V tomto textu bude popsána praktická aplikace rovnice elipsy při neinvazivním posouzení zdravotního stavu stojícího stromu. Bude vysvětlen princip rekonstrukce fyzikálních vlastností dřeva v kmeni stromu pomocí moderní metody EBSI (z anglického elliptise-based spatial interpolation), která využívá rovnici elipsy. Bude ukázáno, jak s rovnicí elipsy pracovat i v případě, kdy je elipsa v obecné poloze vzhledem k osám. V této souvislosti bude využit skalární součin pro nalezení projekce vektoru do požadovaného směru.
V praxi arboristy, odborníka pro péči o dřeviny mimo les, je častým úkolem posouzení vitality a zdravotního stavu stromu. Toto je nutné udělat s nulovým nebo minimálním zásahem, který kondici stromu výrazně neovlivní. Jednou z velmi málo invazivních metod je použití akustického tomografu. Jedná se o přístroj, který dokáže měřit “dobu letu” zvukového signál (anglicky používaný termín time of flight, TOF) mezi dvěma senzory. Z geometrie je poté možno určit vzdálenost mezi senzory a s využitím předpokladu o šíření zvukových signálů přímými paprsky je možné určit rychlost šíření zvuku v materiálu. Tato hodnota je velice důležitým indikátorem fyzikálních mechanických vlastností, protože ve zdravém dřevě (angl. sound wood) se zvuk šíří rychleji než ve dřevě degradovaném (angl. degraded wood).
Rekonstrukce obrazu v akustickém tomografu vychází z předpokladu přímého šíření paprsků v řezu kmene. Nejsou tedy brány v úvahu odrazy nebo lom vlnění. Kvalita tohoto předpokladu je předmětem aktuálního vědeckého zkoumání, nicméně předpoklad tohoto typu je nutné pro praktické využití metody učinit.
Protože se vychází z poměrně malého množství paprsků (akustický tomograf má typicky 12 senzorů, nejvýše 24 senzorů, pro stromy malého průměru i méně), je nutné využít nějakou metodu interpolace a průměrování. Tímto se úloha stává odlišnou například od tomografů používaných ve zdravotnictví, kde zobrazovacích paprsků je řádově více a je také lépe definována geometrie měření: zdroje a snímače jsou umístěny například po obvodu kruhu a nikoliv po nepravidelném obvodu kmene stromu. Pro odstranění nedostatků spojených s použitím akustického tomografu pro stromy bylo vyvinuto několik technik, které umožňují interpolaci a průměrování naměřených hodnot.
Řada metod rekonstrukce obrazu v akustickém tomografu vychází z předpokladu, že rychlost šíření zvuku je ovlivněna kvalitou dřeva v eliptickém okolí spojnice dvou senzorů. Tento předpoklad byl otestován na reálných měřeních v Du et al. (2015), kde byl navržen i vzorec, dávající do souvislosti vzdálenost senzorů a excentricitu elipsy. Tento přístup zaznamenal lepší výsledky než postupy založené na prostém průsečíku paprsků a průměrování rychlostí v těchto průsečících. Metoda dostala název Ellipse-based spatial interpolation a zkratku EBSI.
Praktická implementace metody rekonstrukce obrazu spočívá v tom, že průřez kmene se rozdělí na buňky, do kterých se naměřené hodnoty v jistém smyslu zprůměrují. V EBSI metodě pro každou buňku určíme rychlost jako průměr rychlostí všech paprsků, v jejichž eliptickém okolí působnosti se buňka nachází.
V dalších pracech byla metoda EBSI rozšířena o předpoklad, že paprsek se skládá ze segmentů, na kterých se paprsek šíří různými rychlostmi. Okolo každého segmentu opět uvažujeme elipsu definující oblast působnosti tohoto segmentu. Data se zpracovávají dvoukolově metodami RSEN a SISE (z anglického ray sementation by elliptical neighborhood a spatial interpolation by segmented ellipse) popsanými v Do et al (2018).
Detailní popis metod je možné najít v původní literatuře, nicméně i z uvedeného zjednodušeného popisu je zřejmé, že zásádní dílčí úlohou při implementaci obrazové rekonstrukce je ověření, zda bod v rovině leží uvnitř elipsy či zda leží vně.
Z předešlé motivační části vyplývá, že pro praktickou implementaci rekonstrukce obrazu pomocí EBSI metody je nutné umět efektivně pracovat s elipsou v různých polohách, což zahrnuje libovolné pootočení os a libovolné posunutí středu elipsy. Potřebujeme efektivně zjišťovat, zda nějaký bod leží uvnitř či vně elipsy.
Elipsa je množina bodů v rovině, pro které platí, že součet vzdáleností bodu od dvou ohnisek je konstantní. Elipsu je možno určit pomocí hlavní a vedlejší osy. Uvažujme elipsu s délkou hlavní poloosy \(a\) a délkou vedlejší poloosy \(b\). Rovnice elipsy se středem v počátku a hlavní osou ve směru osy \(x\) má v tomto případě tvar \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.\] Body ležící uvnitř elipsy splňují nerovnici \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}<1.\] Protože však pracujeme s elipsami v obecné poloze, je vhodnější použít rovnici elipsy, která namísto se souřadnicemi pracuje se vzdáleností bodu od hlavní a od vedlejší poloosy. Je-li vzdálenost bodu od přímky definované vedlejší osou \(d_1\) (pro stručnost vzdálenost od vedlejší osy) a vzdálenost bodu od hlavní osy \(d_2\), pak bod leží uvnitř elipsy právě tehdy, když platí \[\frac{d_1^2}{a^2}+\frac{d_2^2}{b^2}<1.\tag{1}\] Pro ověření zda bod leží nebo neleží uvnitř elipsy tedy stačí určit vzdálenost bodu od hlavní a od vedlejší osy a ověřit platnost výše uvedené nerovnosti.
Obrázek znázorňuje hlavní a vedlejší osy elipsy, jednotkové vektory ve směru těchto os, spojnici testovaného bodu se středem elipsy a vyznačení vzdáleností bodu od jednotlivých os elipsy.
Pro jednoduchost uvažujme, že úhel mezi vektory \(\vec u\) a \(\vec e_1\) je ostrý. Z definice skalárního součinu a z faktu, že vektor \(\vec e_1\) je jednotkovým vektorem plyne
\[\vec u\cdot\vec e_1 = |\vec u||\vec e_1|\cos\varphi = |\vec u| \cos\varphi = d_1.\]
Vzdálenost od vedlejší osy je tedy možno určit pomocí skalárního součinu. Kolmý průmět vektoru do přímky se nazývá projekce a z obrázku je patrné, že \(d_1\) je vlastně délka projekce vektoru \(\vec u\) do směru definovaného vektorem \(\vec e_1\). V případě, že by úhel mezi vektory \(\vec u\) a \(\vec e_1\) byl tupý, vychází hodnota \(d_1\) záporná, což se však v testovacím kriteriu (1) neprojeví.
Analogicky, délka projekce vektoru \(\vec u\) do směru definovaného vektorem \(\vec e_2\) je (až na případné znaménko, které se opět v testu (1) neprojeví) dána vztahem
\[d_2=\vec u\cdot \vec e_2.\]
Poznámka. Poznamenejme, že výpočet skalárního součinu se provádí pomocí souřadnic podle vzorce
\[\vec u\cdot\vec v = u_1v_1+u_2v_2,\]
kde \(\vec u = (u_1, u_2)\) a \(\vec v=(v_1,v_2)\). Tento výpočet je možné realizovat v počítačích velmi rychle a použitím vhodných programovacích technik (vektorizace) je možné výpočet provést současně pro tisíce bodů řádově stokrát rychleji než použitím cyklu založeného na postupném testování jednotlivých bodů.
Poznámka. Jednotkový vektor \(\vec e_1\) ve směru hlavní osy je možné určit buď jako podíl vektoru ze středu do hlavního vrcholu a délky tohoto vektoru, anebo pomocí úhlu, který svírá hlavní osa s osou \(x\). Je-li tento úhel \(\alpha\), je jednotkový vektor dán vztahem
\[\vec e_1=(\cos\alpha, \sin\alpha).\]
Jednotkový vektor ve směru vedlejší osy je na \(\vec e_1\) kolmý. Je tedy možné brát například
\[\vec e_2 = (-\sin\alpha, \cos\alpha).\]
Úloha 1. Elipsa má hlavní osu o délce \(a=3\) a vedlejší osu o délce \(b=1.5\). Střed elipsy je v počátku a hlavní osa svírá s vodorovným směrem úhel \(\alpha=30^\circ\). Určete, zda bod \(X=[1{,}6;1{,}6]\) leží uvnitř či vně elipsy. (Použité hodnoty jsou hodnotami z Obrázku 4. Bod \(X\) je koncovým bodem vektoru \(\vec u\).)
Řešení. Jednotkový vektor se směru hlavní osy je \(\vec e_1=(\cos(30^\circ), \sin(30^\circ))\). Vektor \(\vec u\) je dán souřadnicemi bodu \(X\), tj. \(\vec u=(1{,}6;1{,}6)\). Skalární součin je tedy
\[d_1=\vec u\cdot \vec e_1 = 1{,}6\cos(30^\circ) + 1{,}6\sin(30^\circ)\doteq 2{,}186.\]
Podobně, délka projekce do směru vedlejší osy dané vektorem \(\vec e_2=(-\sin(30^\circ), \cos(30^\circ))\) je
\[d_2=\vec u\cdot \vec e_2 = -1{,}6\sin(30^\circ) + 1{,}6\cos(30^\circ) \doteq 0{,}586.\]
Platí
\[ \frac{d_1^2}{a^2} + \frac{d_2^2}{b^2} \doteq 0{,}683<1. \]
Bod tedy leží uvnitř elipsy. Situace je na následujícím obrázku.
V textu byly představeny základní kroky, na nichž je založena rekonstrukce obrazu v akustickém tomografu. Jedním z dílčích úkolů je ověření, zda zkoumaný bod leží uvnitř či vně elipsy, která je v obecné poloze a je zadána svými poloosami. Pro toto ověření je výhodné použít rovnici elipsy založenou nikoliv na souřadnicích, ale na vzdálenostech od hlavní a vedlejší osy. Tuto vzdálenost je možné určit pomocí skalárního součinu vektorů.