Představte si, že pomáháte organizovat velký běžecký závod. Na trať se chystají desítky závodníků a vaším úkolem je rozhodnout, kam umístit zdravotnické stanoviště, aby bylo co nejvíce nápomocné. Mělo by být blízko startu? Nebo raději někde uprostřed? A co když je kontrolních bodů na trati víc? Kde bude to správné místo, odkud to bude všude tak akorát daleko?
Možná to zní jednoduše, ale když se nad tím zamyslíte, tak zjistíte, že najít nejlepší možné umístění není zas tak snadné. V následujících úlohách si takovou situaci rozebereme. A kdo ví, třeba právě díky nám doběhne závodník v pořádku do cíle.
Úloha 1. Na běžecké trase dlouhé \(45\,\text{km}\) se nachází tři kontrolní stanoviště a je třeba na ni umístit stanoviště zdravotníků. První kontrolní stanoviště je zřízeno na 13. kilometru, druhé na 26. kilometru a třetí na 37. kilometru. Protože má být zdravotní stanoviště co možná nejblíže kontrolním stanovištím, startu i cíli, organizátor běhu jej chce zřídit tak, aby byl součet vzdáleností od něj k uvedeným pěti lokacím co nejmenší.
Na kterém kilometru trasy má organizátor stanoviště zdravotníků zřídit? Je to jediná lokace, kterou má zvolit? Předpokládejme, že závod končí jinde než začal a že neexistuje kratší cesta mezi stanovišti než po závodní trase.
Řešení. Nechť je zdravotnické stanoviště na \(x\)-tém kilometru běžecké trasy. Vzdálenost od startu je potom rovna \(x\,\text{km}\), od prvního stanoviště \(\lvert x - 13 \rvert\,\text{km}\), od druhého stanoviště \(\lvert x - 26 \rvert\,\text{km}\), od třetího stanoviště \(\lvert x-37 \rvert\,\text{km}\) a od cíle \((45-x)\,\text{km}\). Chceme tedy najít minimální hodnotu funkce \[ \begin{align*} f(x) &= x + \lvert x - 13 \rvert + \lvert x - 26 \rvert + \lvert x-37 \rvert + (45-x) = \\ &= \lvert x - 13 \rvert + \lvert x - 26 \rvert + \lvert x-37 \rvert + 45 \end{align*} \] na intervalu \(\langle 0;45\rangle\).
Grafem funkce \(f\) na tomto intervalu je lomená čára složená ze čtyř na sebe navazujících úseček, které postupně spojují body \([0;121]\), \([13;82]\), \([26;69]\), \([37;80]\) a \([45;104]\). Druhé souřadnice zmíněných bodů získáme dosazením prvních do předpisu funkce \(f\).
OBRÁZEK
Z tohoto grafu je pak zřejmé, že nejmenší hodnotu má funkce \(f\) právě v bodě \(x=26\), tj. přímo na druhém stanovišti. Tam (a nikde jinde) by se mělo nacházet stanoviště zdravotníků.
Úlohu lze řešit i jiným způsobem, bez funkcí a absolutních hodnot. Znázorněme trasu závodu úsečkou \(SC\), na které jsou umístěny body \(K_1\), \(K_2\) a \(K_3\) tak, aby jejich poloha odpovídala poloze prvního, druhého a třetího kontrolního stanoviště na trase.
OBRÁZEK
Naším úkolem je na úsečku \(SC\) umístit bod \(Z\) tak, aby byl součet \[ \lvert SZ \rvert + \lvert K_1Z \rvert + \lvert K_2Z \rvert + \lvert K_3Z \rvert + \lvert CZ \rvert \tag{$\star$} \] co nejmenší. Hodnotu tohotu součtu budeme zkoumat v závislosti na tom, na které z úseček \(SK_1\), \(K_1K_3\) a \(K_3C\) bod \(Z\) leží.
Jestliže platí \(Z\in SK_1\), lze upravit součet \((\star)\) následujícím způsobem: \[ \overbrace{\lvert SZ \rvert + \lvert CZ \rvert}^{45}{} + \lvert K_1Z \rvert + {}\overbrace{\lvert K_2Z \rvert}^{\lvert K_1Z \rvert + 13}{} + {}\overbrace{\lvert K_3Z \rvert}^{\lvert K_1Z \rvert + 24} = 3\cdot \lvert K_1Z \rvert + 82. \] Pro \(Z\in K_1K_3\) upravíme zkoumaný výraz takto: \[ \overbrace{\lvert SZ \rvert + \lvert CZ \rvert}^{45}{} + {}\overbrace{\lvert K_1Z \rvert + \lvert K_3Z \rvert}^{24}{} + \lvert K_2Z \rvert = \lvert K_2Z \rvert + 69. \] A konečně pro \(Z\in K_3C\) upravujeme součet \((\star)\) následovně: \[ \overbrace{\lvert SZ \rvert + \lvert CZ \rvert}^{45}{} + \overbrace{\lvert K_1Z \rvert}^{\lvert K_3Z \rvert + 24}{} + {}\overbrace{\lvert K_2Z \rvert}^{\lvert K_3Z \rvert + 11}{} + \lvert K_3Z \rvert = 3\cdot \lvert K_3Z \rvert + 80. \]
Porovnáme-li všechna tři vyjádření, je vidět, že nejmenší hodnotu bude mít součet \((\star)\) právě tehdy, bude-li \(Z\in K_1K_3\) a navíc \(Z=K_2\) (hodnota součtu bude v takovém případě \(69\)). Proto musí být zdravotnické stanoviště v místě 2. kontrolního stanoviště.