných životních rozhodnutích.

Uvažme například dva losy:

• Los A: Stojí 10 Kč a s pravděpodobností $0,1$ vyhrajeme 100 Kč, jinak nevyhrajeme nic.
• Los B: Stojí 10 Kč a s pravděpodobností $0,2$ vyhrajeme 60 Kč, jinak nevyhrajeme nic.

U losu A očekáváme, že když koupíme 10 losů, tak jeden z nich vyhraje 100 Kč a devět nic. Můžeme tedy očekávat, že každý los nám v průměru přinese 10 Kč.

Podobně, u losu B očekáváme, že když koupíme 10 losů, tak dva z nich vyhrají 60 Kč a osm nic. Můžeme tedy očekávat, že každý los nám v průměru přinese 12 Kč.

Vidíme tedy, že los B je výhodnější.

Očekávaná hodnota

Právě vypočtená průměrná výhra se označuje jako očekávaná hodnota (nebo také střední hodnota).

Obecně můžeme říci, že pro náhodnou veličinu $X$, která nabývá konečně mnoha hodnot $x_1,\dots ,x_k$ s pravděpodobnostmi $p_1,\dots ,p_k$ vypočteme její očekávanou hodnotu $$EV=\sum _{i=1}^k{x}_i{p}_i.$$

Který los je nejlepší?

Podívejme se na tři losy. Černou perlu v hodnotě 50 Kč, Černou perlu v hodnotě 100 Kč a los Rentiér v hodnotě 50 Kč.

Struktura výher pro los Černá perla v hodnotě 50 Kč, kterých je celkem vydáno $13000000$ kusů, vypadá následovně.

Podobně vypadá i struktura výher pro los Černá perla v hodnotě 100 Kč, kterých je vydáno celkem $15000000$ kusů.

Do třetice se podíváme na los Rentiér, kterých je vydáno $8000000$ kusů a výhry jsou dány tabulkou níže.

Přičemž hlavní výhra $3500000\text{Kč}$ není vyplacena najednou, ale skládá se z okamžité výhry $500000\text{Kč}$ a renty $50000\text{Kč}$ po dobu 5 let.

Řešení. V případě losu Černá perla za 50 Kč je z celkového počtu $13000000$ kusů výherních $3492619$ losů (viz poslední řádek tabulky). Pravděpodobnost, že náhodně vybraný los je výherní můžeme vypočítat jako $$P(V_1)=\frac{3492619}{13000000}=\mathrm{0,268}633.$$ Můžeme tedy říci, že při koupi jednoho losu máme šanci na výhru zhruba $26,86\mathrm{\%}$. Úpravou zlomku můžeme též zjistit, že šance na získání výherního losu je $1:3,72$.

Podobně v případě losu Černá perla v hodnotě 100 Kč dostaneme $$P(V_2)=\frac{4224318}{15000000}=\mathrm{0,281}6212.$$ Tj. šance na výhru je $28,16\mathrm{\%}$ nebo též $1:3,55$.

V případě losu Rentiér pak máme $$P(V_3)=\frac{2072049}{8000000}=\mathrm{0,259},$$ tedy šance na výhru je $25,9\mathrm{\%}$ neboli $1:3,86$.

Porovnání jednotlivých pravděpodobností výhry vidíme, že největší šanci na vítězný los máme při koupi losu Černá perla v hodnotě 100 Kč.

V této souvislosti můžeme ještě uvážit, čemu říkáme výherní los. Za výherní los je většinou považován takový los, díky kterému získáme libovolný finanční obnos. Pokud jsme ale za za los zaplatili 100 Kč, tak výhra 100 Kč nám jej zaplatí zpět, ale nic jsme vlastně nevyhráli. Abychom tedy získali pravděpodobnost, že skutečně vyhrajeme, tak nebudeme v našich tabulkách výher uvažovat první řádek. Dostaneme tak upravené pravděpodobnosti výher $$\begin{array}{rl}P(V_1)& =\frac{1672619}{13000000}=\mathrm{0,128}633\\ P(V_2)& =\frac{1824318}{15000000}=\mathrm{0,121}6212\\ P(V_3)& =\frac{1112049}{8000000}=\mathrm{0,139}.\end{array}$$ Vidíme, že pokud uvážíme losy, které opravdu vyhrají částku větší než jejich cena, tak nejlepším je najednou los Rentiér, kde je šance na výhru $13,9\mathrm{\%}$.

Řešení. Pro výpočet očekávané hodnoty podle definice potřebujeme znát pravděpodobnosti jednotlivých výher:

Označíme-li hodnoty jednotlivých výher $n_1$ až $n_{13}$ a jejich odpovídající pravděpodobnosti $p_1$ až $p_{13}$, dostaneme očekávánou hodnotu $EV(L_1)$ losu Černá perla $$EV(L_1)=\sum _{k=1}^{13}{n}_k{p}_k=29\text{Kč}.$$

Vzhledem k tomu, jak se jednotlivé pravděpodobnosti počítají, můžeme očekávanou hodnotu spočítat též takto $$EV(L_1)=\frac{1}{13000000}(50\cdot 1820000+100\cdot 1040000+\cdots +100000\cdot 14+1500000\cdot 6).$$

Tento přístup je výhodnější, jelikož nemusíme u tabulky výher počítat pravděpodobnost každé možné výhry. Pro los Černá perla v hodnotě 100 Kč pak dostaneme očekávanou hodnotu $EV(L_2)$: $$EV(L_2)=\frac{1}{15000000}(100\cdot 2400000+200\cdot 900000+\cdots +200000\cdot 13+5000000\cdot 6)=64\text{Kč}.$$ A pro los Rentiér dostáváme očekávánou hodnotu $EV(L_3)$: $$EV(L_3)=\frac{1}{8000000}(50\cdot 960000+100\cdot 720000+\cdots +100000\cdot 6+3500000\cdot 3)=29,25\text{Kč}.$$

Poznámka.

• Obvykle je u loterií uvedena celková částka na výhry a počet losů, očekávána hodnota je pak samozřejmě podíl těchto dvou čísel.
• Uvedené hodnoty jsou ve skutečnosti mnohdy ještě nižší, jelikož se z výher často platí daň.
• Stejný přístup se dá použít i pro výpočet očekávané hodnoty balení různých karetních sběratelských her (Pokémon, Lorcana, Magic the Gathering nebo sportovní kartičky).

Řešení. Jednoduchá odpověď je, že není.

Je nutné si uvědomit, že pokud bychom peníze dostali ihned, tak bychom je mohli uložit nebo nějak investovat. Pro zjištění jaká je hodnota 50 000 Kč, které dostaneme za měsíc se dá využít konceptu, kterému se říká současná hodnota (present value). Při jejím použití si klademe otázku, kolik peněz bychom museli dnes investovat, abychom za měsíc dostali požadovanou částku (např. uvažovaných 50 000 Kč). A tato hodnota je pak ta tzv. současná hodnota.

Dejme tomu, že bychom danou částku $P_0$ mohli uložit na měsíc s měsíční úrokovou mírou $0,5\mathrm{\%}$. Za měsíc bychom pak dostali částku $P_1=\mathrm{1,005}{P}_0$. Současná hodnota je pak právě částka $P_0$, kterou musíme uložit tak, aby $P_1$ bylo $50000\text{Kč}$, tj. $$P_0=\frac{50000}{\mathrm{1,005}}=49751,24\text{Kč}.$$

Pokud bychom chtěli určit současnou hodnotu částky, kterou obdržíme za $n$ měsíců, uvažujeme, že danou částku necháme uloženou po celou dobu. Využijeme pak složeného úročení a dostaneme současnou hodnotu $P_0$ částky $P_n$, kterou obdržíme za $n$ měsíců jako $$P_0=\frac{P_n}{{\mathrm{1,005}}^n}.$$ Připomeňme, že hlavní výhra losu Rentiér se skládá z částky $500000\text{Kč}$ a třiceti měsíčních plateb o velikosti $50000\text{Kč}$. Uvážíme-li měsíční úrokovou míru ve výši $0,5\mathrm{\%}$, je současná hodnota $PV$ těchto splátek $$PV=\frac{50000}{\mathrm{1,005}}+\frac{50000}{{\mathrm{1,005}}^2}+\cdots +\frac{50000}{{\mathrm{1,005}}^{29}}+\frac{50000}{{\mathrm{1,005}}^{30}}.$$ Můžeme si všimnout, že se jedná o součet členů geometrické posloupnosti a výpočet si tak značně zkrátit $$PV=\frac{50000}{\mathrm{1,005}}\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{\mathrm{1,005}}\right)}^{30}}{1-\frac{1}{\mathrm{1,005}}}=1389702,7\text{Kč}.$$ Můžeme tedy uvažovat, že hodnota hlavní výhry je pouze $1889702,7\text{Kč}$.

Použijeme-li tuto částku pro výpočet očekávané hodnoty losu Rentiér, dostaneme $$EV(L_3)=28,65\text{Kč}.$$

Poznámka. Předchozí úvahy byly ještě značně zjednodušené, jelikož nezahrnovaly například vliv inflace.

Řešení. Na základě předchozích úloh můžeme losy porovnat dle různých kritérií:

1. Podle pravděpodobnosti výhry.

Podle tohoto kritéria je nejlepší los Černá perla v hodnotě 100 Kč, který má šanci na výhru $28,16\mathrm{\%}$, pak Černá perla v hodnotě 50 Kč s šancí $26,86\mathrm{\%}$ a nejhorší je los Rentiér s šancí $25,9\mathrm{\%}$.

2. Podle pravděpodobnosti skutečné výhry.

Uvážíme-li spíše šanci, že vyhrajeme více než jsme zaplatili, dostaneme následujícíjiné pořadí. Nejlepší je los Rentiér s šancí na výhru $13,9\mathrm{\%}$, pak los Černá perla v hodnotě 50 Kč s šancí $12,86\mathrm{\%}$ a poslední je Černá perla v hodnotě 100 Kč s šancí na výhru $12,16\mathrm{\%}$.

3. Podle očekávané hodnoty.

Očekávaná hodnota losu Černá perla v hodnotě 50 Kč je 29 Kč. Na jednom losu tedy průměrně ztratíme 21 Kč. Podobně očekáváná hodnota losu Černá perla v hodnotě 100 Kč je 64 Kč, průměrně tedy ztratíme 36 Kč. A v případě losu Rentiér za 50 Kč je upravená očekávaná hodnota 28,65 Kč a tedy průměrně ztratíme 21,35 Kč.

Můžeme tedy říci, že (očekávatelně) jsou všechny losy ztrátové. Za nejlepší ale můžeme považovat los Černá perla v hodnotě 50 Kč, který je ztrátový nejméně.

Literatura

• Novák, J., Střední hodnota v úlohách na střední škole. Učitel matematiky, 2, JČMF, 2024.
• Herní plán loterií SAZKA [online] Dostupné z https://static.sazka.cz/kentico-media/sazka/media/content/herni-plany/hp-sazka-od-17-7-24-komplet-sazka.pdf, [cit. 1. 9. 2024]

English source

Which Lottery Ticket Is More Profitable?

In life we very often encounter situations that involve chance and probability. Imagine being faced with a choice between several options—for example, when choosing a lottery ticket or investing in a project. Each choice has its risks and potential rewards, but how can we determine which one is the most advantageous? This is where the so-called expected value comes into play.

Expected value tells us the average outcome we can anticipate when choosing a particular option. It helps us better estimate which option is likely to pay off in the long run. It is not an exact prediction, but a tool that allows us to better understand risk and reward, both in simple games and in real life decisions.

Let’s consider two lottery tickets, for example:

• Ticket A: It costs 10 CZK and has a $0.1$ probability of winning 100 CZK; otherwise, it wins nothing.
• Ticket B: It costs 10 CZK and has a $0.2$ probability of winning 60 CZK; otherwise, it wins nothing.

For ticket A, we expect that if we buy 10 tickets, one of them will win 100 CZK while the reaming nine will win nothing. Therefore, we can expect that each lottery ticket will yield an average return of 10 CZK.

Similarly, for lottery ticket B, we expect that if we buy 10 tickets, two of them will win 60 CZK and eight will win nothing. We can therefore expect each lottery ticket to yield an average return of 12 CZK.

This shows that ticket B is the better option.

Expected Value

The average win we just calculated is called the expected value.

In general, we can say that for a random variable $X$ that takes on finitely many values $x_1,\dots ,x_k$ with probabilities $p_1,\dots ,p_k$, we calculate its expected value using this formula:

$$EV=\sum _{i=1}^k{x}_i{p}_i.$$

Which Lottery Ticket Is the Best?

Let’s take a look at three lottery tickets. The 50 CZK Black Pearl ticket, the 100 CZK Black Pearl ticket and the Rental King lottery ticket worth 50 CZK.

The prize structure for the 50 CZK Black Pearl lottery tickets, of which there are 13,000,000 in total, is as follows.

The prize structure for the 100 CZK Black Pearl lottery ticket looks similar, with a total of $\mathrm{15,000,000}$ issued tickets.

Last but not least, let’s take a look at the Rental King lottery ticket, with a total of $\mathrm{8,000,000}$ tickets issued. The prizes are shown in the table below.

The top prize of $\mathrm{3,500,000}\text{CZK}$ is not paid at once, but consists of an immediate prize of $\mathrm{500,000}\text{CZK}$ and an annuity of $\mathrm{50,000}\text{CZK}$ for 5 years.

Solution. In the case of the 50 CZK Black Pearl ticket, there are $\mathrm{3,492,619}$ winning tickets out of the total number of $\mathrm{13,000,000}$ (see the last row of the table). The probability that a randomly selected ticket is a winning one can be calculated as

$$P(V_1)=\frac{\mathrm{3,492,619}}{\mathrm{13,000,000}}=0.268633.$$

We can say that if we buy one lottery ticket, we have a chance of winning about $26.86\mathrm{\%}$. By manipulating the fraction, we can also see that the chance of getting a winning lottery ticket is $1:3.72$.

Similarly, in the case of the 100 CZK Black Pearl lottery ticket we get $$P(V_2)=\frac{\mathrm{4,224,318}}{\mathrm{15,000,000}}=0.2816212.$$ That means that the chance of winning is $28.16\mathrm{\%}$ or $1:3.55$.

In the case of the Rental King ticket, we get $$P(V_3)=\frac{\mathrm{2,072,049}}{\mathrm{8,000,000}}=0.259,$$ so the chance of winning is $25.9\mathrm{\%}$ or $1:3.86$.

Comparing the individual probabilities of winning, we find that the highest chance of winning comes with the 100 CZK Black Pearl ticket.

In this context, we can also consider what we mean by a winning ticket. A ticket is usually considered winning if it yields any amount of money. But when we paid 100 CZK for the ticket, then a win of 100 CZK will pay us back, but we haven’t actually won anything. In order to get the probability of actually winning more than we paid, we won’t consider the first row in our winning tables. This way we get adjusted winning probabilities $$\begin{array}{rl}P(V_1)& =\frac{\mathrm{1,672,619}}{\mathrm{13,000,000}}=0.128633,\\ P(V_2)& =\frac{\mathrm{1,824,318}}{\mathrm{15,000,000}}=0.1216212,\\ P(V_3)& =\frac{\mathrm{1,112,049}}{\mathrm{8,000,000}}=0.139.\end{array}$$ We can see that when we only consider the lottery tickets that return more than their purchase cost, the best option is the Rental King lottery ticket that has a $13.9\mathrm{\%}$ chance of such win.

Solution. To calculate the expected value, by definition, we need to know the probabilities of individual wins:

Let the values of individual winnings be denoted by $n_1$ to $n_{13}$ and their corresponding probabilities $p_1$ to $p_{13}$. Then, the expected value $EV(L_1)$ of the Black Pearl ticket is

$$EV(L_1)=\sum _{k=1}^{13}{n}_k{p}_k=29\text{CZK}.$$

Given how the individual probabilities are calculated, we can also calculate the expected value as follows: $$EV(L_1)=\frac{1}{\mathrm{13,000,000}}(50\cdot \mathrm{1,820,000}+100\cdot \mathrm{1,040,000}+\cdots +\mathrm{100,000}\cdot 14+\mathrm{1,500,000}\cdot 6).$$

This approach is more convinient because we don’t have to calculate the probability of each possible prize in the table. For the 100 CZK Black Pearl ticket, we get the expected value $EV(L_2)$: $$EV(L_2)=\frac{1}{\mathrm{15,000,000}}(100\cdot \mathrm{2,400,000}+200\cdot \mathrm{900,000}+\cdots +\mathrm{200,000}\cdot 13+\mathrm{5,000,000}\cdot 6)=64\text{CZK}.$$ And for the Rental King lottery ticket we get the expected value $EV(L_3)$: $$EV(L_3)=\frac{1}{\mathrm{8,000,000}}(50\cdot \mathrm{960,000}+100\cdot \mathrm{720,000}+\cdots +\mathrm{100,000}\cdot 6+\mathrm{3,500,000}\cdot 3)=29.25\text{CZK}.$$

Note.

• Lotteries usually state the total prize pool and the number of tickets. The expected value is, of course, the ratio of these two numbers.
• The stated values ​​are often even lower in reality, since lottery prizes are usually taxed.
• The same approach can be used to calculate the expected value of a pack of various trading card games (Pokémon, Lorcana, Magic the Gathering or sports cards).

Solution. The simple answer is that it is not.

It is important to remember that if we got the money immediately, we could save it or invest it somehow. To determine the value of $\mathrm{50,000}\text{CZK}$ recieved one month from now, we can use a concept known as present value. When using this concept, we ask ourselves how much money we would have to invest today to get the amount we want in one month (e.g. considered $\mathrm{50,000}\text{CZK}$). This amount is what we call the present value.

Let’s suppose we could save the given amount $P_0$ for a month with a monthly interest rate of $0.5\mathrm{\%}$. We would then get $P_1=\mathrm{1,005}{P}_0$ after one month. The present value is then the amount $P_0$ that we must deposit so that $P_1$ is $\mathrm{50,000}\text{CZK}$, i.e.  $$P_0=\frac{\mathrm{50,000}}{1.005}=\mathrm{49,751}.24\text{CZK}.$$

To determine the present value of an amount to be received in $n$ months, we assume that we will keep the given amount deposited for the entire time. Using compound interest, we obtain the present value $P_0$ of the amount $P_n$ recieved after $n$ months as follows: $$P_0=\frac{P_n}{1.{005}^n}.$$ Let us recall that the top prize of the Rental King lottery consists of $\mathrm{500,000}\text{CZK}$ and thirty monthly payments of $\mathrm{50,000}\text{CZK}$. Considering a monthly interest rate of $0.5\mathrm{\%}$, the present value $PV$ of these payments is $$PV=\frac{\mathrm{50,000}}{1.005}+\frac{\mathrm{50,000}}{1.{005}^2}+\cdots +\frac{\mathrm{50,000}}{1.{005}^{29}}+\frac{\mathrm{50,000}}{1.{005}^{30}}.$$ Notice that this is the sum of the terms of a geometric sequence and thus the calculation can be significantly shortened. $$PV=\frac{\mathrm{50,000}}{1.005}\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{1.005}\right)}^{30}}{1-\frac{1}{1.005}}=\mathrm{1,389,702}.7\text{CZK}.$$ Therefore, we assume that the value of the top prize is only $\mathrm{1,889,702}.7\text{CZK}$.

When we use this amount to calculate the expected value of the Rental King lottery ticket, we get $$EV(L_3)=28.65\text{CZK}.$$

Note. Previous considerations were still very simplistic, as they did not include, for example, the effect of inflation.

Solution. Based on the previous tasks, we can compare the lottery tickets according to various criteria:

1. By probability of winning.

According to this criterion, the best ticket is the 100 CZK Black Pearl with a $28.16\mathrm{\%}$ chance of winning, followed by the 50 CZK Black Pearl ticket with $26.86\mathrm{\%}$ a chance of winning and the worst is the Rental King ticket with a chance of winning at $25.9\mathrm{\%}$.

2. By probability of actual winning.

When we instead consider the chance of winning more than we paid, we get a different ranking. The best is the Rental King ticket with a $13.9\mathrm{\%}$ chance of winning, then the 50 CZK Black Pearl ticket with a $12.86\mathrm{\%}$ chance of winning and the last is the 100 CZK Black Pearl ticket with a $12.16\mathrm{\%}$ chance of winning.

3. By expected value.

The expected value of the 50 CZK Black Pearl ticket is $29\text{CZK}$. On average, we lose $21,buyingoneticket.Similarly,theexpectedvalueofthe100CZKBlackPearlticketis$64,. On average we lose $36,.Andinthecaseofthe50CZKRentalKingticket,theadjustedexpectedvalueis$28{.}65,, so on average we lose $21{.}35,.

We can therefore say that, as expected, all of the tickets result in a loss. However, the 50 CZK Black Pearl ticket can be considered the best, since it yields the smallest loss.

Literature

• Novák, J., Střední hodnota v úlohách na střední škole. Učitel matematiky, 2, JČMF, 2024.
• Herní plán loterií SAZKA [online] Dostupné z https://static.sazka.cz/kentico-media/sazka/media/content/herni-plany/hp-sazka-od-17-7-24-komplet-sazka.pdf, [cit. 1. 9. 2024]