Optymalizacja wydajności

20 min., 2/3

Przy podejmowaniu decyzji inwestycyjnych nie wystarczy polegać na prostych modelach liniowych - rynek jest dynamiczny i pełen niepewności. Zbudowanie optymalnego portfela inwestycyjnego wymaga zatem podejścia uwzględniającego nie tylko oczekiwaną stopę zwrotu, ale także ryzyko i inne ograniczenia, takie jak dostępne zasoby finansowe czy wymagania dotyczące dywersyfikacji. Zwrotów z poszczególnych aktywów nie da się z góry precyzyjnie określić - na ich zachowanie wpływa wiele czynników, dlatego potrzebne są modele oparte na funkcjach kwadratowych. Podejście to - znane obecnie jako nowoczesna teoria portfelowa - położyło podwaliny pod nowe spojrzenie na inwestowanie. Za swój fundamentalny wkład w tę dziedzinę Harry Markowitz, William Sharpe i Merton Miller otrzymali w 1990 roku Nagrodę Nobla.

Problemy te prowadzą zatem do tak zwanych zadań programowania kwadratowego, gałęzi optymalizacji matematycznej, która koncentruje się na znajdowaniu ekstremów (zazwyczaj minimów lub maksimów) funkcji kwadratowej w zbiorze punktów zdefiniowanych przez równania i nierówności liniowe.

Droga influencera do sukcesu

Aspirujący influencer ma nadzieję na zwiększenie liczby obserwujących na Instagramie i TikTok poprzez promocję postów i płatne reklamy. Według dostępnych danych, inwestując 10 000 CZK w promocję na Instagramie, można zyskać 1000 nowych obserwujących, a ta sama inwestycja w reklamy na TikTok ma przynieść 1000 nowych obserwujących na tej platformie. Dzięki specjalnej ofercie influencer może wydać maksymalnie 20 000 CZK na promocję na Instagramie i 10 000 CZK na reklamę na TikTok.

Rozwiązanie. Niech \(x\) reprezentuje kwotę zainwestowaną w promocję na Instagramie w dziesiątkach tysięcy CZK, a \(y\) reprezentuje inwestycję w reklamę na TikTok. Wówczas optymalna wartość kosztu całkowitego musi spełniać następujące warunki

\[ 0\leq x \leq 2 \qquad\text{and}\qquad 0\leq y\leq 1, \]

tzn. rozwiązanie leży wewnątrz prostokąta. Na tym samym układzie współrzędnych możemy również wykreślić punkt reprezentujący docelową liczbę obserwujących. Jeśli \(x\) oznacza liczbę obserwujących na Instagramie w tysiącach, a \(y\) liczbę obserwujących na TikTok w tysiącach, to punkt docelowy ma współrzędne \([3,2]\).

Szukamy punktu wewnątrz danego prostokąta, który jest jak najbliżej punktu \([3,2]\).

Odległość dowolnego punktu \([x,y]\) od punktu \([3,2]\) jest określona wzorem

\[ v(x,y)=\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}. \]

Ponieważ pierwiastek kwadratowy jest funkcją rosnącą, tzn. jeśli \(0\leq a<b\) to koniecznie \(\sqrt{a}<\sqrt{b}\), minimalizacja \(\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}\) jest równoważna minimalizacji \((x-3)^2+(y-2)^2\).

Dla dowolnego \(c > 0\), równanie \[ (x-3)^2+(y-2)^2=c \] reprezentuje okrąg o środku w punkcie \([3,2]\) i promieniu \(\sqrt{c}\). Naszym zadaniem jest znalezienie okręgu o najmniejszym możliwym promieniu, który nadal przecina dany prostokąt. Sytuację ilustruje poniższy rysunek, który daje nam wskazówkę co do rozwiązania.

Z rysunku wynika, że rozwiązaniem jest punkt \([2,1]\). Ale czy tak jest naprawdę? Rysunek pokazuje, że wynikowy okrąg dotyka prostokąta dokładnie w jego prawym górnym rogu. Oznacza to, że punkt przecięcia okręgu z linią tworzącą górną krawędź prostokąta musi być taki sam, jak punkt przecięcia okręgu z linią tworzącą prawą krawędź prostokąta. Innymi słowy, poniższe układy równań muszą mieć co najmniej jedno wspólne rozwiązanie:

\[ \begin{align*} (x-3)^2+(y-2)^2&=c\\ y&=1 \end{align*} \] i \[ \begin{align*} (x-3)^2+(y-2)^2&=c\\ x&=2 \end{align*} \]

Nie możemy rozwiązać każdego układu osobno, ponieważ spowodowałoby to powstanie równania kwadratowego z dwiema niewiadomymi. Jednak podstawiając \(x=2\) i \(y=1\), otrzymujemy następującą parę równań:

\[ \begin{align*} (x-3)^2+1&=c\\ 1+(y-2)^2&=c, \end{align*} \] co oznacza, że \[ (x-3)^2+1=1+(y-2)^2 \] lub \[ (x-3)^2=(y-2)^2, \] co daje, po wzięciu pierwiastka kwadratowego, \[ |x-3|=|y-2|. \] Równanie to jest wyraźnie spełnione dla punktu \([2,1]\). Możemy zatem stwierdzić, że influencer będzie najbliżej swojego celu, inwestując maksymalną kwotę 20 000 CZK w promocję na Instagramie i 10 000 CZK w reklamę na TikTok.

Rozwiązanie. W tym przypadku minimalizujemy odległość od punktu \([1,3]\). Sytuacja została zilustrowana poniżej.

Rozwiązanie będzie leżało na linii \(y=1\), co prowadzi nas do układu

\[ \begin{align*} (x-1)^2+(y-3)^2&=c\\ y&=1. \end{align*} \]

Jest to układ składający się z jednego równania kwadratowego i jednego równania liniowego w trzech zmiennych, który możemy łatwo zredukować do równania kwadratowego w dwóch zmiennych:

\[ (x-1)^2+4=c. \]

Z powyższego rysunku widzimy, że pożądany okrąg o najmniejszym możliwym promieniu tylko dotyka prostokąta. Oznacza to, że liczba \(c\) musi być taka, aby równanie kwadratowe miało tylko jedno rozwiązanie (jeśli nie ma żadnego, promień jest zbyt mały i okrąg nie przecina prostokąta; jeśli ma dwa różne rozwiązania, musi istnieć okrąg o nieco mniejszym promieniu, który nadal przecina prostokąt). Rozwiązaniem równania kwadratowego jest

\[ x_{1,2}=\pm\sqrt{c-4}+1. \]

Rozwiązanie będzie dokładnie jedno (tzn. oba rozwiązania będą zbieżne) tylko wtedy, gdy \(c = 4\). W takim przypadku \(x = 1\), co oznacza, że rozwiązaniem jest punkt \([1,1]\). Tym razem influencer musi wydać tylko 10 000 CZK na promocję na Instagramie i 10 000 CZK na reklamę na TikTok.