The basic trigonometric functions sine and cosine are often used to model light, sound, and electromagnetic waves. They can also be used to approximate 1 other periodic phenomena, such as tides or blood pressure.
Understanding these functions (and their individual parts) allows us to effectively predict and analyze periodic phenomena and their properties. For example, we can calculate the height of ocean waves or the time of high tide. In the following text, we will focus on functions approximating blood pressure.
The heart acts as a pump that pushes oxygenated blood through the blood vessels throughout the body to provide it with the oxygen and nutrients it needs. Blood pressure is the pressure that blood exerts on the walls of the blood vessels it flows through. This pressure varies in different parts of the bloodstream. Blood pressure is commonly referred to as arterial blood pressure, the pressure of blood in the large arteries. If your blood pressure is too high, it puts strain on your arteries (and heart), which can lead to a heart attack or stroke.
High blood pressure, also known as hypertension, is something you usually don’t feel or notice. It doesn’t tend to cause any obvious signs or symptoms. The only way to know what your blood pressure is is to have it measured. The first blood pressure monitor measured blood pressure based on the height of the mercury column, which is why it is still measured in millimeters of mercury. It is written as a ratio of two numbers. For example, if your reading is \(120/80\,\text{mm}\,Hg\), your blood pressure is called \(120\) over \(80\).
A higher number indicates systolic blood pressure. This is the highest value that your blood pressure reaches when your heart is beating and pushing blood into the vascular system. The lower number is called diastolic blood pressure and is, in contrast, the lowest level, the pressure reaches when the heart muscle relaxes between beats.
The blood pressure chart below shows the ranges of high, low, and healthy blood pressure.
During heart contractions, blood pressure increases and decreases cyclically. The duration of one heartbeat corresponds to the period of the function that represents blood pressure. Each period of the blood pressure measurement function corresponds to one heartbeat (indicating how long it takes for a heartbeat cycle to complete). In addition, we know that the local maximum of the function will be the systolic blood pressure value and the local minimum will be the diastolic pressure value. We can approximately replace the blood pressure function with the sine or cosine function. Recall that the general prescription of the sine function is
\[ f\left(x\right) = a\cdot\sin\left(bx + c\right) +d, \]
where \(a\) represents the amplitude, which determines how high or low the sinusoid moves from its mean position. The value of \(b\) affects the period of the function (the period is equal to \(\frac{2\pi}{|b|}\).). The term \(c\) determines the shift in the direction of the \(x\) axis and \(d\) the shift in the direction of the \(y\) axis.
Exercise 1. Compare the following two functions \[P_1(t)=25\cdot\sin\left(\frac{7\pi}{3}t\right)+105,\quad P_2(t)=30\cdot\cos\left(2\pi t\right)+125,\] which approximate the blood pressure of two different people. These functions depend on the variable \(t\), which represents time in seconds. For each function, find the period of the function (the length of one heartbeat) and determine their heart rate (the number of heartbeats per minute).
Solution. The period \(p_1\) of the function \(P_1\) can be calculated as \[p_1=\frac{2\pi}{\frac{7\pi}{3}}=\frac{6}{7}\,\text{sekundy}.\] Since the duration of one heartbeat is \(\frac{6}{7}\) seconds, the heart rate \(f_1\) will be \[
f_1=\frac{60}{\frac{6}{7}}=70\,\text{beats per minute}.
\]
Similarly, for the function \(P_2\) the period will be \[
p_2=\frac{2\pi}{2\pi}=1\,\text{second}.
\] The heart rate is therefore \(f_2=60\) beats per minute.
Exercise 2. Draw the graphs of the functions from the first exercise. If you can, use appropriate software (for example GeoGebra) to draw the graphs. Use the blood pressure table to determine how the people in question are doing with their blood pressure.
Solution.
To plot the graph of the function, the \(x\)-axis will represent the time \(t\) in seconds. The \(y\)-axis will represent the blood pressure \(P\) in millimeters of mercury. Choose the units on the axes so that the graph looks clear. For example, a good choice is that one unit on the \(x\)-axis corresponds to one hundred units on the \(y\)-axis. In the solution in the figure, the ratio of units on the axes is \(1:125\). Function \[
P_1=25\cdot\sin\left(\frac{7\pi}{3}t\right)+105
\] oscillates around \(105\), with an amplitude equal to \(25\). The local maxima of the function will therefore have functional values \(105+25=130\) (systolic pressure). The local minima of the function will have functional values \(105-25=80\) (diastolic pressure).
The function \[ P_2=30\cdot\cos\left(2\pi t\right)+125 \] oscillates around the value \(125\), the amplitude is equal to \(30\). The local maxima of the function will therefore have the functional values \(125+30=155\) (systolic pressure). The local minima of the function will have the functional values \(125-30=95\) (diastolic pressure).
The function \(P_1\) is approximately a function of the pressure \(130\) over \(80\), according to the chart in the introduction it corresponds to the limit values between normal and high blood pressure (in some countries it is considered normal pressure, in some countries it is already the lower limit of high blood pressure). The function \(P_2\) corresponds to the pressure \(155\) over \(95\), this pressure is high.
Vizualizace takových grafů pomáhá pochopit, jak časté a proměnlivé jsou změny krevního tlaku nebo jiné cykly, což je nezbytné jak v matematických studiích, tak v praktických aplikacích.
Vysoký krevní tlak je nebezpečný stav a hlavní rizikový faktor srdečních onemocnění a mrtvice. Zdravý životní styl, například strava s vysokým obsahem ovoce a zeleniny a nízkým obsahem sodíku a také fyzická aktivita, může pomoci vysokému krevnímu tlaku předcházet. Vysoká hodnota z jediného měření nemusí nutně znamenat, že máte vysoký krevní tlak, protože na krevní tlak může mít během dne vliv mnoho faktorů, například teplota, doba posledního jídla nebo stres.
Díky tomu, že jsme si funkce \(P_1\) a \(P_2\) vykreslili, vidíme na první pohled, jaké jsou mezi nimi rozdíly. Někdy mohou mít ale dvě funkce dané na první pohled různými předpisy ten samý graf. Poznali byste například na první pohled, že tomu je tak u následujících dvou funkcí? \[ y=\sin\frac{3x}{5},\qquad y=\cos\left(\frac{3x}{5}-\frac{\pi}{2}\right) \] Tyto funkce mají stejný graf a velikost jejich periody je \[ \frac{2\pi}{\frac{3}{5}}=\frac{10\pi}{3}. \]
Ale pozor, graf funkce \(y=\cos\left(\frac{3x}{5}-\frac{\pi}{2}\right)\) není oproti grafu funkce \(y=\cos\frac{3x}{5}\) posunutý ve směru osy \(x\) o \(\frac{\pi}{2}\), jak by se z předpisu funkce na první pohled mohlo zdát, ale o čtvrtinu periody této funkce. To můžeme vidět, pokud si předpis vhodně upravíme: \[ y=\cos\left(\frac{3x}{5}-\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{3}{5}\left(x-\frac{5\pi}{6}\right)\right) \]
Pro porovnání dvou takovýchto funkcí by tedy bylo lepší, kdybychom mohli jednu převést na druhou. Tímto se právě bude zabývat následující úloha.
Úloha 3. Vyjádřete funkci \(P_1\) z Úlohy 1. pomocí funkce kosinus místo funkce sinus.
Řešení. Pro funkce \(\sin x\) a \(\cos x\) v základním tvaru platí \[ \sin x=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right), \] kde \(\frac{\pi}{2}\) je čtvrtina periody. Perioda funkce \(P_1\) je \(p_1=\frac{6}{7}\), čtvrtina periody je \[ \frac{p_1}{4}=\frac{6}{28}=\frac{3}{14}. \] Platí tedy \[ \sin\left(\frac{7\pi}{3}t\right)=\cos\left(\frac{7\pi}{3}\left(t-\frac{3}{14}\right)\right) \] a funkci \(P_1\) můžeme vyjádřit následovně \[ P_1=25\cdot\cos\left(\frac{7\pi}{3}t-\frac{1}{2}\pi\right)+105. \]
V předchozí úloze bychom mohli funkce také prohodit a vyjadřovat funkci \(P_2\) pomocí funkce sinus.
Úloha 4. Najděte předpis funkce, která aproximuje funkci krevního tlaku zdravého člověka v klidu. Jeho srdeční frekvence je \(50\) tepů za minutu. Maximální krevní tlak je \(110\,\text{mm}\,\text{Hg}\) a minimální \(70\,\text{mm}\,\text{Hg}\).
Řešení. K aproximaci funkce krevního tlaku použijeme například funkci sinus (řešení pro funkci kosinus by bylo obdobné).
Amplituda funkce je \(\frac{110-70}{2}=20\) a funkce osciluje kolem hodnoty \(\frac{110+70}{2}=90\).
Perioda funkce je \[ p=\frac{60}{50}=\frac{6}{5}, \] tj. jeden srdeční tep trvá \(1{,}2\) sekundy. Ze vztahu \[ p=\frac{2\pi}{b} = 1{,}2 \] pro periodu \(p\) funkce dostáváme \(b= \frac{5}{3}\pi\).
Hodnotu \(c\) můžeme zvolit libovolně, nejjednodušší je zvolit \(c = 0.\) Dosazením výše uvedených hodnot do obecného tvaru funkce dostáváme \[ P(t) = 20\cdot\sin\left(\frac{5\pi}{3}t\right)+90. \]
Tato funkce přibližně modeluje krevní tlak osoby se zadanými hodnotami jako funkci času (v sekundách).
Na závěr ještě uveďme, jak se v realitě tlak opravdu měří. Jedna z přesných metod je tzv. auskultační technika. Při této metoda se používá tonometr, skládající se z gumové manžety, nafukovacího vaku a manometru (mechnické měřidlo tlaku), a fonendoskop.
Gumovou manžeta tonometru se nasadí zhruba na polovinu paže. Tlak v manžetě se zvýší tak, aby převyšoval tlak v tepně. Tím se z manžety stane uměle vytvořená překážka krevnímu průtoku. Postupným pomalým snižováním tlaku v manžetě dojde v určitém okamžiku k obnovení průtoku krve.
Tlak v manžetě však na počátku způsobí deformaci tepny, díky níž je proudění pronikající krve turbulentní. Hodnota tlaku, při níž začínají být ve fonendoskopu slyšitelné srdeční ozvy, odpovídá hodnotě systolického krevního tlaku.
Ozvy jsou slyšitelné do té doby, dokud tlak v manžetě postačuje k deformaci tepny a tím k udržení turbulentního proudění. Jakmile tlak v manžetě poklesne natolik, že již nestačí tepnu deformovat, obnoví se původní proudění krve a ozvy přestanou být slyšitelné. Tlak při poslední slyšitelné ozvě odpovídá hodnotě diastolického krevního tlaku.
Zbývá dodat, že realističtější vyjádření funkce krevního tlaku je náročnější a vyžaduje součty goniometrických funkcí s různými periodami.
Na následujícím obrázku vidíme konkrétní příklad takového součtu a příslušný graf. Současně je na obrázku znázorněno měření krevního tlaku. Rychlost vypouštění manžety je přibližně konstantní. Tlak v manžetě tedy klesá konstantní rychlostí (opět přibližně) a na obrázku je znázorněn přímkou.
Zpřesňování průběhu funkce krevního tlaku pomocí součtů sinů a kosinů už souvisí s tzv. Fourierovou větou, která říká, že spojitou periodickou funkci lze vyjádřit jako součet nekonečného počtu funkcí sinus a kosinus, přičemž každý z těchto členů má určitou amplitudu a periodu.
Tento výsledek získal v roce 1822 francouzský matematik Joseph Fourier jako součást řešení rovnice vedení tepla. Jedná se o klíčový koncept pro analýzu a pochopení jakýchkoli periodických jevů. Fourierova věta je základem zpracování signálů.
Aproximace znamená přibližné, ale věrné vyjádření čísla nebo funkce, ale také fyzikálního zákona či přírodního jevu.↩︎