Ośmioletnia Ania chce pójść na dziecięcy karnawał w kostiumie białej damy, który będzie zawierał biały kapelusz w kształcie stożka. Rodzice skorzystali z okazji, aby poćwiczyć z Anią wyobraźnię geometryczną i postanowili zrobić z nią kapelusz zamiast go kupować. > Zadanie. Anna i jej matka ustaliły za pomocą taśmy mierniczej, że obwód głowy Anny wynosi 52 cm. Wspólnie ustaliły, że kapelusz będzie miał 30 cm wysokości. W jaki sposób stworzą kapelusz?
Rozwiązanie. Wierzchołek jest utworzony przez boczną powierzchnię stożka, gdzie znamy obwód podstawy \(o\) (52 cm) i wysokość stożka \(v\) (30 cm). Nierozwinięta powierzchnia boczna stożka jest wtedy sektorem kołowym o nieznanym promieniu \(s\) (rozmiar boku stożka) i nieznanym kącie środkowym \(\varphi\). Musimy obliczyć te dane. Ponadto wiemy, że długość łuku sektora kołowego jest równa obwodowi \(o\).
Najpierw obliczamy promień podstawy \(r\) na podstawie obwodu podstawy, a następnie długość boku \(s\), korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
\[ r = \frac{o}{2\pi} = \frac{52}{2\pi} \doteq 8{,}28\,\text{cm} \]
\[ s = \sqrt{v^2 + r^2} = \sqrt{30^2 + 8{,}28^2} \doteq 31{,}12\,\text{cm} \]
Teraz określamy kąt \(\varphi\). Najpierw obliczamy obwód \(O\) całego okręgu o promieniu \(s\), otrzymując
\[ O = 2\pi s \doteq 195{,}53 \,\text{cm}. \]
Następnie wykorzystujemy bezpośrednią proporcjonalność między długością łuku tego okręgu a odpowiednim kątem środkowym, aby obliczyć kąt \(\varphi\):
\[ \varphi = \frac{o}{O}\cdot 360^{\circ} = \frac{52}{195{,}53}\cdot 360^{\circ} \doteq 95^{\circ}44'. \]
Annie i jej rodzice tworzą kapelusz z okrągłego sektora o przybliżonym promieniu 31 cm i kącie środkowym wynoszącym w przybliżeniu \(96^{\circ}\).