https://um.mendelu.cz/... in URL, click View on GitHub to open this file on github.com.e on GitHub). However, an advanced VS Code editor (press . on GitHub) is better, since it provides preview how the Markdown code renders. Alternatively press pencil for simple editor or press triangle next to the pencil to get access to VS Code described as github.dev.Ctrl+V and K. Keep the preview open as you work, or close using a mouse.Source control (describe your changes, such as “Polish translation started”) and then press Commit&Push.is_finished: False in header to is_finished: True.https://um.mendelu.cz/..., otevřete jej na serveru github.com.e na GitHubu). Lepší je však pokročilý editor VS Code (stikněte . na GitHubu), protože poskytuje náhled, jak se kód Markdown interpretuje. Případně stiskněte tužku pro jednoduchý editor nebo stiskněte trojúhelníček vedle tužky, abyste získali přístup k editoru VS Code popsaný jako github.dev.Ctrl+V. a K. Během práce nechte náhled otevřený nebo jej zavřete pomocí myši.Zpráva (popište své změny, např. “Zahájen překlad do polštiny”) a poté stiskněte tlačítko Commit&Push.is_finished: False v záhlaví na is_finished: True.Podíváme se na možné praktické využití goniometrických funkcí a vztahů mezi délkami stran pravoúhlého trojúhelníka.
Budeme se zabývat problematikou lepených spojů. Ukážeme si metody, jak rozložit silové namáhání spoje na více složek a na větší plochu a jak určit napětí, které vzniká při namáhání takového spoje. Vypočteme, jak se změní napětí ve spoji při osovém namáhání tyče nebo nosníku, který není slepen čely, ale spoj je veden šikmo, jak je vidět na obrázku.
Ze života každý zná spojování materiálů lepením. Pokud na pevnosti výsledného spoje nezáleží, je lepení jedním z nejjednodušších způsobů spojování materiálů. V praxi ovšem často potřebujeme, aby spoj byl trvanlivý a pevný. Tedy aby unesl velké silové zatížení.
Lepidla garantují zpravidla odolnost vůči normálovému namáhání tahem a vůči namáhání smykem, které nepřekročí hodnoty dané výrobcem lepidla. Mechanické napětí vznikající při namáhání spoje silnou je podílem působící síly a plochy, na kterou síla působí. V případě normálového napětí je uvažována síla kolmá na plochu, v případě namáhání smykem je síla rovnoběžná s plochou. Možné deformace namáhaného spoje
jsou na obrázku vlevo, přičemž “Tensile” ilustruje normálové namáhání tahem a “Shear” smykové namáhání.
Odolnost spoje souvisí s použitým lepidlem a s lepenými materiály. Údaje lze nalézt u výrobců a mohou vypadat například takto:
Protože napětí ve spoji se určuje jako podíl síly a plochy, pro jeho snížení se snažíme rozložit silové působení do více směrů a na větší plochu. Ukázkou jsou spoje na předchozím obrázku vpravo. U spoje B jsou čelní plochy namáhané normálovým napětím doplněny plochami namáhanými čistě smykovým napětím.
Pro nás bude zajímavější spojení šikmým spojem, protože při něm je spoj vystaven současně normálovému i smykovému namáhání. Poznamenejme, že v praxi šikmý spoj často vidíme realizovaný jinak, než je na úvodním obrázku. Důvod je ten, že je výhodnější mít spoj více skloněný, ale příliš šikmý spoj by zabíral velký prostor. V praxi je proto takový spoj realizován s přerušeními, s otočením každé druhé části a se zarovnáním jednotlivých částí nad sebe.
Úloha 1. Uvažujme hranol o šířce \(b=4\,\mathrm{cm}\) a výšce \(h=3\,\mathrm{cm}\), který je slepen ze dvou kusů šikmým spojem podle obrázku. Spoj svírá s čelem hranolu úhel o velikosti \(\alpha=30^\circ\). Hranol je namáhán v ose silou \(F=1\,000\,\mathrm{N}\). Vypočtěte namáhání spoje a porovnejte s namáháním v řezu kolmém na osu.
Řešení. V rovině kolmé na osu má řez tvar obdélníka se stranami \(b\) a \(h\). Síla \(F\) vyvolá v této rovině tahové napětí \[ \sigma = \frac{F}{bh} = \frac{1000\,\mathrm{N}}{3\times 4 \,\mathrm {cm}^2} = 833\,333\ \mathrm{Pa} = 0{,}833\, \mathrm{MPa}. \]
Normálové napětí \(\sigma_N\) ve spoji vypočteme vztahem \[\sigma_N = \frac{F_N}{S},\] kde \(F_N\) je velikost normálové síly a \(S\) je obsah plochy spoje. Smykové napětí \(\sigma_G\) vypočteme podobně jako normálové vztahem \[\sigma_G = \frac{F_G}{S},\] kde \(F_G\) je velikost smykové síly.
V pravoúhlém trojúhelníku s přeponou \(F\) a odvěsnami \(F_N\) a \(F_G\) (viz. Obrázek 5) můžeme určit vnitřní úhly díky vlastnostem doplňkového a souhlasných úhlů. Z tohoto trojúhelníka, pak získáme velikosti sil \(F_N\) a \(F_G\):
\[ \begin{aligned} F_N&=F\cos \alpha\\ F_G&=F\sin \alpha \end{aligned} \]
Spoj bude mít tvar obdélníka. Jedna jeho strana bude rovna šířce hranolu \(b\). Délku \(c\) druhé strany určíme jako délku přepony pravoúhlého trojúhelníka, ve kterém známe délku odvěsny \(h\) a velikost úhlu \(\alpha\) mezi odvěsnou a touto stranou.
Tedy \[ c=\frac{h}{\cos \alpha} \] a \[S=bc=\frac{hb}{\cos\alpha}.\]
S využitím odvozených vztahů dostáváme pro normálové napětí hodnotu \[ \sigma_N = \frac{F_N}{S} = \frac {F\cos\alpha}{\frac{hb}{\cos \alpha}} = \frac{F}{hb}\cos^2\alpha = \sigma \cos^2\alpha \] a pro smykové napětí hodnotu \[ \sigma_G = \frac{F_G}{S} = \frac {F\sin\alpha}{\frac{hb}{\cos \alpha}} = \frac{F}{hb}\sin\alpha\cos\alpha = \sigma \sin\alpha\cos\alpha. \]
Hodnoty faktorů \(\cos^2\alpha\) a \(\sin\alpha \cos \alpha\) udávají, kolikrát se změní normálové nebo smykové napětí ve spoji v porovnání s napětím v kolmém řezu. Protože jsou pro nenulový úhel oba faktory menší než jedna, budou obě hodnoty \(\sigma_N\) i \(\sigma_G\) menší než \(\sigma\). Průběh funkcí \(\sin x\cos x\) a \(\cos^2x\) pro \(x\) ve stupních je na obrázku níže. Pro úhel \(\alpha=30^\circ\) a zadané parametry hranolu a silového působení dostáváme \[ \sigma_N=0{,}625\,\mathrm{MPa} \] a \[ \sigma_G=0{,}361\,\mathrm{MPa}. \]
Úloha 2. Určete, pro jaký úhel bude smykové napětí ve spoji podle Úlohy 1 maximální. Určete i odpovídající normálové napětí.
Řešení.
V Úloze 1 byl odvozen vzorec pro smykové napětí ve tvaru
\[ \sigma_G=\sigma\sin\alpha\cos\alpha. \]
Užitím vzorce pro dvojnásobný úhel dostáváme
\[ \sigma_G=\frac 12\sigma\sin(2\alpha). \]
Funkce \(\sin 2\alpha\) má maximum pro úhel \(\alpha = 45^\circ\), viz i Obrázek 6 v řešení Úlohy 1. Odsud vidíme, že maximální hodnota smykového napětí je pro úhel \(\alpha=45^\circ\) a v tomto případě bude platit \(\sigma_G=\frac 12\sigma\).
Pro normálové napětí jsme odvodili vzorec
\[\sigma_N=\sigma \cos^2\alpha\]
a pro \(\alpha=45^\circ\) dostáváme \(\sigma_N=\frac 12\sigma.\) Při maximálním smykovém napětí tedy budou obě napětí (smykové i normálové) stejné a rovny polovině hodnoty \(\sigma\). Tato situace nastane pro spoj pod úhlem \(45^\circ\).
Úloha 3. Lepidlo garantuje že spoj odolá namáhání, při kterém vzniká normálové napětí \(10\,\mathrm{MPa}\) a smykovém napětí \(8\,\mathrm{MPa}\). Jaká maximální síla může zatížit spoj z Úlohy 1? Jak by se odpověď na tuto otázku změnila pro spoj pod úhlem \(45^\circ\)?
Řešení. V Úloze 1 byly odvozeny vztahy mezi oběma napětími a působící silou \[ \sigma _N=\frac{F}{bh}\cos^2 \alpha \] a \[ \sigma _G=\frac{F}{bh}\sin \alpha \cos \alpha. \] Odsud vyjádříme sílu jako funkci jednotlivých napětí. Protože se bude jednat o kritickou hodnotu síly, při které spoj selhává, označíme ji \(F_{\max,N}\) pro sílu, kdy je kritické hodnoty dosaženo pro normálové napětí a \(F_{\max,G}\) pro sílu, kdy je dosaženo kritické hodnoty pro smykové napětí. Dostáváme \[ F_{\max, N}=\frac{bh\sigma_N}{\cos^2\alpha} \]
a
\[ F_{\max, G}=\frac{bh\sigma_G}{\sin\alpha\cos\alpha}. \]
Pro rozměry z Úlohy 1 a pro zadané \(\sigma_N=10\,\mathrm{MPa}\) a \(\sigma_G=8\,\mathrm{MPa}\) vypočteme
\[ F_{\max, N}=\frac{3\times 4 \,\mathrm{cm}^2 \times 10\,\mathrm{MPa}}{\cos^2 30^\circ}=16\,000\,\mathrm{N} \]
a
\[ F_{\max, G}=\frac{3\times 4 \,\mathrm{cm}^2 \times 8\,\mathrm{MPa}}{\sin 30^\circ\cos 30^\circ}=22\,170\,\mathrm{N}. \]
Ani jedna z těchto hodnot nesmí být překročena. Maximální síla, která může zatížit tento spoj, je tedy \(16\,000\,\mathrm{N}\).
Pro úhel \(\alpha = 45^\circ\) dostáváme podobně hodnoty
\[F_{\max, N}=\frac{3\times 4 \,\mathrm{cm}^2 \times 10\,\mathrm{MPa}}{\cos^2 45^\circ}=24\,000\,\mathrm{N}\]
a
\[F_{\max, G}=\frac{3\times 4 \,\mathrm{cm}^2 \times 8\,\mathrm{MPa}}{\sin 45^\circ\cos 45^\circ}=19\,200\,\mathrm{N}.\]
I v tomto případě nesmí být překročena ani jedna z uvedených hodnot. Odsud vidíme, že spoj pod úhlem \(45^\circ\) může být zatížen silou maximálně \(19\,200\,\mathrm{N}.\)
Studovali jsme síly, které se snaží porušit spoj normálovým namáháním kolmo na spoj a smykovým namáháním. Kromě toho silové působení může ještě v rovině spoje natahovat spoj jako celek. V uvedené analýze nás tato komponenta nezajímala. Je však možné ji obdržet ze vzorce pro normálové napětí \(\sigma_N\) otočením o úhel 90 stupňů.
Rozklad namáhání do předem zvolených směrů se používá i v jiných situacích inženýrské praxe, než je lepení. Například pokud je uvnitř namáhaného materiálu trhlina, znalost silového působení umožní zhodnotit rizika dalšího šíření tohoto defektu. Je potom přirozené mechanické namáhání transformovat do směru defektu podobně, jako jsme transformovali do směru spoje.
Mechanické namáhání je vhodné transformovat do zkoumaných směrů i při studiu deformace kompozitních materiálů. Může se jednat o umělé kompozity nebo i o kompozity přírodní. Umělé kompozity jsou například materiály vyztužené vlákny. Mezi přírodní kompozity patří i nejrozšířenější konstrukční materiál, dřevo. Tyto kompozity mají díky své struktuře v různých směrech různé vlastnosti a při studiu mechanického působení na takové materiály je jednodušší studovat odděleně namáhání ve směrech, které souvisejí se strukturou tohoto kompozitu. Například namáhání ve směru ztužujících vláken u umělých kompozitů nebo namáhání v podélném směru (po letech) u dřeva. Obecně se jedná o namáhání v osách nebo rovinách symetrie materiálu. V těchto směrech je známa reakce materiálu na namáhání. Reakci na namáhání v jiných směrech můžeme určit tak, že namáhání rozložíme do jednotlivých směrů, určíme odpovídající deformace a informace opět složíme abychom získali celkovou reakci materiálu. Inženýři tuto problematiku znají jako tzv. transformaci tenzorů a mají celou řadu technik, jak rychle a efektivně úlohy zadaného typu řešit.
In this article, we demonstrate practical uses of trigonometric functions and the relationships between the lengths of the sides in a right triangle.
We focus on the topic of glued joints – connections made using adhesive materials. We show how to break down the force acting in a joint into components, distribute it across a larger area, and determine the resulting stress in the joint. We will calculate how stress changes in a slanted joint of a bar, if the bar is loaded by an axial force, compared to a perpendicular joint, as ilustrated in the figure.
Everyone is familiar with joining materials by gluing. When the strength of the resulting connection is not critical, gluing is one of the simplest ways to join materials. In practice, however, we often need the joint to be both durable and strong. This means the joint should not fail when subjected to significant loading by forces. In engineering, glued joints are also referred to as bonded joints.
Adhesives (glues) typically guarantee resistance to normal stress (tensile forces) and shear stress (sliding forces), as long as stresses do not exceed the values specified by the adhesive’s manufacturer.
Stress refers to mechanical pressure, defined as the ratio of the applied force to the area over which the force acts. In the case of normal stress, the force acts perpendicular to the surface. In the case of shear stress, the force acts parallel to the joint surface. The deformations caused by these forces are shown on the left: “Tensile” illustrates normal stress from perpendicular force, while “Shear” illustrates shear stress from parallel force.
The strength of a joint depends on the adhesive used and the materials being joined. Manufacturer data may look as follows:
Since stress in a joint is calculated as the ratio of the force to the area, one effective way to reduce stresses is to decompose the force into multiple directions and spread it over a larger area. On the right side of the previous picture, examples are shown. In joint B, the front faces are subjected to normal stress, while additional faces are loaded by pure shear stress.
We will pay special attention to slanted joints, where the connection is subjected to both normal and shear stresses simultaneously. In practice, slanted joints are often implemented differently than in Figure 1. A greater slant increases the joint strength but also takes up more space. That’s why slanted joints are usually built with interruptions, rotated layers, and stacked alignment of glued segments.
Task 1. Consider a bar with height \(h=3\mathrm{cm}\) and width \(b=4\mathrm{cm}\), glued together from two pieces along a slanted joint as shown in the figure. The angle between the joint plane and the plane of a cross-section perpendicular to the axis of the bar is \(\alpha=30^\circ\). The bar is subjected to an axial force \(F=1\ 000\ \mathrm{N}\). Calculate the normal and shear stresses in the slanted joint and compare them with the normal stress in the cross-section perpendicular to the axis.
Solution. In a plane perpendicular to the axis, the cross-section is a rectangle with sides \(b\) and \(h\). The axial force \(F\) causes only normal stress in this section:
\[\sigma = \frac{F}{bh} = \frac{1\ 000\ \mathrm{N}}{(3\times 4) \ \mathrm {cm}^2} = 833\ 333\ \mathrm{Pa} = 0.833\ \mathrm{MPa}.\]
The normal stress in the slanted joint, \(\sigma_N\), is given by:
\[\sigma_N = \frac{F_N}{A},\]
where \(F_N\) is the component of the force normal to the joint and \(A\) is the area of the joint. Similarly, the shear stress in the slanted joint, \(\sigma_G\), is given by:
\[\sigma_G = \frac{F_G}{A},\]
where \(F_G\) is the component of the force parallel to the joint.
The axial force \(F\) is decomposed into components of normal force, \(F_N\), and shear force, \(F_G\). These components form sides of the right triangle with hypotenuse \(F\) and with the given angle \(\alpha\) between one of the sides and hypotenuse (see the picture). From relationships between parameters of this triangle we calculate the magnitudes of the forces \(F_N\) and \(F_G\):
\[ \begin{aligned} F_N&=F\cos \alpha,\\ F_G&=F\sin \alpha. \end{aligned} \]
The shape of the joint surface is a rectangle. One side of this rectangle equals to the width of the bar, \(b\), and the other side, \(c\), is the hypotenuse of a right triangle with side \(h\) and the adjacent interior angle \(\alpha\).
Thus, we calculate the length of \(c\) as:
\[c=\frac{h}{\cos\alpha},\]
and the area of the joint is:
\[A=bc=\frac{bh}{\cos\alpha}.\]
Using the above computations, we obtain for the normal stress:
\[ \sigma_N = \frac{F_N}{A} = \frac{F\cos\alpha}{\frac{bh}{\cos \alpha}} = \frac{F}{bh}\cos^2\alpha = \sigma\cos^2\alpha,\]
and for the shear stress:
\[\sigma_G = \frac{F_G}{A} = \frac{F\sin\alpha}{\frac{bh}{\cos \alpha}} = \frac{F}{bh}\sin\alpha\cos\alpha = \sigma\sin\alpha\cos\alpha.\]
The values of the trigonometric functions, \(\sin\alpha\) and \(\cos\alpha\), determine in what ratio the stress in the joint is divided into normal and shear components. Since both these factors are less than one, both stresses, \(\sigma_N\) and \(\sigma_S\), are less than \(\sigma\), which is the stress in the cross-section perpendicular to the bar axis. The graphs of the functions \(\sin x\cos x\) and \(\cos^2x\) are shown in the figure below. For the angle \(\alpha=30^\circ\), and the given bar dimensions and axial force magnitude, we get:
\[\sigma_N=0.625\ \mathrm{MPa},\]
and
\[\sigma_G=0.361\ \mathrm{MPa}.\]
Problem 2. Determine the angle of the slanted joint (as described in Problem 1) for which the shear stress is maximal. Also determine the corresponding normal stress.
Solution.
In Problem 1, the formula for the shear stress was derived in the form:
\[\sigma_G=\sigma\sin\alpha\cos\alpha.\]
Using the trigonometric identity, \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\), we obtain:
\[\sigma_G=\frac 12\sigma\sin(2\alpha).\]
This expression reaches its maximum when \(\sin(2\alpha) = 1\) that is at \(\alpha = 45^\circ\) (see also the figure in the solution of Problem 1). In that case, we have:
\[\sigma_G=\frac 12\sigma.\]
For the normal stress, the derived formula is:
\[\sigma_N=\sigma\cos^2\alpha.\]
For \(\alpha=45^\circ\), we get:
\[\sigma_N=\frac 12\sigma.\]
At maximum shear stress, both the shear and normal stresses are equal and each is half the value of \(\sigma\). This situation occurs when the joint is slanted at an angle of \(45^\circ\).
Problem 3. The adhesive guarantees that the joint can withstand a normal stress of \(10\ \mathrm{MPa}\) and shear stress of \(8\ \mathrm{MPa}\). What is then the maximum force that can be applied to the slanted joint described in Problem 1? How would the answer to this question change if the joint was slanted at an angle of \(45^{\circ}\)?
Solution.
In the problem 1 we derivace the relationships between the normal stress \(\sigma_N\) and shear stress \(\sigma_G\) in the joint and the axial force \(F\) acting on the bar. \[ \sigma _N=\frac{F}{bh}\cos^2 \alpha \] \[ \sigma _G=\frac{F}{bh}\sin \alpha \cos \alpha. \] From these relationships we can express the axial force \(F\) in terms of the stresses \(\sigma_N\) and \(\sigma_G\). Since the results will be used to determine the maximum force that can be applied to the joint, we will denote by \(F_{\max, N}\) the force which produces critical value of normal stress and by \(F_{\max,G}\) the force which yeilds the critical value for the shear stress. We get \[ F_{\max, N}=\frac{bh\sigma_N}{\cos^2\alpha} \]
and
\[ F_{\max, G}=\frac{bh\sigma_G}{\sin\alpha\cos\alpha}. \]
For data from Problem 1 and for the values \(\sigma_N=10\,\mathrm{MPa}\) and \(\sigma_G=8\,\mathrm{MPa}\) we get
\[ F_{\max, N}=\frac{3\times 4 \,\mathrm{cm}^2 \times 10\,\mathrm{MPa}}{\cos^2 30^\circ}=16\,000\,\mathrm{N} \]
and
\[ F_{\max, G}=\frac{3\times 4 \,\mathrm{cm}^2 \times 8\,\mathrm{MPa}}{\sin 30^\circ\cos 30^\circ}=22\,170\,\mathrm{N}. \]
Neither of these values can be exceeded. Therefore, the maximum force that can be applied to this joint is \(16\,000\,\mathrm{N}\), limited by the normal stress criterion.
For the angle \(\alpha = 45^\circ\) we get
\[F_{\max, N}=\frac{3\times 4 \,\mathrm{cm}^2 \times 10\,\mathrm{MPa}}{\cos^2 45^\circ}=24\,000\,\mathrm{N}\]
and
\[F_{\max, G}=\frac{3\times 4 \,\mathrm{cm}^2 \times 8\,\mathrm{MPa}}{\sin 45^\circ\cos 45^\circ}=19\,200\,\mathrm{N}.\]
Also in this case, neither of the values can be exceeded.
Therefore, the maximum force that can be applied to the joint is \(19\,200\,\mathrm{N}\).
This value is higher than for \(\alpha = 30^\circ\) indicating that a slant angle of \(\alpha = 45^\circ\) allows a greater applied force due to the optimal distribution of stresses.
We have studied the forces that try to break the joint by normal stresses acting perpendicularly to the joint and shear stresses acting in the plane of the joint. In addition, the force action can still stretch the joint as a whole in the plane of the joint. In the above analysis, we were not interested in this component. However, it can be obtained from the formula for the normal stress \(\sigma_N\) by rotating by 90 degrees.
Stress decomposition into pre-selected directions is also used in other engineering practice situations than bonding. For example, if there is an internal defect in a stressed material, knowledge of the stresses in various planes will allow to assess the risk of further propagation of this defect. In this case it is natural to transform the mechanical stresses into the direction of the defect in the same way that we transformed into the direction of the joint.
It is appropriate to transform the mechanical stresses into the predefined directions even when studying the deformation of composite materials. This includes both artificial composites or natural composites. Artificial composites include fiber-reinforced materials. Natural composites include the most widely used structural material, wood. These composites have different properties in different directions and when studying behavior of these materials under mechanical load it is easier to study separately the stresses in the directions related to the structure of this composite. For example, the stresses in the direction of the stiffening fibers in artificial composites, or stresses in the longitudinal direction for wood. In general, we study the stresses in the axes or planes of symmetry of the material and in directions perpendicular to these planes, in the, so called, principal directions. The response of the material to loads in the principal directions is known. The response to loads in other directions can be determined by decomposing the stresses into the individual principal directions, determine the corresponding deformations and transform this information back to obtain the final material response. Engineers know this technique as the so-called tensor transformation and have a number of techniques to solve problems of this type quickly and efficiently.