Instructions for translators

1. Open this file on GitHub server. If you see https://um.mendelu.cz/... in URL, click View on GitHub to open this file on github.com.
2. If you see this file on GitHub server, you can edit the content of the file. Open the file in an editor. You can use simple editor (pres e on GitHub). However, an advanced VS Code editor (press . on GitHub) is better, since it provides preview how the Markdown code renders. Alternatively press pencil for simple editor or press triangle next to the pencil to get access to VS Code described as github.dev.
3. Fix the keywords in the preamble.
4. Depending on which language version you want to use as a source for your translation, delete either English or Czech version below.
5. Translate to your language. Keep Markdown marking and math notation. If you use a tool to get first version of the translation, make sure that the markup is preserved.
6. In VS Code you can open the preview in another window by pressing Ctrl+V and K. Keep the preview open as you work, or close using a mouse.
7. Instead of saving, you have to commit and push the changes to the repository. Fill the Message under Source control (describe your changes, such as “Polish translation started”) and then press Commit&Push.
8. Make sure that your changes appear in the commit history. In rare cases (if you work with simultaneously with someone else) you have to download /Pull/ and merge his and yours changes. Usualy Sync (Pull & Push) should work.
9. When you finish the translation, change is_finished: False in header to is_finished: True.

Instrukce pro překladatele

1. Otevřete tento soubor na serveru GitHub. Pokud máte soubor otevřen na https://um.mendelu.cz/..., otevřete jej na serveru github.com.
2. Pokud tento soubor vidíte na serveru GitHub, můžete obsah souboru upravit. Otevřete soubor v editoru. Můžete použít jednoduchý editor (stiskněte e na GitHubu). Lepší je však pokročilý editor VS Code (stikněte . na GitHubu), protože poskytuje náhled, jak se kód Markdown interpretuje. Případně stiskněte tužku pro jednoduchý editor nebo stiskněte trojúhelníček vedle tužky, abyste získali přístup k editoru VS Code popsaný jako github.dev.
3. Opravte klíčová slova v preambuli.
4. V závislosti na tom, kterou jazykovou verzi chcete použít jako zdrojový kód pro svůj překladu, odstraňte níže uvedenou anglickou nebo českou verzi.
5. Přeložte do svého jazyka. Ponechte značení Markdown a matematický zápis. Pokud použijete nástroj typu DeepL pro získání první verze překladu, ujistěte se, že zápis matematických výrazů byl zachován.
6. Ve VS Code můžete náhled otevřít v jiném okně stisknutím Ctrl+V. a K. Během práce nechte náhled otevřený nebo jej zavřete pomocí myši.
7. Místo uložení musíte změny zaregistrovat a odeslat do úložiště. Vyplňte zprávu v poli Zpráva (popište své změny, např. “Zahájen překlad do polštiny”) a poté stiskněte tlačítko Commit&Push.
8. Ujistěte se, že se vaše změny objeví v historii revizí. Ve výjimečných případech (pokud pracujete současně s někým jiným) musíte stáhnout /Pull/ a sloučit jeho a vaše změny. Obvykle by synchronizace (Pull & Push) měla fungovat.
9. Po dokončení překladu změňte is_finished: False v záhlaví na is_finished: True.

Czech source

Výhled na moře

15 min., 1/3

Už se vám někdy při letní procházce po mořském pobřeží stalo, že jste se zastavili, zadívali se na horizont a zamysleli se: Jak daleko vlastně dohlédnu? A co když je na druhé straně břehu něco — mohu to spatřit?

Pro konkrétnost se na chvíli přenesme do jedné z nejoblíbenějších evropských dovolenkových destinací – do Chorvatska, na břeh Jaderského moře k hoře Sveti Jure. O této hoře se můžeme dočíst následující informace¹:

Sveti Jure (Svatý Jiří) je nejvyšší vrchol (1762 m n. m.) vápencového Biokova, které se vypíná v délce 36 km souběžně s mořským pobřežím a odděluje Makarskou riviéru od vnitrozemské oblasti zvané Dalmatské Záhoří. Tyčí se nad pobřežím jako mohutná kamenná hradba. Díky svým geologickým zvláštnostem a přírodním krásám byla jeho část vyhlášena v roce 1981 chráněnou krajinnou oblastí (Park prirode Biokovo o rozloze 196 čtverečních kilometrů).

Pro vrchol Sveti Jure je charakteristická stavba televizního vysílače, kterou lze sledovat již většinu cesty hornatou krajinou. Pohled z vrcholu na moře i do vnitrozemí je při jasném počasí a dobré viditelnosti nezapomenutelný. Bohužel tu není žádná možnost občerstvení.

Řešení. Pro jednoduchost předpokládáme, že je Země koulí o poloměru \(6371\,\text{km}\). Označme \(S\) střed Země, bod \(V\) naši polohu (vrchol hory Sveti Jure) a \(H\) libovolný bod na mořské hladině na horizontu. Řezem zeměkoule rovinou \(SVH\) je kružnice o poloměru Země, jejíž tečnou je přímka \(VH\). Z toho vyplývá, že je úhel \(VHS\) pravý, viz obrázek.

Víme, že \(\lvert SH \rvert = 6371\,\text{km}\) a \(\lvert SV \rvert = 6372{,}762\,\text{km}\) (k poloměru Země přičítáme nadmořskou výšku hory). Užitím Pythagorovy věty pro pravoúhlý trojúhelník \(VHS\) pak vypočítáme délku odvěsny \(VH\): \[ \lvert VH \rvert = \sqrt{\lvert SV \rvert ^2 - \lvert SH \rvert ^2} \doteq 150\,\text{km}. \] Tato délka je zároveň hledaná vzdálenost k horizontu.

Úloha 2. Je možné z vrcholu Sveti Jure vidět přes moře vrchol hory Monte Calvo (1056,m,n.,m.) na italském poloostrově Gargano? Monte Calvo je od Sveti Jure vzdálená přibližně 210,km a mezi oběma lokacemi se nenachází žádná suchozemská překážka. Dokonalému výhledu tak brání pouze horizont.

Řešení. Úlohu budeme řešit tak, že uvážíme hypotetickou horu stejné výšky jako je Monte Calvo, jejíž vrchol se nachází na horizontu. Výhled na tuto horu je tak zakryt horizontem. Označme vrchol této hory \(M\) a dále označme \(M_0\) kolmý průmět bodu \(M\) do úrovně mořské hladiny a \(V_0\) kolmý průmět bodu \(V\).

Naším cílem bude určit vzdálenost obou hor, tj. délku oblouku \(M_0V_0\). Bude-li menší než \(210\,\text{km}\) (přibližná skutečná vzdálenost hor), nepůjde vidět z vrcholu Sveti Jure ani hora Monte Calvo.

Označme \(\alpha\) velikost úhlu \(VSH\) a \(\beta\) velikost úhlu \(MSH\); ze známé délky přepony a odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku \(VHS\) dostáváme \[ \cos\alpha = \frac{6371}{6372{,}762} \Longrightarrow \alpha \doteq 1^{\circ}\,20'\,51''. \] Obdobně ze známé délky přepony a odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku \(MHS\) dostáváme \[ \cos\beta = \arccos \frac{6371}{6372{,}056} \Longrightarrow \beta \doteq 1^{\circ}\,3'\,35''. \] Délku oblouku \(M_0V_0\), který je příslušný úhlu o velikosti \(\alpha + \beta\), pak určíme z přímé úměrnosti a známé délky celé kružnice: \[ \frac{\alpha + \beta}{360^{\circ}}\cdot 2\pi\cdot 6371 \doteq 268\,\text{km}. \] Stejně vysoká hora Monte Calvo je blíže, její vrchol se proto nachází nad horizontem a můžeme ji (za dobré viditelnosti) z vrcholu Sveti Jure spatřit.

Odkazy a literatura

Literatura

• Chorvatsko.cz. Sveti Jure (online). Dostupné z https://www.chorvatsko.cz/stdal/svjure.html (cit. 12. 12. 2024).

Zdroje obrázků

• Sveti Jure, SKas – Vlastní dílo, CC SA 4.0, dostupné z https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/The_highest_peak_Sv_Jure_%281762_m%29_in_Biokovo_Nature_Park.jpg (cit. 12. 12. 2024).

English source

A Sea View

15 min., 1/3

Have you ever gone for a summer walk along the seashore, stopped, looked out at the horizon, and wondered: How far can I actually see? And what if there’s something on the far shore—could I see it?

To make this question more concrete, let’s travel for a moment to one of Europe’s most popular holiday destinations: Croatia, to the shores of the Adriatic Sea near Mount Sveti Jure. Here’s what we can read about this mountain²:

Sveti Jure (Saint George) is the highest peak (1762 m above sea level) of the Biokovo limestone range, which stretches for 36 km along the coast and separates the Makarska Riviera from the inland region known as the Dalmatian Hinterland. It rises above the coast like a massive stone wall. Thanks to its unique geology and natural beauty, part of the area was designated a nature park in 1981 (Biokovo Nature Park, covering 196 square kilometres).

A distinctive feature of the Sveti Jure summit is a television transmitter, which can be seen from much of the surrounding mountainous terrain. On a clear day with good visibility, the view from the top—both toward the sea and inland—is unforgettable. Unfortunately, there are no refreshments available at the summit.

Solution. For simplicity, let’s assume the Earth is a sphere with a radius of \(6371\,\text{km}\). Let \(S\) be the center of the Earth, \(V\) our location (the summit of Mount Sveti Jure), and \(H\) any point on the sea surface that lies on the horizon. The cross-section of the Earth through the plane \(SVH\) is a circle with the Earth’s radius, and the line \(VH\) is a tangent to this circle. This means that angle \(VHS\) is a right angle (see figure below).

We know that \(\lvert SH \rvert = 6371\,\text{km}\) and \(\lvert SV \rvert = 6372{.}762\,\text{km}\) (since we add the mountain’s elevation to the Earth’s radius). Using the Pythagorean theorem in the right triangle \(VHS\) we calculate the length of the leg \(VH\): \[ \lvert VH \rvert = \sqrt{\lvert SV \rvert ^2 - \lvert SH \rvert ^2} \doteq 150\,\text{km}. \] This length is the distance to the horizon that we were looking for.

Solution. We will solve this problem by imagining a hypothetical mountain of the same height as Monte Calvo, with its summit located exactly on the horizon. In such a case, the mountain would be just hidden behind the horizon. Let us label the summit of this hypothetical mountain as \(M\), its vertical projection onto sea level as \(M_0\), and the projection of point \(V\) (Sveti Jure) as \(V_0\).

Our goal is to determine the distance between the two mountains, i.e., the length of the arc \(M_0V_0\). If this length is shorter than \(210\,\text{km}\) (the actual distance), then Monte Calvo will be above the horizon and visible from Sveti Jure.

Let \(\alpha\) be the angle \(VSH\) and \(\beta\) the angle \(MSH\). From the known lengths of the hypotenuse and the adjacent side in the right triangle \(VHS\) we get: \[ \cos\alpha = \frac{6371}{6372{.}762} \Longrightarrow \alpha \doteq 1^{\circ}\,20'\,51''. \] Similarly, from triangle \(MHS\): \[ \cos\beta = \arccos \frac{6371}{6372{.}056} \Longrightarrow \beta \doteq 1^{\circ}\,3'\,35''. \] The arc length \(M_0V_0\), corresponding to the angle \(\alpha + \beta\), can then be calculated using direct proportion and the known circumference of the circle: \[ \frac{\alpha + \beta}{360^{\circ}}\cdot 2\pi\cdot 6371 \doteq 268\,\text{km}. \] Since the real mountain Monte Calvo is located closer than that, its summit lies above the horizon, and we can (in good visibility conditions) see it from the top of Sveti Jure.

Literature and References

Literature

• Chorvatsko.cz. Sveti Jure (online). Available at: https://www.chorvatsko.cz/stdal/svjure.html (accessed December 12, 2024).

Sources of figures

• Sveti Jure, SKas – Own work, CC SA 4.0, available at: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/The_highest_peak_Sv_Jure_%281762_m%29_in_Biokovo_Nature_Park.jpg (accessed December 12, 2024).