https://um.mendelu.cz/... in URL, click View on GitHub to open this file on github.com.e on GitHub). However, an advanced VS Code editor (press . on GitHub) is better, since it provides preview how the Markdown code renders. Alternatively press pencil for simple editor or press triangle next to the pencil to get access to VS Code described as github.dev.Ctrl+V and K. Keep the preview open as you work, or close using a mouse.Source control (describe your changes, such as “Polish translation started”) and then press Commit&Push.is_finished: False in header to is_finished: True.https://um.mendelu.cz/..., otevřete jej na serveru github.com.e na GitHubu). Lepší je však pokročilý editor VS Code (stikněte . na GitHubu), protože poskytuje náhled, jak se kód Markdown interpretuje. Případně stiskněte tužku pro jednoduchý editor nebo stiskněte trojúhelníček vedle tužky, abyste získali přístup k editoru VS Code popsaný jako github.dev.Ctrl+V. a K. Během práce nechte náhled otevřený nebo jej zavřete pomocí myši.Zpráva (popište své změny, např. “Zahájen překlad do polštiny”) a poté stiskněte tlačítko Commit&Push.is_finished: False v záhlaví na is_finished: True.V tomto textu si ukážeme, proč jsou logaritmy důležité v biologických vědách a ve vědách o živé přírodě.
Život v přírodě je neustálým bojem o přežití, kdy se živočichové nebo rostliny musí postarat o přežití svého druhu. Pro zvířata toto například zahrnuje schopnosti a síly uniknout predátorům, zajistit si potravu a hnízdiště, rozmnožit se a ochránit potomky, než tito budou schopni samostatného života. K dosažení tohoto cíle je nutný mimo jiné dostatek životního prostoru. Tedy žít na území s dostatkem zdrojů (potravy, hnízdišť a podobně). A množství zdrojů přímo souvisí s velikostí území.
Biologové znají zákon udávající vztah mezi počtem druhů žijících trvale v ekosystému a plošnou rozlohou tohoto ekosystému. Zákon (angl. species-area relationship) má tvar
\[N=c A^k,\tag{1}\]
kde \(N\) je počet druhů, \(A\) je plošná rozloha území a \(c\) a \(k\) jsou konstanty. Konstanta \(c\) závisí na jednotkách obsahu a udává, jaký je teoretický počet druhů na oblasti o jednotkové rozloze. Konstanta \(k\) má typicky hodnoty mezi \(0{,}2\) a \(0{,}35\) pro ostrovy a \(0{,}12\) až \(0{,}17\) pro pevninu.
Vztah (1) byl experimentálně potvrzen například na mangrovových ostrůvcích u Floridy. To jsou malé ostrůvky, v podstatě stromy, vyrůstající z brakické vody mělkého moře. Vzhledem k malým rozměrům ostrova bylo možno zkoumat, jak ekosystém reaguje na změnu rozlohy ostrova. Výzkumníci motorovou pilou zmenšili rozlohu a sledovali odpovídající snížení počtu druhů. Kromě toho byly prováděny pokusy s kolonizací neobydleného ostrova. V takovém případě se na ostrůvku chemicky zničil život podobně, jako se provádí desinfekce domů. Poté vědci pozorovali, že druhové bohatství se samovolně obnovilo na původní stav. Zajímavostí je, že počet druhů zůstal stejný, ale konkrétní druhy se obměnily. Některé druhy byly nahrazeny druhy jinými.
Protože vztah (1) je mocninná funkce s obecným neceločíselným exponentem, není závislost mezi rozlohou ekosystému a počtem druhů jednoduše indetifikovatelná z naměřených nebo vypozorovaných dat. Přesto je důležité tuto funkční závislost znát. Pomáhá nám to například v ochraně přírody. Ekosystémem v uvedeném kontextu je sice zpravidla ostrov, ale bývá tím míněn jakýsi zobecněný ostrov: nejenom pevnina obklopená mořem, ale jakékoliv území umístěné do území jiného typu. Například tedy může jít o jezero uvnitř souše, o lesík v zemědělské krajině, nebo o chráněnou krajinnou oblast obklopenou přírodou s běžným režimem. Znalost toho, jak souvisí velikost území s druhovou skladbou a druhovou pestrostí je důležitým faktorem pro rozhodování, jestli při ochraně přírody budovat jednu velkou rezervaci nebo několik malých.
S podobným zákonem jako je vztah (1) se v biologii setkáváme velice často v alometrických vztazích. To jsou vztahy, kde se fyzické a fyziologické vlastnosti organismů mění v závislosti na velikosti organismu. Například závislost doby potřebné k dosažení dospělosti na tělesné hmotnosti má podobný průběh, viz Begon (1997). Jiným příkladem je Kleiberův zákon udávající vztah mezi hmotností živočicha a jeho bazálním metabolismem.
V následujících úkolech vyřešíme úlohy související se vzorcem (1) a ukážeme si, jak k práci s ním můžeme využít logaritmy.
Úloha 1: Ukažte, že po zlogaritmování vztahu (1) je výsledná závislost lineární, tj. pokud na osy vynášíme namísto velikosti území a počtu druhů jejich logaritmy, tak grafem závislosti bude přímka.
Řešení. Vyjdeme ze vztahu (1), tj. \[N=c A^k.\]
Logaritmováním dostáváme
\[\log N= \log (c A^k).\]
Odsud po použití pravidla pro logaritmus součinu a logaritmus mocniny dostáváme
\[\log N= \log (c) + k\log A.\]
Nyní substituce \(y=\log N\), \(q = \log c\), \(x=\log A\) převádí rovnici na
\[y=kx+q,\]
což je rovnice přímky se směrnicí \(k\).
Poznámka: Protože není pohodlné při vynášení každé hodnoty do grafu počítat dva logaritmy, používají se takzvané logaritmické osy. Vzdálenost bodu \(x\) od bodu 1 je \(\log x\) a toto měřítko je použito pro vodorovnou i svislou osu.
Připojený obrázek ukazuje, jak se při použití logaritmických os mocninná závislost mění na lineární. Graf zachycuje počty druhů plazů a obojživelníků na ostrovech v Západní Indii (angl. West Indies, antilské ostrovy a bahamské souostroví). Díky použití logaritmických os jsou data téměř přesně vyrovnána v jedné přímce. Tato vlastnost je snadno detekovatelná jak opticky z dat, tak i pomocí matematických postupů. Vložený menší obrázek ukazuje, jak by závislost vypadala bez použití logaritmických os. Data leží v oblouku křivky, o níž na první pohled není patrné, jestli se jedná o mocninnou křivku, nebo exponenciální, či nějakou jinou závislost.
Úloha 2: Je odhadnuto, že pro jisté území je hodnota exponentu \(k\) rovna \(0{,}15\). Jak se sníží počet druhů, pokud se plocha sníží na desetinu? Tato úloha modeluje například rozsáhlé kácení lesa.
Řešení. Vyjdeme ze zákona \[N(A)=c A^k\] a hodnotu plochy snížíme na desetinu. \[N(0{,}1A) = c\cdot(0{,}1 A)^k = c A^k \cdot 0{,}1^k = N(A)\cdot 0{,}1^k\] Odsud pro \(k=0{,}15\) dostáváme \[\frac{N(0{,}1A)}{N(A)}=0{,}1^k = 0{,}71.\] Po snížení rozlohy na desetinu klesne počet živočišných druhů na 71 procent původního stavu, tj. klesne o 29 procent.
Úloha 3: Bylo vypozorováno, že po snížení rozlohy na čtvrtinu klesne počet druhů na sedmdesát procent původního stavu. Odhadněte velikost parametru \(k\).
Řešení. Původní hodnoty pro velikost rozlohy a počet druhů označíme \(A_1\) a \(N_1\). Nové hodnoty budou \(A_2\) a \(N_2\). Obě sady dat vyhovují rovnici (1) a proto \[N_1 = c A_1^k\] a \[N_2 = c A_2^k.\] Vydělením těchto vztahů dostáváme \[\frac{N_1}{N_2} = \frac{c A_1^k}{ c A_2 ^k} =\left(\frac {A_1}{A_2}\right)^k.\] Podle zadání platí \(N_2=0{,}7N_1\) a \(A_2=0{,}25A_1\), tj. \[\frac{N_1}{0{,}7N_1}=\left(\frac{A_1}{0{,}25A_1}\right)^k\] \[\frac{1}{0{,}7}=\left(\frac{1}{0{,}25}\right)^k.\] Logaritmováním obdržíme \[\log\frac{1}{0{,}7}=k\cdot\log\frac{1}{0{,}25}.\] a odtud \[k=\frac{\log \frac1{0{,}7}}{\log 4}\approx 0{,}257.\]
In this text, we will demonstrate the importance of logarithms in biological sciences.
Life in nature is a constant struggle for survival. Animals or plants must ensure the survival of their species. For animals, this includes abilities and strengths to escape predators, food access and nesting sites availability, reproduction, and offspring protection until they can live independently. To achieve this goal, sufficient living space is required. These requirements can be met in an area with enough resources (food, nesting sites, etc.). The amount of resources is closely related to the size of the area.
Biologists know the law that defines the relationship between the number of species permanently living in an ecosystem and the area of that ecosystem. This species-area relationship has the form
\[N=c A^k,\tag{1}\]
where \(N\) is the number of species, \(A\) is the area of the land, and \(c\) and \(k\) are constants. The constant \(c\) depends on the units of area and indicates the theoretical number of species in an area of unit size. The constant \(k\) typically ranges between \(0.2\) and \(0.35\) for islands and \(0.12\) to \(0.17\) for the mainland.
Relationship (1) was experimentally confirmed, for example, on mangrove islands near Florida. These small islands are essentially trees growing from the brackish water of the shallow sea. Given the small dimensions of the island, it was possible to study the response of the ecosystem to changes in the island’s area. Researchers used a chainsaw to reduce the area and observed a corresponding decrease in the number of species. Additionally, experiments were conducted with the colonization of an uninhabited island. In such cases, the life on the islet was chemically eradicated similarly to how houses are disinfected. Researchers then observed that species richness spontaneously returned to its original state. Interestingly, the number of species remained the same, but specific species were replaced by others.
Since relationship (1) is a power function with a general non-integer exponent, the dependence between the ecosystem area and the number of species is not easily identifiable from measured or observed data. Nonetheless, knowing this functional relationship is important. It is useful, for example, in nature conservation and protection. Note that in the context of island biogeography the term island means in fact a generalized island. Under an island we do not understand just a land surrounded by sea, but any area placed within an area of another type. For example, an island can be a lake within land, a small forest in an agricultural landscape, or a protected landscape area surrounded by land with a normal regime. Knowing how the size of an area relates to species composition and diversity is an important factor in deciding whether to build one large natural reserve or several small ones for nature conservation.
A similar law to relationship (1) is encountered in biology very often in allometric relationships. These are relationships where the physical and physiological properties of organisms change depending on the size of the organism. For example, the relationship between the time required to reach maturity and body weight has a similar form, see Begon (1997). Another example is Kleiber’s law, which relates the animal’s weight and its basal metabolism.
In the following problems, we will solve tasks related to formula (1) and show how to use logarithms to work with it.
Exercise 1: Take the logarithm of both sides of equation (1). Show that the resulting dependence is linear, i.e., if the logarithm of the area size is plotted as a function of the logarithm of the number of species the graph of this dependence is a straight line.
Solution. We start with relationship (1), i.e., \[N=c A^k.\]
Taking the logarithm we get
\[\log N= \log (c A^k).\]
Using the rules for logarithms of products and powers, we obtain
\[\log N= \log (c) + k\log A.\]
Substitutions \(y=\log N\), \(q = \log c\), \(x=\log A\) transform the equation into
\[y=kx+q,\]
which is the equation of a line with slope \(k\).
Note: Since it is not always convenient to calculate two logarithms for each value when plotting, logarithmic axes are used. The distance of a point \(x\) from the point 1 on a logarithmic axis is \(\log x\), and this scale is used for both the horizontal and vertical axes.
The attached image shows that the graph of a power function in logarithmic axes is a straight line. The graph includes the number of reptile and amphibian species on islands in the West Indies (Antilles and Bahamas). In a graph with logarithmic axes, the data align almost exactly in a straight line. This property is easily visible in the data and can also be easily confirmed through mathematical methods. The smaller picture shows how the dependence would look without using logarithmic axes. The data lie along a curve, and it is not immediately clear whether it is a power curve, an exponential curve, or some other dependence.
Exercise 2: It is estimated that for a certain area, the value of the exponent \(k\) is \(0.15\). By how much will the number of species decrease if the area is reduced to one-tenth? (This exercise models, for example, extensive forest logging.)
Solution. Starting from the law \[N(A)=c A^k\] and reducing the area to one-tenth, we get \[N(0.1A) = c\cdot(0.1 A)^k = c A^k \cdot 0.1^k = N(A)\cdot 0.1^k\] From here, for \(k=0.15\), we get \[\frac{N(0.1A)}{N(A)}=0.1^k = 0.71.\] After reducing the area to one-tenth, the number of animal species decreases to 71 percent of the original state, i.e., it decreases by 29 percent.
Exercise 3: It was observed that after reducing the area to one-fourth, the number of species decreased to seventy percent of the original state. Estimate the value of parameter \(k\).
Solution. We denote the original values for area and number of species as \(A_1\) and \(N_1\). The new values will be \(A_2\) and \(N_2\). Both sets of data satisfy equation (1), therefore \[N_1 = c A_1^k\] and \[N_2 = c A_2^k.\] By dividing these equations, we get \[\frac{N_1}{N_2} = \frac{c A_1^k}{ c A_2 ^k} =\left(\frac {A_1}{A_2}\right)^k.\] According to the stated problem, \(N_2=0.7N_1\) and \(A_2=0.25A_1\), i.e., \[\frac{N_1}{0.7N_1}=\left(\frac{A_1}{0.25A_1}\right)^k\] \[\frac{1}{0.7}=\left(\frac{1}{0.25}\right)^k.\] Taking the logarithm of both sides, we obtain \[\log\frac{1}{0.7}=k\cdot\log\frac{1}{0.25}.\] and thus \[k=\frac{\log \frac1{0.7}}{\log 4}\approx 0.257.\]