Previous CS TOC View on GitHub PDF PDF reduced EN CS ES PL SK Next CS

Smrtící byt v Kramatorsku

Keywords: exponenciály a logaritmy, exponenciální funkce, logaritmická funkce, radioaktivita
20 min., 2/3

Byt číslo 85, dům 7, Kramatorsk (dříve SSSR, dnes Ukrajina), ulice Mariyi Pryimachenko byl vskutku prokletý a svým nájemníkům přinesl jenom samé utrpení. V letech 1980 až 1989 zde postupně žily dvě rodiny a bezmocně sledovaly, jak jim děti umírají na leukémii. V roce 1980 náhle zemřela osmnáctiletá dcera, kterou v roce 1982 následovali i její šestnáctiletý bratr a matka. Nic z toho nepřitáhlo pozornost úřadů a byt naopak dostali noví nájemníci. Ani jim však byt štěstí nepřinesl a jejich syn zakrátko zemřel, také na leukémii.

Obrázek 1. Dům v Kramatorsku, kde docházelo k záhadným úmrtím

Nehoda v lomu Karansky

Teprve po dalším úmrtí a díky vytrvalosti nového nájemníka byl byt prohlédnut. Šokovaní inspektoři zjistili, že v dětském pokoji je silný zdroj radioaktivního záření. Velká část zdi byla vyříznuta a prozkoumána. Pečlivý průzkum objevil v panelu radioaktivní zářič, jaký se používá v lomech. Díky značení radiokativních zdrojů bylo zjištěno, že zmíněný zářič byl ztracen koncem sedmdesátých let v lomu Karansky.

V lomech se radioaktivní materiály mohou použít například ke stanovení hustoty hornin nebo naplněnosti neprůhledných nádob. Jakkoliv se zacházení s těmto materiály podrobuje přísným pravidlům, k nehodě někdy dojde. Podobná nehoda jako v lomu Karansky se stala začátkem roku 2023 v Austrálii, kde byl zářič vytroušen během transportu na vzdálenost 1400 kilometrů. Hledání bylo vskutku hledáním jehly v kupce sena, protože zářičem je váleček velikosti knoflíkové baterie o velikosti 8 milimetrů. Australský zářič se naštěstí podařilo najít u silnice, po které se transport pohyboval. Ukrajinský zářič bohužel takové štestí neměl a skončil v panelu, ze kterého byl postaven nešťastný dům.

Obrázek 2. Zářič podobného typu ztracený v roce 2023 v Austrálii

Úloha 1. V panelu tvořícím stěnu dětského pokoje je radioaktivní zářič. Nešťastnou shodou okolností právě v místě vedle postele jednoho z dětí. Pokuste se odhadnout, jak by se dávka snížila, pokud by dětská postel nebyla u této stěny, ale na opačné straně postiženého pokoje. Předpokládejte, že zářič září všemi směry rovnoměrně, že vzdálenost zářiče od dětské postele byla půl metru a po přestěhování postele na opačnou stranu pokoje by narostla na tři metry, tj. šestkrát.

Řešení. Podle zadání je možné předpokládát, že záření se rovnoměrně rozloží na kulovou plochu.

Povrch koule o poloměru \(r\) je dán vzorcem

\[S = 4\pi r^2.\]

Odsud plyne, že kulová plocha mající šestinásobný poloměr má 36-krát větší povrch. Veškerý výkon zářiče se tedy rozloží na 36-krát větší povrch. Proto je intenzita radiace v šestinásobné vzdálenosti celkem 36-krát menší.

Úloha 2. Cesium použité jako zdroj radioaktivního záření v popsaném incidentu má poločas rozpadu 30 let. Určete, za jak dlouho by radioaktivita klesla stejným násobkem, jako odpovídá přestěhování postele v předchozí úloze.

Řešení. Z fyziky je známo, že aktivita zářiče a množství nerozpadnuté látky jsou úměrné a obě klesají exponenciálně s časem podle vztahu

\[N(t) = N_0\mathrm{e}^{-\lambda t},\tag{1}\]

kde

  • \(N(t)\) značí množství nerozpadnuté látky v čase;
  • \(N_0\) je počáteční množství látky;
  • \(\lambda\) je přeměnová konstanta, která charakterizuje předpokládanou rychlost přeměny;
  • \(t\) je čas.

Je tedy nutné najít, v jakém čase bude množství radioaktivního materiálu 36-krát menší. Logaritmováním vztahu (1) dostáváme

\[-\lambda t = \ln \frac{N(t)}{N_0}\tag{2}.\]

Protože po třiceti letech klesne množství na polovinu, tj. \(N(30)=\frac{1}{2}N_0\), tak platí

\[ -\lambda 30 = \ln \frac 12 \] a \[ \lambda = \frac 1{30}\ln 2. \]

Po dosazení do (2) dostáváme \[ -\frac 1{30}t\ln 2 = \ln \frac{N(t)}{N_0} \] a \[ t = -30 \frac{\ln \frac{N(t)}{N_0}}{\ln 2}. \] Pro čas, kdy platí \(\frac{N(t)}{N_0}=\frac {1}{36}\) dostáváme \[ t = -30 \frac{\ln \frac{1}{36}}{\ln 2}= 30 \frac{\ln {36}}{\ln 2} \doteq 155. \]

Poklesu ozáření ekvivalentnímu přesunu postele na druhou stranu pokoje bychom se dočkali po 155 letech.

Odkazy a literatura

Literatura

Zdroje obrázků