Previous SK TOC View on GitHub PDF PDF reduced EN CS ES PL SK Next SK

Instructions for translators

Open this file on GitHub server. If you see https://um.mendelu.cz/... in URL, click View on GitHub to open this file on github.com.
If you see this file on GitHub server, you can edit the content of the file. Open the file in an editor. You can use simple editor (pres e on GitHub). However, an advanced VS Code editor (press . on GitHub) is better, since it provides preview how the Markdown code renders. Alternatively press pencil for simple editor or press triangle next to the pencil to get access to VS Code described as github.dev.
Fix the keywords in the preamble.
Depending on which language version you want to use as a source for your translation, delete either English or Czech version below.
Translate to your language. Keep Markdown marking and math notation. If you use a tool to get first version of the translation, make sure that the markup is preserved.
In VS Code you can open the preview in another window by pressing Ctrl+V and K. Keep the preview open as you work, or close using a mouse.
Instead of saving, you have to commit and push the changes to the repository. Fill the Message under Source control (describe your changes, such as “Polish translation started”) and then press Commit&Push.
Make sure that your changes appear in the commit history. In rare cases (if you work with simultaneously with someone else) you have to download /Pull/ and merge his and yours changes. Usualy Sync (Pull & Push) should work.
When you finish the translation, change is_finished: False in header to is_finished: True.

Instrukce pro překladatele

Otevřete tento soubor na serveru GitHub. Pokud máte soubor otevřen na https://um.mendelu.cz/..., otevřete jej na serveru github.com.
Pokud tento soubor vidíte na serveru GitHub, můžete obsah souboru upravit. Otevřete soubor v editoru. Můžete použít jednoduchý editor (stiskněte e na GitHubu). Lepší je však pokročilý editor VS Code (stikněte . na GitHubu), protože poskytuje náhled, jak se kód Markdown interpretuje. Případně stiskněte tužku pro jednoduchý editor nebo stiskněte trojúhelníček vedle tužky, abyste získali přístup k editoru VS Code popsaný jako github.dev.
Opravte klíčová slova v preambuli.
V závislosti na tom, kterou jazykovou verzi chcete použít jako zdrojový kód pro svůj překladu, odstraňte níže uvedenou anglickou nebo českou verzi.
Přeložte do svého jazyka. Ponechte značení Markdown a matematický zápis. Pokud použijete nástroj typu DeepL pro získání první verze překladu, ujistěte se, že zápis matematických výrazů byl zachován.
Ve VS Code můžete náhled otevřít v jiném okně stisknutím Ctrl+V. a K. Během práce nechte náhled otevřený nebo jej zavřete pomocí myši.
Místo uložení musíte změny zaregistrovat a odeslat do úložiště. Vyplňte zprávu v poli Zpráva (popište své změny, např. “Zahájen překlad do polštiny”) a poté stiskněte tlačítko Commit&Push.
Ujistěte se, že se vaše změny objeví v historii revizí. Ve výjimečných případech (pokud pracujete současně s někým jiným) musíte stáhnout /Pull/ a sloučit jeho a vaše změny. Obvykle by synchronizace (Pull & Push) měla fungovat.
Po dokončení překladu změňte is_finished: False v záhlaví na is_finished: True.

Czech source

Zdravotnické stanoviště na běžeckém závodě

Keywords: functions, linear function, absolute value, optimization

40 min.,

3/3

Představte si, že pomáháte organizovat velký běžecký závod. Na trať se chystají desítky závodníků a vaším úkolem je rozhodnout, kam umístit zdravotnické stanoviště, aby bylo co nejvíce nápomocné. Mělo by být blízko startu? Nebo raději někde uprostřed? A co když je kontrolních bodů na trati víc? Kde bude to správné místo, odkud to bude všude tak akorát daleko?

Možná to zní jednoduše, ale když se nad tím zamyslíte, tak zjistíte, že najít nejlepší možné umístění není zas tak snadné. V následujících úlohách si takovou situaci rozebereme. A kdo ví, třeba právě díky nám doběhne závodník v pořádku do cíle.

Úloha 1. Na běžecké trase dlouhé $45\,\text{km}$ se nachází tři kontrolní stanoviště a je třeba na ni umístit stanoviště zdravotníků. První kontrolní stanoviště je zřízeno na 13. kilometru, druhé na 26. kilometru a třetí na 37. kilometru. Protože má být zdravotní stanoviště co možná nejblíže kontrolním stanovištím, startu i cíli, organizátor běhu jej chce zřídit tak, aby byl součet vzdáleností od něj k uvedeným pěti lokacím co nejmenší.

Na kterém kilometru trasy má organizátor stanoviště zdravotníků zřídit? Je to jediná lokace, kterou má zvolit? Předpokládejme, že závod končí jinde než začal a že neexistuje kratší cesta mezi stanovišti než po závodní trase.

Řešení. Nechť je zdravotnické stanoviště na $x$-tém kilometru běžecké trasy. Vzdálenost od startu je potom rovna $x\,\text{km}$, od prvního stanoviště $\lvert x - 13 \rvert\,\text{km}$, od druhého stanoviště $\lvert x - 26 \rvert\,\text{km}$, od třetího stanoviště $\lvert x-37 \rvert\,\text{km}$ a od cíle $(45-x)\,\text{km}$. Chceme tedy najít minimální hodnotu funkce \[ \begin{align*} f(x) &= x + \lvert x - 13 \rvert + \lvert x - 26 \rvert + \lvert x-37 \rvert + (45-x) = \\ &= \lvert x - 13 \rvert + \lvert x - 26 \rvert + \lvert x-37 \rvert + 45 \end{align*} \] na intervalu $\langle 0;45\rangle$.

Grafem funkce $f$ na tomto intervalu je lomená čára složená ze čtyř na sebe navazujících úseček, které postupně spojují body $[0;121]$, $[13;82]$, $[26;69]$, $[37;80]$ a $[45;104]$. Druhé souřadnice zmíněných bodů získáme dosazením prvních do předpisu funkce $f$.

Obrázok 1. Graf funkce $f$

Z tohoto grafu je pak zřejmé, že nejmenší hodnotu má funkce $f$ právě v bodě $x=26$, tj. přímo na druhém stanovišti. Tam (a nikde jinde) by se mělo nacházet stanoviště zdravotníků.

Poznámka. Úlohu lze řešit i jiným způsobem, bez funkcí a absolutních hodnot. Znázorněme trasu závodu úsečkou $SC$, na které jsou umístěny body $K_1$, $K_2$ a $K_3$ tak, aby jejich poloha odpovídala poloze prvního, druhého a třetího kontrolního stanoviště na trase.

Obrázok 2. Rozmístění bodů $K_1$, $K_2$ a $K_3$ na úsečce $SC$

Naším úkolem je na úsečku $SC$ umístit bod $Z$ tak, aby byl součet \[ \lvert SZ \rvert + \lvert K_1Z \rvert + \lvert K_2Z \rvert + \lvert K_3Z \rvert + \lvert CZ \rvert \tag{$\star$} \] co nejmenší. Hodnotu tohotu součtu budeme zkoumat v závislosti na tom, na které z úseček $SK_1$, $K_1K_3$ a $K_3C$ bod $Z$ leží.

Jestliže platí $Z\in SK_1$, lze upravit součet $(\star)$ následujícím způsobem: \[ \overbrace{\lvert SZ \rvert + \lvert CZ \rvert}^{45}{} + \lvert K_1Z \rvert + {}\overbrace{\lvert K_2Z \rvert}^{\lvert K_1Z \rvert + 13}{} + {}\overbrace{\lvert K_3Z \rvert}^{\lvert K_1Z \rvert + 24} = 3\cdot \lvert K_1Z \rvert + 82. \] Pro $Z\in K_1K_3$ upravíme zkoumaný výraz takto: \[ \overbrace{\lvert SZ \rvert + \lvert CZ \rvert}^{45}{} + {}\overbrace{\lvert K_1Z \rvert + \lvert K_3Z \rvert}^{24}{} + \lvert K_2Z \rvert = \lvert K_2Z \rvert + 69. \] A konečně pro $Z\in K_3C$ upravujeme součet $(\star)$ následovně: \[ \overbrace{\lvert SZ \rvert + \lvert CZ \rvert}^{45}{} + \overbrace{\lvert K_1Z \rvert}^{\lvert K_3Z \rvert + 24}{} + {}\overbrace{\lvert K_2Z \rvert}^{\lvert K_3Z \rvert + 11}{} + \lvert K_3Z \rvert = 3\cdot \lvert K_3Z \rvert + 80. \]

Porovnáme-li všechna tři vyjádření, je vidět, že nejmenší hodnotu bude mít součet $(\star)$ právě tehdy, bude-li $Z\in K_1K_3$ a navíc $Z=K_2$ (hodnota součtu bude v takovém případě $69$). Proto musí být zdravotnické stanoviště v místě 2. kontrolního stanoviště.

Úloha 2. Jak se řešení předchozí úlohy změní, jestliže budou stanoviště čtyři, a to na 17., 30., 35. a 40. kilometru?

Řešení. Podobně jako v řešení úlohy 1 sestavíme předpis funkce \[ \begin{align*} g(x) &= x + \lvert x-17 \rvert + \lvert x-30 \rvert + \lvert x-35 \rvert + \lvert x-40 \rvert + 45-x =\\ &=\lvert x-17 \rvert + \lvert x-30 \rvert + \lvert x-35 \rvert + \lvert x-40 \rvert + 45, \end{align*} \] jejímž grafem je lomená čára složená z pěti na sebe navazujících úseček, které postupně spojují body $[0;167]$, $[17;99]$, $[30;73]$, $[35;73]$, $[40;83]$ a $[45;103]$.

Obrázok 3. Graf funkce $g$

Z grafu je nyní vidět, že své minimální hodnoty nabývá funkce $g$ v libovolném bodě intervalu $\langle 30;35 \rangle$. Zdravotnické stanoviště tak může být kdekoliv mezi druhým a třetím kontrolním stanovištěm.

Poznámka. I tuto úlohu můžeme řešit podobně jako ve druhém řešení předešlé úlohy. Na úsečku $SC$ umístíme body $K_1$, $K_2$, $K_3$, $K_4$ jako na obrázku.

Obrázok 4. Rozmístění bodů $K_1$, $K_2$ a $K_3$ na úsečce $SC$

Nyní budeme zkoumat hodnotu součtu $\lvert SZ \rvert + \lvert K_1Z \rvert + \lvert K_2Z \rvert + \lvert K_3Z \rvert + \lvert K_4Z \rvert + \lvert CZ \rvert$ v závislosti na tom, na které z pěti částí úsečky $SC$ bod $Z$ leží.

Podrobně řešit úlohu tímto způsobem nebudeme, zmíníme však alespoň případ $Z\in K_2K_3$, pro který můžeme zkoumaný součet upravit na \[ \overbrace{\lvert SZ \rvert + \lvert CZ \rvert}^{45}{} + \overbrace{\lvert K_1Z \rvert + \lvert K_4Z \rvert}^{23}{} + \overbrace{\lvert K_2Z \rvert + \lvert K_3Z \rvert}^{5}=73. \] Jde tak vidět, že pro libovolný bod $Z\in K_2K_3$ má součet stejnou hodnotu.

Úlohu můžeme i zobecnit.

Úloha 3. Na závodní trati je rozmístěno $n$ různých stanovišť. Kde máme umístit zdravotní stanoviště tak, aby součet vzdáleností zdravotního stanoviště od všech kontrolních stanovišť, od startu a od cíle byl co nejmenší?

Řešení. Nechť se zdravotnické stanoviště nachází na $x$-tém kilometru trasy dlouhé $d\,\text{km}$ a kontrolní stanoviště se nachází postupně na $x_1$-tém, $x_2$-tém,$\ldots$ , $x_n$-tém kilometru trasy. Platí přitom jistě $0 < x_1 < x_2 < \ldots x_n < d$.

Funkce $f$, jejíž minimum nyní budeme na intervalu $\langle 0;d \rangle$ hledat, má předpis tvaru \[ \begin{align*} f(x) &= x + \lvert x - x_1 \rvert + \lvert x - x_2 \rvert + \ldots + \lvert x - x_n \rvert + (d-x) =\\ {} &= \lvert x - x_1 \rvert + \lvert x - x_2 \rvert + \ldots + \lvert x - x_n \rvert + d. \end{align*} \] Vyjádřeme nyní tuto funkci v jednotlivých intervalech $\langle 0;x_1 )$, $\langle x_1;x_2 )$, $\ldots$ , $\langle x_{n-1};x_n )$, $\langle x_n;d \rangle$ tak, aby se v jejím předpisu nevyskytovaly výrazy s absolutními hodnotami. V tabulce jsou v těchto intervalech vyjádřeny jednotlivé výrazy s absolutními hodnotách a v jejím posledním řádku je vyjádřena celá funkce $f(x)$

	$\langle 0;x_1 )$	$\langle x_1;x_2 )$	$\langle x_2;x_3 )$	$\ldots$	$\langle x_{n-1};x_n )$	$\langle x_n;d \rangle$
$\lvert x - x_1 \rvert$	$x_1 - x$	$x - x_1$	$x - x_1$	$\ldots$	$x - x_1$	$x - x_1$
$\lvert x - x_2 \rvert$	$x_2 - x$	$x_2 - x$	$x - x_2$	$\ldots$	$x - x_2$	$x - x_2$
$\lvert x - x_3 \rvert$	$x_3 - x$	$x_3 - x$	$x_3 - x$	$\ldots$	$x - x_3$	$x - x_3$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$	$\vdots$
$\lvert x - x_{n-1} \rvert$	$x_{n-1} - x$	$x_{n-1} - x$	$x_{n-1} - x$	$\ldots$	$x - x_{n-1}$	$x - x_{n-1}$
$\lvert x - x_n \rvert$	$x_n - x$	$x_n - x$	$x_n - x$	$\ldots$	$x_n - x$	$x - x_n$
$f(x)$	$-nx + k_0$	$-(n-2)x + k_1$	$-(n-4)x + k_2$	$\ldots$	$(n-2)x + k_{n-1}$	$nx + k_n$

Pro konstanty $k_i$ v posledním řádku platí \[ \begin{align*} k_0 &=x_1+x_2+\ldots + x_n +d \\ k_1 &=-x_1+x_2+\ldots + x_n +d \\ \vdots & \\ k_n &=-x_1-x_2-\ldots - x_n +d. \end{align*} \]

Soustřeďme se nyní na směrnice přímek, které tvoři grafy získaných lineárních funkcí. Všimněme si, že každá následující směrnice je o 2 větší než předchozí. Úlohu budeme řešit zvlášť pro $n$ liché a $n$ sudé.

Pro lichá $n$ to znamená, že žádná z těchto směrnic není nulová. Označíme-li $m=\frac{n+1}{2}$, v intervalu $x_{m-1}; x_{m} ) $ má totiž graf funkce směrnici $-1$ a v následujícím intervalu $x_{m}; x_{m+1} ) $ má graf směrnici 1. Dále to znamená, že pro lichá $n$ je celá funkce $f$ na intervalu $\left\langle 0; x_{m} \right)$ klesající (protože směrnice všech dílčích funkcí jsou tu záporné) a na intervalu $\left\langle x_{m};d \right\rangle$ zase rostoucí (protože jsou tyto směrnice kladné). Odtud dostáváme, že v bodě $x_{m}$ musí být minimum funkce $f$, a proto pro lichá $n$ musí být zdravotnické stanoviště na $\frac{n+1}{2}$-tém stanovišti.

Pro sudá $n$ je jedna ze směrnic nulová, a to směrnice grafu dílčí funkce na intervalu $x_{p}; x_{p+1} ) $, kde $p=\frac{n}{2}$. Na intervalu $\left\langle 0; x_{p} \right)$ je tak celá funkce $f$ klesající, na intervalu $x_{p}; x_{p+1} ) $ konstantní a na intervalu $x_{p+1}; d $ rostoucí. Nejnižší hodnoty tak nabývá funkce $f$ v libovolném bodu intervalu $x_{p}; x_{p+1} $. Pro sudá $n$ proto můžeme zdravotnické stanoviště postavit kdekoli mezi $ $-tým a $(\frac{n}{2}+1)$-tým stanovištěm.

English source

Not available on July 10. If you want to start from English translation, wait until it appears on https://um.mendelu.cz/math4u/site/ anc copy the English text by hand.

	\(\langle 0;x_1 )\)	\(\langle x_1;x_2 )\)	\(\langle x_2;x_3 )\)	\(\ldots\)	\(\langle x_{n-1};x_n )\)	\(\langle x_n;d \rangle\)
\(\lvert x - x_1 \rvert\)	\(x_1 - x\)	\(x - x_1\)	\(x - x_1\)	\(\ldots\)	\(x - x_1\)	\(x - x_1\)
\(\lvert x - x_2 \rvert\)	\(x_2 - x\)	\(x_2 - x\)	\(x - x_2\)	\(\ldots\)	\(x - x_2\)	\(x - x_2\)
\(\lvert x - x_3 \rvert\)	\(x_3 - x\)	\(x_3 - x\)	\(x_3 - x\)	\(\ldots\)	\(x - x_3\)	\(x - x_3\)
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\ddots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)
\(\lvert x - x_{n-1} \rvert\)	\(x_{n-1} - x\)	\(x_{n-1} - x\)	\(x_{n-1} - x\)	\(\ldots\)	\(x - x_{n-1}\)	\(x - x_{n-1}\)
\(\lvert x - x_n \rvert\)	\(x_n - x\)	\(x_n - x\)	\(x_n - x\)	\(\ldots\)	\(x_n - x\)	\(x - x_n\)
\(f(x)\)	\(-nx + k_0\)	\(-(n-2)x + k_1\)	\(-(n-4)x + k_2\)	\(\ldots\)	\((n-2)x + k_{n-1}\)	\(nx + k_n\)